2.1.1 合情推理（第1课时）归纳推理 学案（苏教版高中数学选修2-2）

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1、21 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 211 合情推理合情推理 第第 1 课时课时 归纳推理归纳推理 学习目标 1.了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发 现中的作用 知识点一 推理 1推理的定义 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理 2推理的组成 任何推理都包含前提和结论两个部分， 前提是推理所依据的命题， 它告诉我们已知的知识是 什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么 知识点二 归纳推理 思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电 (2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体 以上

2、属于什么推理？ 答案 属于归纳推理符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事 物的全部对象都具有这些特征的推理 梳理 (1)归纳推理的定义 从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理 (2)归纳推理的思维过程大致如图 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 (3)归纳推理的特点 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象， 归纳所得的结论是尚属未知的一般现象， 该结论 超越了前提所包容的范围 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑推理和实践检验， 因此，它不能作为数学证明的工具 归纳推理是一种具有创造性的推理， 通过归纳推理得到的猜想， 可以

3、作为进一步研究的起 点，帮助人们发现问题和提出问题 1由个别到一般的推理为归纳推理( ) 2归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察或实验的基础上的，结论一定正确( ) 类型一 数列中的归纳推理 例 1 已知 f(x) x 1x，设 f1(x)f(x)，fn(x)fn 1(fn1(x)(n1，且 nN*)，则 f3(x)的表达式 为_，猜想 fn(x)(nN*)的表达式为_ 答案 f3(x) x 14x fn(x) x 12n 1x 解析 f(x) x 1x，f1(x) x 1x. 又fn(x)fn1(fn1(x)， f2(x)f1(f1(x) x 1x 1 x 1x x 12x， f3(x)f

4、2(f2(x) x 12x 12 x 12x x 14x， f4(x)f3(f3(x) x 14x 14 x 14x x 18x， f5(x)f4(f4(x) x 18x 18 x 18x x 116x， 根据前几项可以猜想 fn(x) x 12n 1x. 引申探究 在本例中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改为“fn(x)f(fn1(x)”，其他条件不变，试猜想 fn(x)(nN*)的表达式 解 f(x) x 1x，f1(x) x 1x. 又fn(x)f(fn1(x)， f2(x)f(f1(x) x 1x 1 x 1x x 12x， f3(x)f(f2(x) x 12x 1 x 12x

5、 x 13x， f4(x)f(f3(x) x 13x 1 x 13x x 14x. 因此，可以猜想 fn(x) x 1nx. 反思与感悟 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前 n 项和 (1)通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和 (2)根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关系求解 (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式 跟踪训练 1 已知数列an的前 n 项和为 Sn， a12 3， 且 Sn 1 Sn2an(n2)， 计算 S1， S2， S3，S4，并猜想 Sn的表达式 解 当 n1 时，S1a12 3； 当 n2 时， 1 S22S1 4

6、 3，所以 S2 3 4； 当 n3 时， 1 S32S2 5 4，所以 S3 4 5； 当 n4 时， 1 S42S3 6 5，所以 S4 5 6. 猜想：Snn1 n2，nN *. 类型二 等式与不等式中的归纳推理 例 2 (1)观察下列等式： 11 2 1 2， 11 2 1 3 1 4 1 3 1 4， 11 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4 1 5 1 6， ， 据此规律，第 n 个等式可为_ 答案 11 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n 解析 等式左边的特征：第 1 个有 2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6 项，且正负交错

7、，故第 n 个等式左边有 2n 项且正负交错，应为 11 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n；等式右边的特征：第 1 个有 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第 n 个等式右边有 n 项，且由前几个等式的 规律不难发现，第 n 个等式右边应为 1 n1 1 n2 1 2n. (2)观察下列式子： 1 1 22 3 2 ， 1 1 22 1 32 5 3 ， 1 1 22 1 32 1 42 7 4 ， ， 猜 想 第 n 个 不 等 式 为 _ 答案 1 1 22 1 32 1 n12 2n1 n1 解析 第 1 个不等式：1 1 112 211 11 ， 第 2 个

8、不等式：1 1 22 1 212 221 21 ， 第 3 个不等式：1 1 22 1 32 1 312 231 31 ， ， 故猜想第 n 个不等式： 1 1 22 1 32 1 42 1 n121， 等式 x1 x2； x 22 x3； x 33 x4； ， 可以推广为_ 答案 xnn xn1 解析 不等式左边是两项的和，第一项是 x，x2，x3，右边的数是 2,3,4，利用此规 律观察所给不等式，都是写成 xnn xn1 的形式，从而归纳出一般性结论：x nn xn1. (2)观察下列等式，并从中归纳出一般结论 112， 23432， 3456752， 4567891072， 56789

9、1011121392， 解 等号的左端是连续自然数的和，且项数为 2n1，等号的右端是项数的平方 所以猜想结论：n(n1)(3n2)(2n1)2(nN*) 类型三 图形中的归纳推理 例 3 如图，第 n 个图形是由正 n2 边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第 n 个图形中顶 点的个数为_ 答案 (n2)(n3) 解析 由已知中的图形我们可以得到： 当 n1 时，顶点共有 1234(个)， 当 n2 时，顶点共有 2045(个)， 当 n3 时，顶点共有 3056(个)， 当 n4 时，顶点共有 4267(个)， ， 则第 n 个图形共有顶点(n2)(n3)个 反思与感悟 图形中归纳推理的

10、特点及思路 (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系 (2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发 生了怎样的变化 跟踪训练 3 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案 中有黑色地面砖的块数是_ 答案 5n1 解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为 6，公差为 5 的等差数列，从而第 n 个图案中黑色地面砖的个数为 6(n1)55n1. 1观察下列各式： ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则 a10b10_. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组

11、)中的应用 答案 123 解析 利用归纳法：ab1，a2b23，a3b3314，a4b4437，a5b57 411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b94729 76，a10b107647123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和 2按照图 1、图 2、图 3 的规律，第 10 个图中圆点的个数为_ 答案 40 解析 图 1 中的点数为 414， 图 2 中的点数为 824， 图 3 中的点数为 1234， 所以图 10 中的点数为 10440. 3已知 a11，a21 3，a3 1 6，a4 1 10，则数列an的一个通项公式 an_. 答案 2

12、nn1(nN *) 解析 a1 2 12，a2 2 23，a3 2 34，a4 2 45， 则 an 2 nn1(nN *) 4观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函 数 f(x)满足 f(x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)_. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 g(x) 解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当 f(x)是偶函数时，其导函 数应为奇函数， 故 g(x)g(x) 5将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，求第 n 行(n3)从左向右数第 3 个数 解 前(n1)行共有正整数12(n1)个，即n 2n 2 个，因此第 n 行第 3 个数是全体 正整数中第 n2n 2 3 个，即为n 2n6 2 (nN*) 1归纳推理的一般步骤 (1)通过观察某类事物的个别情况，发现某些相同性质 (2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论 (3)猜想这个结论对该类事物都成立 2归纳推理应注意的问题 归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出 的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明