§2 独立性检验 学案（北师大版高中数学选修2-3）

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1、2 独立性检验独立性检验 学习目标 1.理解 22 列联表，并会依据列联表判断两个变量是否独立.2.理解统计量 2 的意义和独立性检验的基本思想 知识点一 22 列联表 思考 某教育行政部门大力推行素质教育， 增加了高中生的课外活动时间， 某校调查了学生 的课外活动方式，结果整理成下表： 体育 文娱 总计 男生 210 230 440 女生 60 290 350 总计 270 520 790 如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？ 答案 可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断 梳理 设 A，B 为两个变量，每一变量都可以取两个值，得到表格. A B B1 B2 总计 A

2、1 a b ab A2 c d cd 总计 ac bd nabcd 其中，a 表示变量 A 取 A1，且变量 B 取 B1时的数据，b 表示变量 A 取 A1，且变量 B 取 B2 时的数据；c 表示变量 A 取 A2，且变量 B 取 B1时的数据；d 表示变量 A 取 A2，且变量 B 取 B2时的数据上表在统计中称为 22 列联表 知识点二 统计量 2 nadbc2 abcdacbd. (其中 nabcd 为样本容量) 知识点三 独立性检验 当 22.706 时，没有充分的证据判定变量 A，B 有关联； 当 22.706 时，有 90%的把握判定变量 A，B 有关联； 当 23.841 时

3、，有 95%的把握判定变量 A，B 有关联； 当 26.635 时，有 99%的把握判定变量 A，B 有关联 1列联表中的数据是两个分类变量的频数( ) 2事件 A 与 B 的独立性检验无关，即两个事件互不影响( ) 32的大小是判断事件 A 与 B 是否相关的统计量( ) 类型一 22 列联表及其应用 例 1 (1)两个变量 X，Y，它们的取值分别为 x1，x2和 y1，y2，其列联表为： Y X y1 y2 总计 x1 a b ab x2 c d cd 总计 ac bd abcd 若两个变量 X，Y 独立，则下列结论： adbc； a ab c cd； cd abcd bd abcd； c

4、a abcd bd abcd； abcdadbc abbdaccd0. 共中正确的序号是_ (2)甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下 列联表： 成绩 班级 优秀 不优秀 总计 甲班 10 35 45 乙班 7 38 45 总计 17 73 90 用频率估计的方法可判断成绩与班级_关(填“有”或“无”) 考点 定性分析的两类方法 题点 利用列联表定性分析 答案 (1) (2)无 解析 (1)因为变量 X，Y 独立， 所以 a abcd ac abcd ab abcd， 化简得 adbc，故正确；式化简得 adbc， 故正确 (2)根据 22 列联表得频率

5、表如下： 成绩 班级 优秀 不优秀 总计 甲班 1 9 7 18 1 2 乙班 7 90 19 45 1 2 总计 17 90 73 90 1 由于17 90 1 2 17 180，而 1 9 20 180； 73 90 1 2 73 180，而 7 18 70 180； 17 90 1 2 17 180，而 7 90 14 180； 73 90 1 2 73 180，而 19 45 76 180. 这些频率之间相差不大，可以认为成绩是否优秀与班级没有关系 反思与感悟 (1)22列联表X， Y对应的数据是从总体中抽取样本的统计数据， 所以即使X， Y 独立，adbc 一般也不恰好等于零 (2)

6、22 列联表中，|adbc|越小，说明“X，Y 独立”正确的可能性越大； |adbc|越大，说明“X，Y 有关联”(即 X，Y 不独立)正确的可能性越大 跟踪训练 1 在列联表中，相差越大，两个变量之间的关系越强的两个比值是( ) A. a ab与 c cd B. a cd与 c ab C. a ad与 c bc D. a bd与 c ac 考点 定性分析的两类方法 题点 利用列联表定性分析 答案 A 解析 a ab和 c cd 相差越大，说明 ad 与 bc 相差越大，两个变量之间的关系越强 类型二 利用 2公式判断两变量的关系 例 2 为研究时下的“韩剧热”，对某班 45 位同学的爸爸、妈

7、妈进行了问卷调查，结果如 下表所示. 喜欢韩剧 不喜欢韩剧 总计 妈妈 31 13 44 爸爸 15 21 36 总计 46 34 80 试问：是否有 99%以上的把握认为“喜欢韩剧和性别有关系”？ 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 解 由表中的数据，得 28031211513 2 44364634 6.715. 因为 6.7156.635， 所以有 99%以上的把握认为喜欢韩剧和性别有关系 反思与感悟 解独立性检验问题的基本步骤 跟踪训练 2 某研究小组调查了在 23 级风时的海上航行中男女乘客的晕船情况，共调查 了 71 人，其中女性 34 人，男性 37 人女性中有

8、10 人晕船，另外 24 人不晕船；男性中有 12 人晕船，另外 25 人不晕船 (1)根据以上数据建立 22 列联表； (2)判断晕船是否与性别有关系 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 解 (1)22 列联表如下： 晕船情况 性别 晕船 不晕船 总计 女 10 24 34 男 12 25 37 总计 22 49 71 (2)27110251224 2 22493734 0.08. 因为 0.082.706， 所以我们没有理由说晕船与性别有关 类型三 独立性检验的综合应用 例 3 海水养殖场进行某水产品的新、 旧网箱养殖方法的产量对比， 收获时各随机抽取了 100 个网箱，

