§1(第2课时)两个计数原理的综合应用 学案(北师大版高中数学选修2-3)
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1、第第 2 课时课时 两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用 学习目标 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.会正确应用这两 个计数原理计数 知识点一 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种类 不同点 分类完成,类类相加 分步完成,步步相乘 每类方案中的每一种方法 都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件 事(每步中的一种方法不能 独立完成这件事) 注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,步骤完整 知识点二 两个计数原理的应用 解决较为复杂的计数问题,一般要将两个计数原理综合应用使用时要做到目的明确,层次 分
2、明,先后有序,还需特别注意以下两点: (1)合理分类,准确分步:处理计数问题,应扣紧两个原理,根据具体问题首先弄清楚是“分 类”还是“分步”, 要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准 分类时需要满足两个条件: 类与类之间要互斥(保证不重复);总数要完备(保证不遗漏),也就是要确定一个合理的 分类标准分步时应按事件发生的连贯过程进行分析,必须做到步与步之间互相独立,互不 干扰,并确保连续性 (2)特殊优先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的计数问题,一般应优先安排特殊元 素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置,体现出解题过程中的主次思想. 类型一 组数问题 例 1 用 0,1,2,3,
3、4 五个数字, (1)可以排成多少个三位数字的电话号码? (2)可以排成多少个三位数? (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数? 考点 两个计数原理的应用 题点 两个原理在排数中的应用 解 (1)三位数字的电话号码,首位可以是 0,数字也可以重复,每个位置都有 5 种排法,共 有 55553125(种) (2)三位数的首位不能为 0, 但可以有重复数字, 首先考虑首位的排法, 除 0 外共有 4 种方法, 第二、三位可以排 0,因此,共有 455100(种) (3)被 2 整除的数即偶数,末位数字可取 0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是 0, 则有 4312(种)排
4、法; 一类是末位数字不是 0, 则末位有 2 种排法, 即 2 或 4, 再排首位, 因 0 不能在首位,所以有 3 种排法,十位有 3 种排法,因此有 23318(种)排法因而 有 121830(种)排法即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数 引申探究 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数? 解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第一步定个位,只能从 1,3 中任取一个,有 2 种方法;第二步定首位,把 1,2,3,4 中除去用过的一个剩下的 3 个中任取 一个,有 3 种方法;第三步,第四步把剩下的包括 0 在内的 3 个数字先排百位有 3
5、种方法, 再排十位有 2 种方法由分步乘法计数原理知共有 233236(个) 反思与感悟 对于组数问题,应掌握以下原则: (1)明确特殊位置或特殊数字, 是我们采用“分类”还是“分步”的关键 一般按特殊位置(末 位或首位)分类, 分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成; 如果正面分类较多, 可采用间接法求解 (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位 跟踪训练 1 从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中 奇数的个数为( ) A24 B18 C12 D6 考点 两个计数原理的应用 题点 两个原理在排数中的应用 答案
6、B 解析 由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况;奇偶奇,偶奇奇如果 是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析(3 种情况),之后十位(2 种情况),最后百位(2 种情况),共 12 种;如果是第二种情况偶奇奇:个位(3 种情况),十位(2 种情况),百位(不能 是 0,1 种情况),共 6 种,因此总共有 12618(种)情况故选 B. 类型二 选(抽)取与分配问题 例 2 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级 去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( ) A16 种 B18 种 C37 种 D48 种 考点 抽取(分配)问题 题点
7、 抽取(分配)问题 答案 C 解析 方法一 (直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类:第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方 案只有 1 种情况;第二类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂,其分配方案 共有 339(种);第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配 方案共有 33327(种) 综上所述,不同的分配方案有 192737(种) 方法二 (间接法) 先计算 3 个班级自由选择去何工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的情况,即 444 33337(种)方案 反思与感悟 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法、
8、框图法或者图表法 (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计 数原理 一般地, 若抽取是有顺序的就按分步进行; 若是按对象特征抽取的, 则按分类进行 间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即 可 跟踪训练 2 3 个不同的小球放入 5 个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种 方法? 考点 抽取(分配)问题 题点 抽取(分配)问题 解 (以小球为研究对象)分三步来完成: 第一步:放第一个小球有 5 种选择; 第二步:放第二个小球有 4 种选择; 第三步:放第三个小球有 3 种选择, 由分步乘法计数原理得,总方
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