2.1.2 演绎推理 学案（苏教版高中数学选修2-2）

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1、212 演绎推理演绎推理 学习目标 1.了解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单 推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系 知识点一 演绎推理 思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点 (1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电； (2)一切奇数都不能被 2 整除，(21001)是奇数，所以(21001)不能被 2 整除 答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论 梳理 演绎推理的含义及特点 含义 由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法 特点 (1)演绎的前提是一般性原理， 演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、 特殊事

2、实， 结论完全蕴涵于前提之中； (2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系； (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信 服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化 知识点二 三段论 思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？ 答案 分为三段 梳理 三段论 一般模式 常用格式 大前提 提供了一个一般性的原理 M 是 P 小前提 指出了一个特殊对象 S 是 M 结论 揭示了一般原理与特殊对象的内在联系 S 是 P 1“三段论”就是演绎推理( ) 2演绎推理的结论一定是正确的( ) 3演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理( ) 4

3、在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论 是根据一般性原理对特殊情况作出的判断( ) 类型一 演绎推理与三段论 例 1 将下列演绎推理写成三段论的形式 (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； (2)等腰三角形的两底角相等，A，B 是等腰三角形的两底角，则AB； (3)通项公式为 an2n3 的数列an为等差数列 解 (1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提) 菱形是平行四边形，(小前提) 菱形的对角线互相平分(结论) (2)等腰三角形的两底角相等，(大前提) A，B 是等腰三角形的两底角，(小前提) AB.(结论)

4、 (3)在数列an中，如果当 n2 时，anan1为常数，则an为等差数列，(大前提) 当通项公式为 an2n3 时，若 n2， 则 anan12n32(n1)32(常数)，(小前提) 通项公式为 an2n3 的数列an为等差数列(结论) 反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一 个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊 情况的内在联系有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前 提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 跟踪训练 1 将下面的演绎推理写成三段论的形式： (1)所有椭圆的离心

5、率 e 的取值范围为(0,1)，曲线 C： x2 2y 21 是椭圆，所以曲线 C 的离心率 e 的取值范围为(0,1) (2)等比数列的公比都不为零，数列2n(nN*)是等比数列，所以数列2n的公比不为零 解 (1)大前提：所有椭圆的离心率 e 的取值范围为(0,1) 小前提：曲线 C：x 2 2y 21 是椭圆 结论：曲线 C 的离心率 e 的取值范围为(0,1) (2)大前提：等比数列的公比都不为零 小前提：数列2n(nN*)是等比数列 结论：数列2n的公比不为零 类型二 演绎推理的应用 命题角度1 证明几何问题 例 2 如图，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 上的点，BFDA，DE

6、BA，求证：ED AF，写出三段论形式的演绎推理 证明 因为同位角相等，两直线平行，(大前提) BFD 与A 是同位角，且BFDA，(小前提) 所以 FDAE.(结论) 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DEBA，且 FDAE，(小前提) 所以四边形 AFDE 为平行四边形(结论) 因为平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和 AF 为平行四边形 AFDE 的对边，(小前提) 所以 EDAF.(结论) 反思与感悟 (1)用“三段论”证明命题的格式 大前提 小前提 结论 (2)用“三段论”证明命题的步骤 理清证明命题的一般思路 找出每一个结论得出的原因 把每个结论的推出过程

7、用“三段论”表示出来 跟踪训练 2 已知：在空间四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，如图所示， 求证：EF平面 BCD. 证明 因为三角形的中位线平行于底边，(大前提) 点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，EF 为ABD 的中位线(小前提) 所以 EFBD.(结论) 若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，(大前提) EF平面 BCD，BD平面 BCD，EFBD，(小前提) 所以 EF平面 BCD.(结论) 命题角度2 证明代数问题 例 3 设函数 f(x) ex x2axa，其中 a 为实数，若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围

8、解 若函数的定义域为 R，则函数对任意实数恒有意义，(大前提) f(x)的定义域为 R，(小前提) x2axa0 恒成立(结论) a24a0， 0a4. 即当 a(0,4)时，f(x)的定义域为 R. 引申探究 若本例的条件不变，求 f(x)的单调增区间 解 f(x)xxa2e x x2axa2， 由 f(x)0，得 x0 或 x2a. 0a4，当 0a0. 在(，0)和(2a，)上，f(x)0. f(x)的单调增区间为(，0)，(2a，) 当 a2 时，f(x)0 恒成立， f(x)的单调增区间为(，) 当 2a4 时，2a0， f(x)的单调增区间为(，2a)，(0，) 综上所述，当 0a

9、2 时，f(x)的单调增区间为(，0)，(2a，)； 当 a2 时，f(x)的单调增区间为(，)； 当 2a1)，证明：函数 f(x)在(1，)上为增函数 证明 方法一 (定义法) 任取 x1，x2(1，)，且 x10，且 a1，所以 21 xx a 1， 而1x10，x210， 所以 f(x2)f(x1)0， 所以 f(x)在(1，)上为增函数 方法二 (导数法) f(x)axx13 x1 ax1 3 x1. 所以 f(x)axln a 3 x12. 因为 x1，所以(x1)20，所以 3 x120. 又因为 a1，所以 ln a0，ax0， 所以 axln a0，所以 f(x)0. 所以

10、f(x)axx2 x1在(1，)上是增函数. 1下面几种推理过程是演绎推理的是_(填序号) 两条直线平行，同旁内角互补，如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，则AB 180 ； 某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过 50 人； 在数列an中，a11，an1 2 an1 1 an1 (n2)，由此归纳出an的通项公式 答案 解析 是演绎推理，是归纳推理 2在求函数 y log2x2的定义域时，第一步推理中大前提是当 a有意义时，a0；小前 提是 log2x2有意义；结论是_ 考点 “三段论”及其应用 题点 三段论的结构 答案 y log

11、2x2的定义域是4，) 解析 由大前提知 log2x20，解得 x4. 3推理：“菱形的对角线互相垂直，正方形是菱形，正方形的对角线互相垂直”中的 小前提是_ 答案 4把“函数 yx2x1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提： _； 小前提： _； 结论：_. 答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数yx2x1是二次函数 函数yx2x1的图 象是一条抛物线 5设 m 为实数，利用三段论证明方程 x22mxm10 有两个相异实根 证明 若一元二次方程 ax2bxc0(a0)的判别式 b24ac0， 则方程有两个相异实根(大前提) 方程 x22mxm10 的判别式 (2m)24(m1)4m24m4 (2m1)230，(小前提) 所以方程 x22mxm10 有两个相异实根(结论) 1应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果 前提是显然的，则可以省略 2合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由 一般到特殊的推理 3合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学 结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.