§1（第1课时）两个计数原理 学案（北师大版高中数学选修2-3）

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1、1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第1课时两个计数原理学习目标1.理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理.2.会利用两个计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题知识点一分类加法计数原理(加法原理)第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车思考1该志愿者从上海到天津的方案可分几类？答案两类，即乘飞机、坐火车思考2这几类方案中各有几种方法？答案第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法思考3该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？答案共有7613(种)不同的方法梳理分类加法计数原理(加法原理)完成一件事，可以有n类

2、办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法知识点二分步乘法计数原理(乘法原理)某运动员为备战网球公开赛，需从北京到A城进行封闭式训练，中途要在B城停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有6列动车思考1该运动员从北京到A城需要经过几个步骤？答案2个思考2该运动员从北京到A城共有多少种不同的方法？答案7642(种)梳理分步乘法计数原理(乘法原理)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法1在分类加法计数原理

3、中，两类不同方案中的方法可以相同()2在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事()3在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()4在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成()类型一分类加法计数原理的应用例1设集合A1,2,3,4，m，nA，则方程1表示焦点位于x轴上的椭圆的有()A6个 B8个 C12个 D16个考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案A解析因为椭圆的焦点在x轴上，所以mn.当m4时，n1,2,3；当m3时，n1,2；当m2时，n1，即所求的椭圆共有

4、3216(个)反思与感悟(1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是互不干扰的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事(2)利用分类加法计数原理解题的一般思路跟踪训练1满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13 C12 D10考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案B解析由已知得ab1.若a1时，b1,0,1,2，有4种可能；若a0时，b1,0,1,2，有4种可能；若a1时，b1,0,1，有3种可能；若a2时，b1,0，有2种可能共有(a，b)的个数为443213.类型二分步乘法计数原理例2一种号码锁有

5、4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，那么这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m110；第二步，有10种拨号方式，所以m210；第三步，有10种拨号方式，所以m310；第四步，有10种拨号方式，所以m410.根据分步乘法计数原理，共可以组成N1010101010 000(个)四位数的号码引申探究若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，即m110；第二步，去

6、掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m29；第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m38；第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m47.根据分步乘法计数原理，共可以组成N109875 040(个)四位数的号码反思与感悟(1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可(2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路分步：将完成这件事的过程分成若干步；计数：求出每一步中的方法数；结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果跟踪训练2从1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc的系数，则可组成不同的二次函数共_

7、个，其中不同的偶函数共_个(用数字作答)考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案186解析一个二次函数对应着a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有不同的二次函数33218(个)若二次函数为偶函数，则b0.a的取法有3种，c的取法有2种，则由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数326(个)类型三辨析两个计数原理例3现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间

8、，有几种不同的选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法根据分类加法计数原理，共有52714(种)不同的选法(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有52770(种)不同的选法(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5210(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5735(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2714(种)不同的选法所以共有1035

9、1459(种)不同的选法反思与感悟(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律(3)混合问题一般是先分类再分步跟踪训练3在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解选参加象棋比赛的学生有两种方法，在只会下象棋的3人中选或

10、在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法；在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选互相搭配，可得四类不同的选法从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有326(种)选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有326(种)选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有224(种)选法；2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法所以共有664218(种)选法所

11、以共有18种不同的选法.1从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为()A1113 B3429C34224 D以上都不对考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案B解析分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法，所以共有3429(种)不同的走法2现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A7 B12 C64 D81考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原

12、理的应用答案B解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法故共有4312(种)不同的配法3若x，yN，且xy5，则有序自然数对(x，y)的个数为()A6 B8 C9 D10考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案D解析当x1时，y1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；当x2时，y1,2,3，共构成3个有序自然数对；当x3时，y1,2，共构成2个有序自然数对；当x4时，y1，共构成1个有序自然数对根据分类加法计数原理，共有N432110(个)有序自然数对44名同学从跑步、跳高、跳远三个项目中任意

13、选报比赛项目，若每人报且只能报一项，则不同的报名方法共有()A81种 B64种C4种 D24种考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案A解析完成这件事共分四步：第一步，第1名同学可以报三个项目中的任何一个，有3种报名方法；第二步，第2名同学也有3种报名方法；第三步，第3名同学也有3种报名方法；第四步，第4名同学也有3种报名方法所以共有3481(种)报名方法5完成某项工作需4个步骤，每一步方法数相等，共有81种完成方法，若改革后完成这项工作减少了一个步骤，则改革后完成这项工作有_种方法考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案27解析设改革前每一步骤有n种方法，则n481，n3.故减少一个步骤后，共有33327(种)方法1使用两个原理解题的本质2利用两个计数原理解决实际问题的常用方法