1.1 两个基本计数原理（第1课时）分类计数原理与分步计数原理 学案（苏教版高中数学选修2-3）

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1、1.1两个基本计数原理第1课时分类计数原理与分步计数原理学习目标1.了解分类计数原理与分步计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.知识点一分类计数原理第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车.思考1该志愿者从上海到天津的方案可分几类？答案两类，即乘飞机、坐火车.思考2这几类方案中各有几种方法？答案第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法.思考3该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？答案共有7613(种)不同的方法.梳理(1)完成一件事有两类不同的方式，在第1类方式中有m种不同的方法，在

2、第2类方式中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法.(2)完成一件事有n类不同的方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.知识点二分步计数原理若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有7个航班，从青岛到天津每天有6列火车.思考1该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？答案两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津.思考2完成每一个步骤各有几种方法？答案第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法.思考3该志愿者从上海到天津共有多少种不同

3、的方法？答案共有7642(种)不同的方法.梳理(1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法.(2)完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.1.在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()2.在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.()3.在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()4.在分步计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两

4、个步骤都完成后，这件事情才算完成.()类型一分类计数原理例1设集合A1,2,3,4，m，nA，则方程1表示焦点位于x轴上的椭圆有_个.考点分类计数原理题点分类计数原理的应用答案6解析因为椭圆的焦点在x轴上，所以mn.当m4时，n1,2,3；当m3时，n1,2；当m2时，n1，即所求的椭圆共有3216(个).反思与感悟(1)应用分类计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事.(2)利用分类计数原理解题的一般思路跟踪训练1若x，yN*，且xy5，则有序自然数对(x，y)共有_个.考点分类计数原理题点分类计数原理的应用答案10解析当x1时，y1,2,

5、3,4，共构成4个有序自然数对；当x2时，y1,2,3，共构成3个有序自然数对；当x3时，y1,2，共构成2个有序自然数对；当x4时，y1，共构成1个有序自然数对.根据分类计数原理，共有N432110(个)有序自然数对.类型二分步计数原理例2一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)考点分步计数原理题点分步计数原理的应用解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m110；第二步，有10种拨号方式，所以m210；第三步，有10种拨号方式，所以m310；第四步，有10种拨号方式，所以m410.

6、根据分步计数原理，共可以组成N1010101010 000(个)四位数的号码.引申探究若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，即m110；第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m29；第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m38；第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m47.根据分步计数原理，共可以组成N109875 040(个)四位数的号码.反思与感悟(1)应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.(2)利用分步计数

7、原理解题的一般思路分步：将完成这件事的过程分成若干步.计数：求出每一步中的方法数.结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.跟踪训练2从2，1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数yax2bxc的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为_.考点分步计数原理题点分步计数原理的应用答案100解析由题意知，a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法.由分步计数原理，得抛物线的条数为554100.类型三两个原理的比较例3现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选

8、一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的区别应用解(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类计数原理，共有52714(种)不同的选法.(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步计数原理，共有52770(种)不同的选法.(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步计数原理知，有5210(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5735(种)不同的选法；第三类是一幅选

9、自油画，一幅选自水彩画，有2714(种)不同的选法.所以共有10351459(种)不同的选法.反思与感悟分类讨论解决问题，必须思维清晰，保证分类标准的唯一性，这样才能保证分类不重复，不遗漏，运用两个原理解答时是先分类后分步还是先分步后分类，应视具体问题而定.跟踪训练3某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.方法一分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的

10、有213(种)选法，此时共有6318(种)选法；第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有122(种)选法.所以由分类计数原理知，共有18220(种)选法.方法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.第一类：甲入选.(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步计数原理，有122(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步计数原理，有166(种)选法，故甲入选的不同选法共有268(种).第二类：甲不入选，可分两步.第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法；第二步，从

11、只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步计数原理，有6212(种)不同的选法.综上，共有81220(种)不同的选法. 1.某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学参加夏令营，则不同的选法有_种.考点分类计数原理题点分类计数原理的应用答案50解析从班级中选出一位同学，这位同学既可以从男生中选，也可以从女生中选，因此是一个分类问题，可以用分类计数原理解决.第一类，从男生中选一位同学，有26种不同的选法；第二类，从女生中选一位同学，有24种不同的选法.所以不同的选法有262450(种).2.某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有_种.考点分类计数原理题点分类计数原理的应用答

12、案7解析分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3317(种).3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为_.考点分步计数原理题点分步计数原理的应用答案12解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.故共有4312(种)不同的配法.4.把5本书全部借给3名学生，有_种不同的借法.考点分步计数原理题点分步计数原理的应用答案243解析依题意知，每本书应借给三个人中的一个，即每本书都有3种不同的借法，由分步计数原理，得共有N3333335243(种)不同的借法.5.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员的选法有_种.(用数字作答)考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案9解析分为两类：2名老队员、1名新队员时，有3种选法；2名新队员、1名老队员时，有326(种)选法，即共有9种不同选法.1.使用两个原理解题的本质2.利用两个计数原理解决实际问题的常用方法