2.1.3 推理案例赏析 学案（苏教版高中数学选修2-2）

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1、213 推理案例赏析推理案例赏析 学习目标 1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系，利 用合情推理和演绎推理进行简单的推理.2.掌握两种推理形式的具体格式 知识点 合情推理与演绎推理 思考 1 合情推理的结论不一定正确，我们为什么还要学习合情推理？ 答案 合情推理是富于创造性的或然推理 在数学发现活动中， 它为演绎推理确定了目标和 方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用 思考 2 “演绎推理是由一般到特殊的推理，因此演绎推理所得结论一定正确”，这种说法 对吗？ 答案 不对，演绎推理只有在大、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论才一定正 确 梳理 合情推理

2、与演绎推理的比较 合情推理 演绎推理 归纳推理 类比推理 推理 形式 由部分到整体，由 特殊到一般 由特殊到 特殊 由一般到特殊 结论 不一定正确，有待证明 在大前提、小前提和推理形式都正确的前 提下，结论一定正确 作用 猜测和发现结论，探索和提供证 明思路 证明数学结论，建立数学体系的重要思维 过程 联系 合情推理的的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通 过合情推理获得的 1演绎推理的一般模式是“三段论”的形式( ) 2演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关( ) 3演绎推理是由一般到特殊的推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊 到特殊的推理(

3、 ) 类型一 归纳推理的应用 例 1 观察如图所示的“三角数阵”： 记第 n 行的第 2 个数为 an(n2，nN*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列 各题： (1)第 6 行的 6 个数依次为_、 _、 _、 _、 _、 _； (2)a2_，a3_，a4_，a5_； (3)an1an_. 答案 (1)6 16 25 25 16 6 (2)2 4 7 11 (3)n(n2，nN*) 反思与感悟 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行， 左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解 跟踪训练 1 下列四个图形中，阴影三角形的个数依次构成一个数列的前

4、 4 项，则这个数列 的一个通项公式为_ 答案 an3n 1(nN*) 解析 a1130，a2331，a3932，a42733， 由此猜想 an3n 1(nN*) 类型二 类比推理的应用 例 2 通过计算可得下列等式： 2313312311； 3323322321； 4333332331； ； (n1)3n33n23n1. 将以上各等式两边分别相加，得 (n1)3133(1222n2)3(123n)n， 即 122232n21 6n(n1)(2n1)(nN *) 类比上述求法，请你求出 132333n3的值 解 2414413612411； 3424423622421； 44344336324

5、31； ； (n1)4n44n36n24n1. 将以上各式两边分别相加，得 (n1)4144(1323n3)6(1222n2)4(12n)n， 1323n31 4 n141461 6nn1 2n14nn1 2 n 1 4n 2(n1)2(nN*) 反思与感悟 (1)解答本类题的关键在于弄清原题解题的方法，将所要求值的式子与原题的 条件相类比，从而产生解题方法上的迁移 (2)解答此类问题要先弄清两类对象之间的类比关系及其差别，然后进行推测或证明 跟踪训练 2 已知在 RtABC 中，ABAC，ADBC 于 D，有 1 AD2 1 AB2 1 AC2成立那么 在四面体 ABCD 中，类比上述结论，

6、你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出 理由 考点 类比推理的应用 题点 平面几何与立体几何之间的类比 解 类比 ABAC， ADBC， 可以猜想在四面体 ABCD 中， AB， AC， AD 两两垂直， AE 平面 BCD， 则 1 AE2 1 AB2 1 AC2 1 AD2. 猜想正确理由如下： 如图所示，连结 BE，并延长交 CD 于 F，连结 AF. ABAC，ABAD，ACADA， AB平面 ACD. 而 AF平面 ACD，ABAF. 在 RtABF 中，AEBF， 1 AE2 1 AB2 1 AF2. 在 RtACD 中，AFCD， 1 AF2 1 AC2 1 AD2. 1

7、AE2 1 AB2 1 AC2 1 AD2，故猜想正确 类型三 演绎推理的综合应用 例 3 已知椭圆具有性质：若 M，N 是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上关于原点对称的两个点， 点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM，PN 的斜率都存在，并记为 kPM，kPN时，kPM与 kPN之 积是与点 P 的位置无关的定值，试对双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)写出类似的性质，并加以 证明 解 类似性质：若 M，N 是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)上关于原点对称的两个点，点 P 是 双曲线上任意一点，当直线 PM，PN 的斜率都存在，并记为 kPM，kPN时，kP

8、M与 kPN之积是 与点 P 的位置无关的定值 证明：设点 M，P 的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则点 N 的坐标为(m，n) 因为点 M(m，n)在已知双曲线上，所以 n2b 2 a2m 2b2， 同理 y2b 2 a2x 2b2. 则 kPM kPNyn xm yn xm y2n2 x2m2 b2 a2 x2m2 x2m2 b2 a2(定值) 故 kPM与 kPN之积是与点 P 的位置无关的定值 反思与感悟 合情推理是提出猜想、提供解题的思路，而演绎推理则是证明猜想、判断猜想 的正确性，通过合情推理得到的猜想缺少证明过程是不完整的，平时解题都是二者的结合 跟踪训练 3 已知an为等差

9、数列，首项 a11，公差 d0，n1 且 nN*.求证：lg an1lg an 10， an1an1(and)(and)a2nd21，d0，ana1(n1)d1. lg an0. lg an1 lg an1 lg an1lg an1 2 2 1 2lgan1an1 2 1 2lg a 2 n 2(lg a n) 2， 即 lg an1 lg an10(iN*)，有下列不等式成立，x1x22 x1x2；x1x2x333x1x2x3，类比上 述结论，对于 n 个正数 x1，x2，xi，xn，猜想有下述结论：_. 答案 x1x2xnn n x1x2xn 2类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平

10、行”的性质，可推出下列空间结论： 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 垂直于同一平面的两条直线互相平行； 垂直 于同一条直线的两个平面互相平行； 垂直于同一平面的两个平面互相平行， 则其中正确的 结论是_(填序号) 答案 解析 根据空间直线、平面的平行与垂直的判定与性质定理知，正确，错误 3如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称 ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由 如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图 (乙)中的直角三角形依此规律继续作下去， 记 OA1， OA2， ， OAn， 的长度构成数列an， 则此数列an的通项公式为 a

11、n_. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 n(nN*) 解析 根据 OA1A1A2A2A3A7A81 和图(乙)中的各直角三角形， 由勾股定理， 可得 a1OA11， a2OA2 OA21A1A22 1212 2， a3OA3 OA22A2A23 2212 3，故可归纳推测出 an n(nN*) 4如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB AB时，其离心率为 51 2 ，此类 椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率 e _. 答案 51 2 解析 根据“黄金椭圆”的性质是FB AB，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，

12、设 “黄金双曲线”的方程为x 2 a2 y2 b21，则 B(0，b)，F(c，0)，A(a，0)在“黄金双曲线” 中，FB AB，FB AB0.又FB(c，b)，AB(a，b)，acb20.又 b2c2a2， c2a2ac，等号两边同除以 a2求得 e 51 2 . 1归纳推理和类比推理是常用的合情推理从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、 特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理 2从推理形式和所得结论的正确性讲，演绎推理与合情推理存在差异从数学发现与认识 事物的过程发挥的作用看，合情推理与演绎推理是相辅相成、相互为用的，合情推理提出猜 想、发现结论，为演绎推理确定了目标和方向演绎推理不仅为合情推理提供了前提，而且 对合情推理的结果进行“判决”和证明 两者的综合运用才能推动人们对事物的认识不断向 前发展