2.2.2 间接证明 学案（苏教版高中数学选修2-2）

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1、222 间接证明间接证明 学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法 证明数学问题 知识点一 间接证明 思考 阅读下列证明过程， 若 a2b2c2，则 a，b，c 不可能都是奇数 证明：假设 a，b，c 都是奇数， 则 a2，b2，c2都是奇数， a2b2为偶数， a2b2c2，这与已知矛盾 a，b，c 不可能都是奇数 请问上述证法是直接证明吗？为什么？ 答案 不是直接证明，因为这种证明既不是直接从条件出发，也不是从结论出发 梳理 间接证明 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证 明反证法就是一种常用的间接证明

2、方法间接证明还有同一法、枚举法等 知识点二 反证法 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友 一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问 王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而 这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的” 思考 1 本故事中王戎运用了什么论证思想？ 答案 运用了反证法思想 思考 2 反证法解题的实质是什么？ 答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确 梳理 (1)反证法证明过程 反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即

3、肯定原命题) (2)反证法证明命题的步骤 反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真 归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果 存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立 1反证法属于间接证明问题的方法( ) 2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理( ) 3反证法的实质是否定结论导出矛盾( ) 类型一 用反证法证明否定性命题 例 1 已知 a，b，c，dR，且 adbc1，求证：a2b2c2d2abcd1. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 证明 假设 a2b2c2d2abcd1. 因为 adbc1， 所以 a2b2c2d2abcdbcad

4、0， 即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20. 所以 ab0，cd0，ad0，bc0， 则 abcd0， 这与已知条件 adbc1 矛盾，故假设不成立 所以 a2b2c2d2abcd1. 反思与感悟 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题 的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法 (2)用反证法证明数学命题的步骤 跟踪训练 1 已知三个正数 a，b，c 成等比数列但不成等差数列求证： a， b， c不成等 差数列 证明 假设 a， b， c成等差数列， 则 2 b a c， 4bac2 ac. a，b

5、，c 成等比数列， b2ac， 由得 b ac，代入式， 得 ac2 ac( a c)20， ac，从而 abc. 这与已知 a，b，c 不成等差数列相矛盾， 假设不成立 故 a， b， c不成等差数列 类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题 例 2 a，b，c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a 不能都大于 1. 证明 假设(2a)b，(2b)c，(2c)a 都大于 1. 因为 a，b，c(0,2)， 所以 2a0,2b0,2c0. 所以2ab 2 2ab1. 同理，2bc 2 2bc1， 2ca 2 2ca1. 三式相加，得2ab 2 2bc 2 2ca 2 3， 即 3

6、3，矛盾 所以(2a)b，(2b)c，(2c)a 不能都大于 1. 反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反 证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下： 结论词 反设词 结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有 x 成立 存在某个 x 不成立 至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 x 成立 至少有 n 个 至多有 n1 个 p 或 q 綈 p 且綈 q 至多有 n 个 至少有 n1 个 p 且 q 綈 p 或綈 q 跟踪训练 2 已知 a，b，c，dR，且 abcd1，acb

7、d1.求证：a，b，c，d 中至少 有一个是负数 证明 假设 a，b，c，d 都不是负数， 即 a0，b0，c0，d0. abcd1， b1a0，d1c0， acbdac(1a)(1c)2ac(ac)1 (aca)(acc)1a(c1)c(a1)1. a(c1)0，c(a1)0， a(c1)c(a1)11， 即 acbd1，与 acbd1 相矛盾， 假设不成立，a，b，c，d 中至少有一个是负数 类型三 用反证法证明唯一性命题 例 3 求证：方程 2x3 有且只有一个根 证明 2x3，xlog23. 这说明方程 2x3 有根 下面用反证法证明方程 2x3 的根是唯一的 假设方程 2x3 至少有

8、两个根 b1，b2(b1b2)， 则 1 2b3, 2 2b3，两式相除得 12 2b b 1， b1b20，则 b1b2，这与 b1b2矛盾 假设不成立，从而原命题得证 反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证 明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等 形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此 可用反证法证其唯一性 跟踪训练 3 若函数 f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程 f(x)0 在区间a，b上至多有 一个实根 证明 假设方程f(x)0在区间a， b上至少有两个实

9、根， 设， 为其中的两个实根 因为 ， 不妨设 ，又因为函数 f(x)在a，b上是增函数，所以 f()f()这与假设 f()0f()矛 盾，所以方程 f(x)0 在区间a，b上至多有一个实根. 1证明“在ABC 中至多有一个直角”，第一步的假设应是_ 答案 三角形中至少有两个直角 2用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于 60 ”，应先假设这个三角形中 _ 答案 每一个内角都小于 60 3反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是_ 与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾 答案 4用反证法证明“在同一平面内，若 ac，bc，则 ab”时，应假设_ 答案 a

10、 与 b 相交 5已知：平面 和一点 P. 求证：过点 P 与 垂直的直线只有一条 证明 如图所示，不论点 P 在 内还是在 外，设 PA，垂足为 A(或 P) 假设过点 P 不止有一条直线与 垂直，如还有另一条直线 PB，设 PA，PB 确定的平面为 ，且 a，于是在平面 内过点 P 有两条直线 PA，PB 垂直于 a，这与过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直相矛盾，假设不成立，原命题成立 用反证法证题需把握三点 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证 明都是不全面的 (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不 从结论的反面出发进行论证，就不是反证法 (3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或 与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.