1.3.2 极大值与极小值(第1课时)极值的概念及求法 学案(苏教版高中数学选修2-2)
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1、132 极大值与极小值极大值与极小值 第第 1 课时课时 极值的概念及求法极值的概念及求法 学习目标 1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系,并 会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件 知识点一 函数的极值点和极值 思考 1 观察 yf(x)的图象,指出其极大值点和极小值点及极值 答案 极大值点为 e,g,i,极大值为 f(e),f(g),f(i);极小值点为 d,f,h,极小值为 f(d), f(f),f(h) 思考 2 导数为 0 的点一定是极值点吗? 答案 不一定, 如 f(x)x3, 尽管由 f(x)3x20, 得出 x
2、0, 但 f(x)在 R 上是单调递增的, 不满足在 x0 的左、右两侧符号相反,故 x0 不是 f(x)x3的极值点 梳理 (1)极小值点与极小值 若函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小,f(a)0, 而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0,就把点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点, f(a)叫做函数 yf(x)的极小值 (2)极大值点与极大值 若函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大,f(b)0, 而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0,右侧 f(x)1 时,f(x)6xx(a1), 列表如下.
3、 x (,0) 0 (0,a1) a1 (a1,) f(x) 0 0 f(x) 极大值 f(0) 极小值 f(a1) 从上表可知,函数 f(x)在(,0)上单调递增, 在(0,a1)上单调递减,在(a1,)上单调递增 综上,当 a1 时,f(x)的单调增区间为(,), 当 a1 时,f(x)的单调增区间为(,0),(a1,),单调减区间为(0,a1) (2)由(1)知,当 a1 时,函数 f(x)没有极值 当 a1 时,函数在 x0 处取得极大值 1,在 xa1 处取得极小值 1(a1)3. 反思与感悟 含参数的函数求极值应从 f(x)0 的两根 x1,x2相等与否入手进行 跟踪训练 2 已知
4、函数 f(x)xaln x(aR) (1)当 a2 时,求曲线 yf(x)在点 A(1,f(1)处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值 解 函数 f(x)的定义域为(0,),f(x)1a x. (1)当 a2 时,f(x)x2ln x,f(x)12 x(x0), 因而 f(1)1,f(1)1. 所以曲线 yf(x)在点 A(1,f(1)处的切线方程为 y1(x1),即 xy20. (2)由 f(x)1a x xa x ,x0 知, 当 a0 时,f(x)0,函数 f(x)为(0,)上的增函数,函数 f(x)无极值; 当 a0 时,令 f(x)0,解得 xa. 又当 x(0,a)时,f(x
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