§1 离散型随机变量及其分布列 学案（北师大版高中数学选修2-3）

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1、1 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.掌握离散型随机变量的表示方法和 性质.3.会求简单的离散型随机变量的分布列 知识点一 离散型随机变量 思考 1 以上两个现象有何特点？ 掷一枚均匀的骰子，出现的点数； 在一块地里种下 8 颗树苗，成活的棵数 答案 各现象的结果都可以用数表示 思考 2 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果 能用数字表示吗？ 答案 可以，可用数字 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上 梳理 (1)随机变量 将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种

2、对应称为一个随机变 量，通常用大写的英文字母如 X，Y 来表示 (2)离散型随机变量 如果随机变量 X 的所有可能的取值都能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变 量 知识点二 离散型随机变量的分布列 思考 掷一枚骰子，所得点数为 X，则 X 可取哪些数字？X 取不同的值时，其概率分别是多 少？你能用表格表示 X 与 P 的对应关系吗？ 答案 x1,2,3,4,5,6，概率均为1 6. X 1 2 3 4 5 6 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 梳理 (1)离散型随机变量的分布列的定义 设离散型随机变量 X 的取值为 a1，a2，随机变量 X 取 ai的概率为 pi

3、(i1,2，)，记作： P(Xai)pi(i1,2，)， 或把上式列成表为 Xai a1 a2 P(Xai) p1 p2 上表或式称为离散型随机变量 X 的分布列 (2)离散型随机变量的性质 pi0；p1p21. 1随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个( ) 2离散型随机变量是指某一区间内的任意值( ) 3在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数( ) 4 在离散型随机变量分布列中， 在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之 积( ) 5在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为 1.( ) 类型一 离散型随机变量的概念 例 1 写出下列各随机变量可能的取

4、值， 并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果 (1)从一个装有编号为 1 号到 10 号的 10 个球的袋中，任取 1 球，被取出的球的编号为 X； (2)一个袋中装有 10 个红球，5 个白球，从中任取 4 个球，其中所含红球的个数为 X； (3)投掷两枚骰子，所得点数之和为 X. 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的结果 解 (1)X 的可能取值为 1,2,3，10，Xk(k1，2，10)表示取出第 k 号球 (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4.Xk 表示取出 k 个红球，(4k)个白球，其中 k0,1,2,3,4. (3)X 的可能取值为 2,3,4，12

5、.若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得 i 点，且 骰子乙得 j 点，则 X2 表示(1,1)；X3 表示(1,2)，(2,1)；X4 表示(1,3)，(2,2)，(3,1)； X12 表示(6,6) 引申探究 若将本例(3)的条件改为抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的 点数之差为 X，试求 X 的集合，并说明“X4”表示的试验结果 解 设第一枚骰子掷出的点数为 x，第二枚骰子掷出的点数为 y，其中 x，y1,2,3,4,5,6. 依题意得 Xxy. 则5X5， 即 X 的集合为5，4，3，2，1,0,1,2,3,4,5 则 X4X5，表示 x6，y1，

6、即第一枚骰子掷出 6 点，第二枚骰子掷出 1 点 反思与感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对 应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程不要漏掉 某些试验结果 跟踪训练 1 某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为 ；某网站中歌曲爱我中华一 天内被点击的次数为 ；体积为 1 000 cm3的球的半径长；射手对目标进行射击，击中目 标得 1 分，未击中目标得 0 分，用 表示该射手在一次射击中的得分上述问题中的 是离 散型随机变量的是( ) A B C D 考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 离散型随机变量的概念 答案 B

7、解析 由题意知中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而是离 散型随机变量 类型二 离散型随机变量分布列的性质 例 2 设随机变量 X 的分布列为 P Xk 5 ak(k1,2,3,4,5) (1)求常数 a 的值； (2)求 P X3 5 ； (3)求 P 1 10X 7 10 . 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 解 (1)由 a2a3a4a5a1，得 a 1 15. (2)P Xk 5 1 15k(k1,2,3,4,5)， P X3 5 P X3 5 P X4 5 P(X1) 3 15 4 15 5 15 4 5. (3)当 1 10X 7

8、 10时，只有 X 1 5， 2 5， 3 5时满足， 故 P 1 10X 7 10 P X1 5 P X2 5 P X3 5 1 15 2 15 3 15 2 5. 反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题 (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的 (2)不仅要注意 i1 n pi1，而且要注意 pi0，i1,2，n. 跟踪训练 2 (1)袋内有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记 X 0，两球全红， 1，两球非全红， 则 X 的分布列为_ (2)若离散型随机变量 X 的分布列为： X 0 1 P 9c2c 38c 则常数 c_. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题

9、点 根据分布列的性质求概率 答案 (1) X 0 1 P 3 11 8 11 (2)1 3 解析 (1)显然，P(X0) C26 C211 3 11， 所以 P(X1)1 3 11 8 11， 所以 X 的分布列是 X 0 1 P 3 11 8 11 (2)由随机变量分布列的性质可知： 9c2c38c1， 09c2c1， 038c1， 整理得 9c29c20， 1 37 18 c0或1 9c 1 37 18 ， 1 4c 3 8， 解得 c1 3. 类型三 求离散型随机变量的分布列 命题角度1 求离散型随机变量yf的分布列 例 3 设离散型随机变量 X 的分布列如下表所示： X 0 1 2 3

