§2 排列（第2课时）排列的应用 学案（北师大版高中数学选修2-3）

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1、第第 2 课时课时 排列的应用排列的应用 学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数 公式解决简单的实际问题 知识点 排列及其应用 1排列数公式 Am nn(n1)(n2)(nm1)(n，mN，mn) n！ nm！. Annn(n1)(n2)2 1n！(读作 n 的阶乘)另外，我们规定 0！1. 2应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤 类型一 无限制条件的排列问题 例 1 (1)有 7 本不同的书， 从中选 3 本送给 3 名同学， 每人各 1 本， 共有多少种不同的送法？ (2)有 7 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人

2、各 1 本，共有多少种不同的送法？ 考点 排列的应用 题点 无限制条件的排列问题 解 (1)从 7 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，相当于从 7 个元素中任取 3 个元素的一个 排列，所以共有 A37765210(种)不同的送法 (2)从 7 种不同的书中买 3 本书，这 3 本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共 有 777343(种)不同的送法 反思与感悟 典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原 理求其方法种数排列的概念很清楚，要从“n 个不同的元素中取出 m 个元素”即在排列 问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可

3、以重复选取 跟踪训练 1 (1)有 5 个不同的科研小课题，从中选 3 个由高二(6)班的 3 个学习兴趣小组进 行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ (2)有 5 个不同的科研小课题， 高二(6)班的 3 个学习兴趣小组报名参加， 每组限报一个课题， 共有多少种不同的报名方法？ 考点 排列的应用 题点 无限制条件的排列问题 解 (1)从 5 个不同的课题中选出 3 个，由兴趣小组进行研究，对应于从 5 个不同元素中取 出 3 个元素的一个排列，因此不同的安排方法有 A3554360(种) (2)由题意知 3 个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题 由于每个兴

4、趣小组都有 5 种不同的选择， 且 3 个小组都选择完才算完成这件事， 所以由分步 乘法计数原理得共有 555125(种)报名方法 类型二 排队问题 命题角度1 元素“相邻”与“不相邻”问题 例 2 3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数 (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男、女各不相邻 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 解 (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有 A33种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有 A44种排法； 全体男生、

5、女生各视为一个元素，有 A22种排法 由分步乘法计数原理知，共有 A33 A44 A22288(种)排队方法 (2)三个男生全排列有 A33种方法，把所有男生视为一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排 列，有 A55种排法故有 A33 A55720(种)排队方法 (3)先安排女生，共有 A44种排法；男生在 4 个女生隔成的五个空中安排，共有 A35种排法，故 共有 A44 A351 440(种)排法 (4)排好男生后让女生插空，共有 A33 A44144(种)排法 反思与感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体， 后局部”的原则 元素相 邻问题， 一般用“捆绑法”， 先把相邻

6、的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排 列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将 不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素 跟踪训练 2 某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目， 求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？ (1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台； (2)2 个唱歌节目互不相邻； (3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 解 (1)先排唱歌节目有 A22种排法，再排其他节目有 A66种排法，

7、所以共有 A22 A661 440(种) 排法 (2)先排 3 个舞蹈节目和 3 个曲艺节目有 A66种排法，再从其中 7 个空(包括两端)中选 2 个排 唱歌节目，有 A27种插入方法，所以共有 A66 A2730 240(种)排法 (3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素，与 3 个曲艺节目排列共 A44种排法，再将 3 个舞蹈 节目插入，共有 A35种插入方法，最后将 2 个唱歌节目互换位置，有 A22种排法，故所求排法 共有 A44 A35 A222 880(种)排法 命题角度2 元素“在”与“不在”问题 例 3 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲只能在中间或

8、两端； (2)甲、乙必须在两端； (3)甲不在最左端，乙不在最右端 考点 排列的应用 题点 元素“在”与“不在”问题 解 (1)先考虑甲有 A13种方案，再考虑其余 5 人全排列，故 NA13 A55360(种) (2)先安排甲、乙有 A22种方案，再安排其余 4 人全排列，故 NA22 A4448(种) (3)方法一 甲在最左端的站法有 A55种，乙在最右端的站法有 A55种，且甲在最左端而乙在最 右端的站法有 A44种，共有 A662A55A44504(种)站法 方法二 以元素甲分类可分为两类：a.甲站最右端有 A55种，b.甲站在中间 4 个位置之一，而 乙不在最右端有 A14 A14

9、A44种，故共有 A55A14 A14 A44504(种)站法 反思与感悟 “在”与“不在”排列问题解题原则及方法 (1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置 入手，原则是谁特殊谁优先 (2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位 置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置 提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底不能一会考虑元素，一会考 虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误 跟踪训练 3 从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 m 接力赛，求满足下列条件的参赛方法 数： (1)甲不能跑第一棒和

