1.2 排列(第2课时)排列的应用 学案(苏教版高中数学选修2-3)
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1、第第 2 课时课时 排列的应用排列的应用 学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列,能应用排列数公 式解决简单的实际问题 知识点 排列及其应用 1排列数公式 Am nn(n1)(n2)(nm1)(n,mN *,mn) n! nm!. Annn(n1)(n2)21n!(叫做 n 的阶乘)另外,我们规定 0!1. 2应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤 类型一 无限制条件的排列问题 例 1 (1)有 7 本不同的书, 从中选 3 本送给 3 名同学, 每人各 1 本, 共有多少种不同的送法? (2)有 7 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每
2、人各 1 本,共有多少种不同的送法? 考点 排列的应用 题点 无限制条件的排列问题 解 (1)从 7 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学,相当于从 7 个元素中任取 3 个元素的一个排 列,所以共有 A37765210(种)不同的送法 (2)从7种不同的书中买3本书, 这3本书并不要求都不相同, 根据分步计数原理, 共有777 343(种)不同的送法 反思与感悟 典型的排列问题,用排列数计算其排列方法数;若不是排列问题,需用计数原 理求其方法种数排列的概念很清楚,要从“n 个不同的元素中取出 m 个元素”即在排列 问题中元素不能重复选取,而在用分步计数原理解决的问题中,元素可以重复选取 跟
3、踪训练 1 (1)有 5 个不同的科研小课题,从中选 3 个由高二(6)班的 3 个学习兴趣小组进行 研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法? (2)有 5 个不同的科研小课题,高二(6)班的 3 个学习兴趣小组报名参加,每组限报一个课题, 共有多少种不同的报名方法? 考点 排列的应用 题点 无限制条件的排列问题 解 (1)从 5 个不同的课题中选出 3 个,由兴趣小组进行研究,对应于从 5 个不同元素中取出 3 个元素的一个排列,因此不同的安排方法有 A3554360(种) (2)由题意知 3 个兴趣小组可能报同一科研课题,因此元素可以重复,不是排列问题 由于每个兴趣小组都有 5 种不
4、同的选择,且 3 个小组都选择完才算完成这件事,所以由分步 计数原理得共有 555125(种)报名方法 类型二 排队问题 命题角度 1 元素“相邻”与“不相邻”问题 例 2 3 名男生,4 名女生,这 7 个人站成一排在下列情况下,各有多少种不同的站法 (1)男、女各站在一起; (2)男生必须排在一起; (3)男生不能排在一起; (4)男生互不相邻,且女生也互不相邻 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起,即把 3 名男生进行全排列,有 A33种排法, 女生必须站在一起,即把 4 名女生进行全排列,有 A44种排法, 全体男生、女生各
5、看作一个元素全排列有 A22种排法, 由分步计数原理知共有 A33 A44 A22288(种)排法 (2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素,与 4 名女生组成 5 个元素全排列, 故有 A33 A55720(种)不同的排法 (3)(不相邻问题插空法)先排女生有 A44种排法,把 3 名男生安排在 4 名女生隔成的 5 个空中, 有 A35种排法,故有 A44 A351 440(种)不同的排法 (4)先排男生有 A33种排法让女生插空,有 A33A44144(种)不同的排法 反思与感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则元素相 邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个
6、元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排 列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将 不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素 跟踪训练 2 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单 (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种? 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 解 (1)先排歌唱节目有 A55种, 歌唱节目之间以及两端共有 6 个空位, 从中选 4 个放入舞蹈节 目,共有 A46种方法,所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 A55 A464
7、3 200(种)方法 (2)先排舞蹈节目有 A44种方法, 在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位, 恰好供 5 个歌唱节目 放入所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 A44 A552 880(种)方法 命题角度 2 特殊元素与特殊位置问题 例 3 从包括甲、乙两名同学在内的 7 名同学中选出 5 名同学排成一列,求解下列问题: (1)甲不在首位的排法有多少种? (2)甲既不在首位,又不在末位的排法有多少种? (3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种? (4)甲不在首位,乙不在末位的排法有多少种? 考点 排列的应用 题点 特殊元素与特殊位置问题 解 (1)方法一 把同学作为研究对象 第
8、一类:不含甲,此时只需从甲以外的其他 6 名同学中取出 5 名放在 5 个位置上,有 A56种 第二类:含有甲,甲不在首位:先从 4 个位置中选出 1 个放甲,再从甲以外的 6 名同学中选 出 4 名排在没有甲的位置上, 有 A46种排法 根据分步计数原理, 含有甲时共有 4A46种排法 由分类计数原理,共有 A564A462 160(种)排法 方法二 把位置作为研究对象 第一步,从甲以外的 6 名同学中选 1 名排在首位, 有 A16种方法 第二步,从占据首位以外的 6 名同学中选 4 名排在除首位以外的其他 4 个位置上,有 A46种方 法 由分步计数原理,可得共有 A16 A462 16
9、0(种)排法 方法三 (间接法)即先不考虑限制条件,从 7 名同学中选出 5 名进行排列,然后把不满足条 件的排列去掉 不考虑甲不在首位的要求,总的可能情况有 A57种;甲在首位的情况有 A46种,所以符合要求 的排法有 A57A462 160(种) (2)把位置作为研究对象,先满足特殊位置 第一步,从甲以外的 6 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置上,有 A26种方法 第二步,从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上,有 A35种方法 根据分步计数原理,有 A26 A351 800(种)方法 (3)把位置作为研究对象 第一步,从甲、乙以外的 5 名同学中选 2 名排在首
10、末 2 个位置,有 A25种方法 第二步,从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上,有 A35种方法 根据分步计数原理,共有 A25 A351 200(种)方法 (4)用间接法 总的可能情况是 A57种,减去甲在首位的 A46种,再减去乙在末位的 A46种注意到甲在首位同 时乙在末位的情况被减去了两次, 所以还需补回一次A35种, 所以共有A572A46A351 860(种) 排法 反思与感悟 “在”与“不在”排列问题解题原则及方法 (1)原则:解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时,可以从元素入手也可以从位置入 手,原则是谁特殊谁优先 (2)方法:从元素入手时,先给特殊
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