3.2 回归分析 学案(苏教版高中数学选修2-3)
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1、32 回归分析回归分析 学习目标 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个 变量间的线性相关程度.3.了解非线性回归分析 知识点一 线性回归模型 思考 某电脑公司有 5 名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表: 推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限 x/年 3 5 6 7 9 年推销金额 y/万元 2 3 3 4 5 请问如何表示年推销金额y与工作年限x之间的相关关系?y关于x的线性回归方程是什么? 答案 画出散点图,由图可知,样本点散布在一条直线附近,因此可用回归直线表示两变量 之间的相关关系 设所求的线性回归方程为y b xa , 则b i1
2、5 xi x yi y i1 5 xi x 2 10 200.5, a y b x 0.4. 所以年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程为 y 0.5x0.4. 梳理 线性回归模型 (1)随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值 x,y,y 的值不能由 x 完全确定,可将 x,y 之间的关系 表示为 yabx,其中 abx 是确定性函数, 称为随机误差 (2)随机误差产生的主要原因 所用的确定性函数不恰当引起的误差; 忽略了某些因素的影响; 存在观测误差 (3)线性回归模型中 a,b 值的求法 yabx 称为线性回归模型 a,b 的估计值为a ,b ,则 b i1 n xiyin
3、x y i1 n x2in x 2 , a y b x . (4)回归直线和线性回归方程 直线y a b x 称为回归直线,此直线方程即为线性回归方程,a 称为回归截距,b 称为回归系 数,y 称为回归值 知识点二 样本相关系数 r 具有相关关系的两个变量的线性回归方程为y b xa . 思考 1 变量y 与真实值 y 一样吗? 答案 不一定 思考 2 变量y 与真实值 y 之间误差大了好还是小了好? 答案 越小越好 梳理 样本相关系数 r 及其性质 (1)r i1 n xiyin x y i1 n x2in x 2 i1 n y2in y 2 . (2)r 具有以下性质: |r|1; |r|
4、越接近于 1,x,y 的线性相关程度越强; |r|越接近于 0,x,y 的线性相关程度越弱 知识点三 对相关系数 r 进行显著性检验的基本步骤 1提出统计假设 H0:变量 x,y 不具有线性相关关系; 2如果以 95%的把握作出判断,那么可以根据 10.950.05 与 n2 在教材附录 2 中查出 一个 r 的临界值 r0.05(其中 10.950.05 称为检验水平); 3计算样本相关系数 r; 4作出统计推断:若|r|r0.05,则否定 H0,表明有 95%的把握认为 x 与 y 之间具有线性相关 关系;若|r|r0.05,则没有理由拒绝原来的假设 H0,即就目前数据而言,没有充分理由认
5、为 y 与 x 之间有线性相关关系 1求线性回归方程前可以不进行相关性检验( ) 2在残差图中,纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号( ) 3利用线性回归方程求出的值是准确值( ) 类型一 求线性回归方程 例 1 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y b xa ; (3)试根据求出的线性回归方程,预测记忆力为 9 的同学的判断力 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 (1)散点图如图: (2) i
6、1 4 xiyi6283105126158, x 681012 4 9, y 2356 4 4, i1 4 x2i6282102122344, b 158494 344492 14 200.7, a y b x 40.792.3, 故线性回归方程为y 0.7x2.3. (3)由(2)中线性回归方程可知,当 x9 时,y 0.792.34,预测记忆力为 9 的同学的判 断力约为 4. 反思与感悟 (1)求线性回归方程的基本步骤 画出散点图,从直观上分析数据间是否存在线性相关关系 计算: x , y , i1 n x2i, i1 n xiyi. 代入公式求出y b xa 中参数b ,a 的值 写出
7、线性回归方程并对实际问题作出估计 (2)需特别注意的是,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归方程才有实际意义 跟踪训练 1 某班 5 名学生的数学和物理成绩如下表: 学生编号 1 2 3 4 5 学科编号 A B C D E 数学成绩(x) 88 76 73 66 63 物理成绩(y) 78 65 71 64 61 (1)画出散点图; (2)求物理成绩 y 对数学成绩 x 的线性回归方程; (3)一名学生的数学成绩是 96,试预测他的物理成绩 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 (1)散点图如图 (2) x 1 5(8876736663)73.2, y 1 5(7865716461)
8、67.8. i1 5 xiyi88787665737166646361 25 054. i1 5 x2i88276273266263227 174. 所以b i1 5 xiyi5 x y i1 5 x2i5 x 2 25 054573.267.8 27 174573.22 0.625. a y b x 67.80.62573.222.05. 所以 y 对 x 的线性回归方程是y 0.625x22.05. (3)当 x96 时,y 0.6259622.0582,即可以预测他的物理成绩约是 82. 类型二 线性回归分析 例 2 现随机抽取了某中学高一 10 名在校学生, 他们入学时的数学成绩(x)
9、与入学后第一次考 试的数学成绩(y)如下表: 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 请问:这 10 名学生的两次数学成绩是否具有线性关系? 考点 题点 解 x 1 10(12010899108)107.8, y 1 10(84645771)68. i1 10 x2i120210829921082116 584. i1 10 y2i84264257271247 384. i1 10 xiyi1208410864995710871 73 79
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