§2 排列（第1课时）排列与排列数公式 学案（北师大版高中数学选修2-3）

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1、2 排列排列 第第 1 课时课时 排列与排列数公式排列与排列数公式 学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单 的实际问题 知识点一 排列的定义 思考 1 若 A，B，C 三名同学排成一行照相，有哪些站法？请列举出来 答案 ABC，BCA，CAB，ACB，CBA，BAC. 思考 2 ABC 与 ACB 是同一种站法吗？ 答案 不是 梳理 排列的定义 从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从 n 个不同的元素 中任意取出 m 个元素的一个排列 知识点二 排列数及排列数公式 思考 1 从 1,2,3,4 这 4 个数字中选

2、出 3 个能构成多少个无重复数字的 3 位数？ 答案 43224(个) 思考 2 从 n 个不同的元素中取出 m 个(mn)元素排成一列，共有多少种不同排法？ 答案 n(n1)(n2)(nm1)种 梳理 排列数 排列数定义及表示 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫 作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Am n表示 排列 数公 式 乘积式 Am nn(n1)(n2)(nm1) 阶乘式 Am n n！ nm！(n，mN ，mn) 排列数的性质 Annn！ ；A0n1；0！1 1a，b，c 与 b，a，c 是同一个排列( ) 2同一个排列中，同一个元素

3、不能重复出现( ) 3在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化( ) 4从 4 个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列( ) 类型一 排列的概念 例 1 判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选 2 个小组分别去植树和种菜； (3)选 2 个小组去种菜； (4)选 10 人组成一个学习小组； (5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班 40 名学生在假期相互通信 考点 排列的概念 题点 排列的判断 解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的

4、，不存在顺序问题，所以不 是排列问题 (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题 (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题 (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列 问题 (6)A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题 反思与感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 跟踪训练 1 判断下列问题是否为排列问题： (1)会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方法？若选出 3 个座位安排三位客人，又 有多少种方法？ (

5、2)从集合 M1,2，9中，任取两个元素作为 a，b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的 椭圆方程x 2 a2 y2 b21？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲线方程 x2 a2 y2 b21? (3)平面上有 5 个点，其中任意三个点不共线，这 5 个点最多可确定多少条直线？可确定多 少条射线？ 考点 排列的概念 题点 排列的判断 解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题“入座”问题同“排队”问题，与顺序 有关，故选 3 个座位安排三位客人是排列问题 (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题若方程x 2 a2 y2 b21 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 则必有 ab，a，b 的大小关

6、系一定；在双曲线x 2 a2 y2 b21 中，不管 ab 还是 ab，方程 x2 a2 y2 b2 1 均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题 (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题 类型二 排列的列举问题 例 2 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ (2)写出从 4 个元素 a，b，c，d 中任取 3 个元素的所有排列 考点 排列的概念 题点 列举所有排列 解 (1)由题意作“树状图”，如下 故组成的所有两位数为 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有 12 个 (2)

7、由题意作“树状图”，如下 故所有的排列为 abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab， cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 反思与感悟 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围： “树状图”在解决排列元素个数不多的问题时， 是一种比较有效的表示方式 (2)策略： 在操作中先将元素按一定顺序排出， 然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类， 再安排第二个元素， 并按此元素分类， 依次进行， 直到完成一个排列， 这样能做到不重不漏， 然后再按树状图写出排列 跟踪训

8、练 2 写出 A，B，C，D 四名同学站成一排照相，A 不站在两端的所有可能站法 考点 排列的概念 题点 列举所有排列 解 由题意作“树状图”，如下， 故所有可能的站法是 BACD， BADC， BCAD， BDAC， CABD， CADB， CBAD， CDAB， DABC， DACB，DBAC，DCAB. 类型三 排列数公式及应用 例 3 (1)用排列数表示(55n)(56n)(69n)(nN，且 n55)； (2)计算2A 5 87A 4 8 A88A59 ； (3)求证：Am n1A m nmA m1 n . 考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算 (1)解 因为55n,56n，

9、， 69n中的最大数为 69n， 且共有 69n(55n)115(个) 元素， 所以(55n)(56n)(69n)A15 69n. (2)解 2A587A48 A88A59 28765478765 8765432198765 876587 87652491. (3)证明 方法一 因为 Am n1A m n n1！ n1m！ n！ nm！ n！ nm！ n1 n1m1 n！ nm！ m n1m m n！ n1m！mA m1 n ， 所以 Am n1A m nmA m1 n . 方法二 Am n1表示从n1 个元素中取出m 个元素的排列个数， 其中不含元素 a1的有A m n个 含有 a1的可这样

10、进行排列： 先排 a1，有 m 种排法，再从另外 n 个元素中取出 m1 个元素排在剩下的 m1 个位置上， 有 Am 1 n 种排法 故 Am n1mA m1 n Am n， 所以 mAm 1 n Am n1A m n. 反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的 排列数的值， 常用连乘积的形式进行计算， 而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有 关的论证时，一般用阶乘式 跟踪训练 3 不等式 Ax86Ax 2 8 的解集为( ) A2,8 B2,6 C(7,12) D8 考点 排列数公式 题点 解含有排列数的方

11、程或不等式 答案 D 解析 由 Ax86Ax 2 8 ，得 8！ 8x！6 8！ 10 x！， 化简得 x219x840， 解得 7x13 可表示为( ) AA10 x3 BA 11 x3 CA 10 x13 DA 11 x13 考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算 答案 B 解析 从(x3)，(x4)，到(x13)共(x3)(x13)111(个)数，所以根据排列数公 式知(x3)(x4)(x5)(x12)(x13)A11 x3. 4从 5 本不同的书中选 2 本送给 2 名同学，每人 1 本，不同的送法种数为( ) A5 B10 C15 D20 考点 排列的应用 题点 无限制条件的排列

12、问题 答案 D 5解方程 A42x1140A3x. 考点 排列数公式 题点 解含有排列数的方程或不等式 解 根据题意，原方程等价于 2x14， x3， xN， 2x1 2x 2x12x2140 xx1x2， 即 x3， xN， 2x12x135x2， 整理得 4x235x690(x3，xN)， 解得 x3 x23 4 N，舍去 . 1判断一个问题是不是排列的思路 排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关， 而且与元素的排列顺序有关 就是说， 在判断一个问题是不是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是 排列问题，否则不是排列问题 2关于排列数的两个公式 (1)排列数的第一个公式 Am nn(n1)(n2)(nm1)适用 m 已知的排列数的计算以及排 列数的方程和不等式在运用时要注意它的特点，从 n 起连续写出 m 个数的乘积即可 (2)排列数的第二个公式 Am n n！ nm！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在 具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，mN，mn”的 运用.