10、 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 求：(1)2X1 的分布列； (2)|X1|的分布列 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法 解 由条件中的分布列得： X 0 1 2 3 4 2X1 1 3 5 7 9 |X1| 1 0 1 2 3 (1)2X1 的分布列为 2X1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)|X1|的分布列为 |X1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 反思与感悟 (1)若 是一个随机变量，a，b 是常数，则 ab 也是一个随机变量，推广 到一般情况有：若 是随机变量，f(x

11、)是连续函数或单调函数，则 f()也是随机变量，也就 是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若 为离散型随机变量，则 f()也为离 散型随机变量 (2)已知离散型随机变量 的分布列，求离散型随机变量 f()的分布列的关键是弄清楚 取 每一个值时对应的 的值，再把 取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列 即可 跟踪训练 3 已知随机变量 X 的分布列为 X 1 2 n P 1 2 1 22 1 2n 求随机变量 Ysin 2X 的分布列 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法 解 由 Ysin 2X ， 得 Y 1X4k3，kN， 0X2k

12、，kN， 1X4k1，kN. P(Y1)P(X3)P(X7)P(X11) 1 23 1 27 1 211 2 15， P(Y0)P(X2)P(X4)P(X6) 1 22 1 24 1 26 1 3， P(Y1)P(X1)P(X5)P(X9)1 2 1 25 1 29 8 15. 所以随机变量 Y 的分布列为 Y 1 0 1 P 2 15 1 3 8 15 命题角度2 利用排列组合求分布 例 4 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为1 7，现有甲、乙两人从 袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人 取到白球时终止，每个球在每一次被

13、取出的机会是等可能的，用 表示取球终止所需要的取 球次数 (1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量 的分布列； (3)求甲取到白球的概率 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)设袋中原有 n 个白球，由题意知 1 7 C2n C27 nn1 2 76 2 nn1 76 ， 可得 n3 或 n2(舍去)，即袋中原有 3 个白球 (2)由题意， 的可能取值为 1,2,3,4,5. P(1)3 7； P(2)43 76 2 7； P(3)433 765 6 35； P(4)4323 7654 3 35； P(5)43213 76543 1 3

14、5. 所以 的分布列为 1 2 3 4 5 P 3 7 2 7 6 35 3 35 1 35 (3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为 事件 A， 则 P(A)P(1)P(3)P(5)22 35. 反思与感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义 (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率 (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证 跟踪训练 4 北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、 妮妮现有 8 个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数

15、量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量 1 2 3 1 1 从中随机地选取 5 只 (1)求选取的 5 只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若完整的选取奥运会吉祥物记 100 分；选出的 5 只中仅差一种记 80 分；差两种记 60 分； 以此类推，设 X 表示所得的分数，求 X 的分布列 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)选取的 5 只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率 PC 1 2 C 1 3 C58 6 56 3 28. (2)X 的取值为 100,80,60,40. P(X100)C 1 2 C 1

16、3 C58 3 28， P(X80)C 2 3C 2 2 C 1 3C 1 2 C 2 3C 3 3C 2 2C 2 3 C58 31 56， P(X60)C 1 3C 2 2 C 2 3C 1 2 C 3 3C 2 3 C 3 3 C58 18 56 9 28， P(X40)C 2 2 C 3 3 C58 1 56. 所以 X 的分布列为 X 100 80 60 40 P 3 28 31 56 9 28 1 56 1给出下列随机变量： 某机场候机室中一天的旅客数量为 X； 某人投篮 10 次投中的次数 X； 某水文站观测到一天中长江的水位为 X； 某立交桥一天内经过的车辆数为 X. 其中是离

17、散型随机变量的是( ) A B C D 考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 离散型随机变量的概念 答案 B 解析 中，某水文站观测到一天中长江的水位 X 的取值不可列出，所以不是离散型随机 变量 2已知随机变量 X 的分布列如下表所示，其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|1)等于( ) X 1 0 1 P a b c A.1 3 B. 1 4 C. 1 2 D. 2 3 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D 解析 a，b，c 成等差数列，2bac. 由分布列的性质得 abc3b1，b1 3. P(|X|1)P(X1)P(X1) 1P(X

18、0)11 3 2 3. 3已知随机变量 X 的分布列如下表(其中 a 为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果错误的是( ) Aa0.1 BP(X2)0.7 CP(X3)0.4 DP(X1)0.3 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C 解析 易得 a0.1，P(X3)0.3，故 C 错误 4某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 描述 1 次试验的成功次数，则 P(1) _. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 2 3 解析 设试验成功的概率为 p， 则

19、pp 21，p 2 3， P(1)2 3. 5将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数 的分布列 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 由题意知 i(i1,2,3,4,5,6)， 则 P(1) 1 C16C16 1 36； P(2) 3 C16C16 3 36 1 12； P(3) 5 C16C16 5 36； P(4) 7 C16C16 7 36； P(5) 9 C16C16 9 36 1 4； P(6) 11 C16C16 11 36. 所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为 1 2 3 4 5 6 P 1 36 1 12 5 36 7 36 1 4 11 36 1随机变量 X 是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量 X 的 线性组合 YaXb(a，b 是常数)也是随机变量 2 离散型随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表， 它从整体上反映了随机变量各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律