9、测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图： (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养 殖法的箱产量不低于 50 kg”，估计 A 的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. 箱产量50 kg 箱产量50 kg 旧养殖法 新养殖法 附： P(2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2 nadbc2 abcdacbd. 考点 独立性检验思想的应用 题点 分类变量与统计、概率的综合性问题 解 (1)记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低

10、于 50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不 低于 50 kg”， 由 P(A)P(BC)P(B)P(C)， 则旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62， 故 P(B)的估计值为 0.62， 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66， 故 P(C)的估计值为 0.66， 则事件 A 的概率估计值为 P(A)P(B)P(C) 0.620.660.409 2， A 发生的概率为 0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得到列联表： 箱产量6.635， 故有 9

11、9%的把握认为箱产量与养殖方法有关 反思与感悟 两个分类变量相关关系的判断 (1)等高条形图法：在等高条形图中，可以估计满足条件 Xx1的个体中具有 Yy1的个体所 占的比例 a ab，也可以估计满足条件 Xx2 的个体中具有 Yy1的个体所占的比例 c cd.两个 比例的值相差越大，X 与 Y 有关系成立的可能性就越大 (2)观测值法： 通过 22 列联表， 先计算 2， 然后借助 2的含义判断“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度 跟踪训练 3 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 48 人进行了问卷调查得 到了如下的 22 列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计 男生

12、 6 女生 10 总计 48 已知在全班 48 人中随机抽取 1 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为2 3. (1)请将上面的 22 列联表补充完整(不用写计算过程)； (2)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为 X，求 X 的分布列与 均值 考点 独立性检验思想的应用 题点 分类变量与统计、概率的综合性问题 解 (1)列联表补充如下： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计 男生 22 6 28 女生 10 10 20 总计 32 16 48 (2)由 2 48220602 28203

13、2164.286. 因为 4.2863.841，所以，能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜爱打篮球与性别有 关 (3)喜爱打篮球的女生人数 X 的可能取值为 0,1,2. 其概率分别为 P(X0)C 2 10 C220 9 38， P(X1)C 1 10C 1 10 C220 10 19， P(X2)C 2 10 C220 9 38， 故 X 的分布列为 X 0 1 2 P 9 38 10 19 9 38 X 的均值为 EX010 19 9 191. 1已知变量 X 和 Y 的列联表如下，则( ) Y X y1 y2 总计 x1 a b ab x2 c d cd 总计 ac bd

14、abcd A.adbc 越小，说明 X 与 Y 的关系越弱 Badbc 越大，说明 X 与 Y 的关系越强 C(adbc)2越大，说明 X 与 Y 的关系越强 D(adbc)2越接近于 0，说明 X 与 Y 的关系越强 考点 定性分析的两类方法 题点 利用列联表定性分析 答案 C 解析 2 nadbc2 abcdacbd(其中 nabcd)，若(adbc) 2越大，则 2越大，说 明 X 与 Y 的关系越强 2如果有 95%的把握说事件 A 与 B 有关系，那么具体计算出的数据( ) A23.841 B26.635 D26.635 时，有 99%的把握认为 A 与 B 有关系； 当 23.84

15、1 时，有 95%的把握认为 A 与 B 有关系； 当 22.706 时，有 90%的握认为 A 与 B 有关系； 当 22.706 时，就没有充分的证据认为 A 与 B 有关系故选 A. 3在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关 系”的结论，并且有 99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( ) A100 个吸烟者中至少有 99 人患有肺癌 B1 个人吸烟，那么这个人有 99%的概率患有肺癌 C在 100 个吸烟者中一定有患有肺癌的人 D在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的思想

16、 答案 D 解析 独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的 4为了判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取 50 名学生，得到如下 22 列 联表： 理科 文科 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计 20 30 50 根据表中数据，得到 2501320107 2 23272030 4.844，则认为选修文科与性别有关系出错 的可能性约为_ 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 0.05 解析 由 2公式计算得 24.8443.841， 故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为 0.05. 5某省进行高中新课程改革已经四年

17、了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一 教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查， 共调查了 50 人， 其中有老教师 20 人，青年教师 30 人老教师对新课程教学模式赞同的有 10 人，不赞同的 有 10 人；青年教师对新课程教学模式赞同的有 24 人，不赞同的有 6 人 (1)根据以上数据建立一个 22 列联表； (2)判断是否有 99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 解 (1)22 列联表如下所示： 赞同 不赞同 总计 老教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 总计 34 16 50 (2)假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关” 由公式，得 2501062410 2 34162030 4.9636.635， 所以没有 99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关 1独立性检验的思想：先假设两个事件无关，计算统计量 2的值若 2值较大，则拒绝假 设，认为两个事件有关 2独立性检验的步骤 画列联表 计算 2. 将得到的 2值和临界值比较，下结论