10、第四棒； (2)甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒 考点 排列的应用 题点 元素“在”与“不在”的问题 解 (1)方法一 (元素分析法)： 从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类： 第一类，甲不参赛，有 A45种参赛方法 第二类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有 A12种方法，然后安排其他三棒， 有 A35种方法，此时有 A12A35种参赛方法 综上，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有 A45A12A35240(种) 方法二 (位置分析法)： 从位置的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，这两棒可以从除甲以外的 5 人中选 2 人，有 A25种方法；其余两棒从剩余 4 人中选，有 A2

11、4种方法 所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有 A25A24240(种) 方法三 (间接法)： 不考虑对甲的约束，6 个人占 4 个位置，有 A46种安排方法，甲跑第一棒或第四棒的参赛方 法有 2A35种，所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方法有 A462A35240(种) (2)方法一 (元素分析法)： 从人(元素)的角度考虑，优先考虑乙，可分为如下两类： 第一类，乙参加比赛，此时优先考虑乙，分为两种情况： ()乙跑第一棒，有 A3560(种)方法； ()乙不跑第一棒，有 A12种方法(跑第二棒或第三棒) 此时按甲是否参赛，又分为两类： 甲参赛，有 A12A24种方法； 甲不参赛，有 A34种方

12、法 故此时(乙不跑第一棒)共有 A12(A12A24A34)96(种)方法 由分类加法计数原理，得乙参加比赛共有 6096156(种)方法 第二类，乙不参赛，若甲参赛，先考虑甲，有 A13种方法，此时共有 A13A34种方法；若甲 不参赛，则有 A44种方法 从而乙不参赛时共有 A13A34A4496(种)方法 综上，共有 15696252(种)参赛方法 方法二 (位置分析法)： 从位置的角度考虑，第一棒与第四棒为特殊位置，优先考虑第一棒，分为如下两类： 第一类，第一棒为乙，则第四棒无限定条件，共有 A35种安排方法 第二类，第一棒不为乙，则第一棒有 A14种安排方法，第四棒(不能为乙和已跑第

13、一棒的人) 有 A14种安排方法， 其余两棒共有 A24种安排方法， 从而第一棒不为乙共有 A14A14A24种安排方法 由分类加法计数原理，得共有 A35A14A14A24252(种)参赛方法 方法三 (间接法)： 不考虑限定条件，有 A46种参赛方法，其中不符合要求的分为三类： 甲跑第一棒，乙跑第四棒，有 A11A11A24种参赛方法 甲跑第一棒，乙不跑第四棒，有 A11A14A24种参赛方法 甲不跑第一棒，乙跑第四棒，有 A11A14A24种参赛方法 综上，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒的参赛方法有 A46A11A11A242A11A14A24252(种) 命题角度3 排列中的定序问题 例

14、4 将 A，B，C，D，E 这 5 个字母排成一列，要求 A，B，C 在排列中的顺序为“A，B， C”或“C，B，A”(可以不相邻)则有多少种不同的排列方法？ 考点 排列的应用 题点 排列中的定序问题 解 5 个不同元素中部分元素 A， B， C 的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法 方法一 (整体法)5 个元素无约束条件的全排列有 A55种，由于字母 A，B，C 的排列顺序为 “A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B， A”排列方式的排列有A 5 5 A33240(种) 方法二 (插空法)若字母 A，B，C 的排列顺序为“A，B，C”，将

15、字母 D，E 插入，这时形 成的 4 个空中，分两类： 第一类，若字母 D，E 相邻，则有 A14 A22种排法； 第二类，若字母 D，E 不相邻，则有 A24种排法 所以有 A14 A22A2420(种)不同的排列方法 同理，若字母 A，B，C 的排列顺序为“C，B，A”，也有 20 种不同的排列方法 因此，满足条件的排列有 202040(种) 反思与感悟 在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问 题的基本方法有两种： (1)整体法，即若有 mn 个元素排成一列，其中 m 个元素之间的先后顺序确定不变，先将 这 mn 个元素排成一列，有 Am n mn种不同的排

16、法；然后任取一个排列，固定其他 n 个元素的 位置不动，把这 m 个元素交换顺序，有 Am m种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此 共有A mn mn Am m 种满足条件的不同排法 (2)插空法，即 m 个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这 m 个元素，只有一种排法， 然后把剩下的 n 个元素分类或分步插入由以上 m 个元素形成的空隙中 跟踪训练 4 用 1,2,3,4,5,6,7 组成没有重复数字的七位数，若 1,3,5,7 的顺序一定，则有 _个七位数符合条件 考点 排列的应用 题点 排列中的定序问题 答案 210 解析 若 1,3,5,7 的顺序不定，有 A4424(种)排法

17、，故 1,3,5,7 的顺序一定的排法数只占总排 法数的 1 24. 故有 1 24A 7 7210(个)七位数符合条件 类型三 数字排列问题 例 5 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ (1)六位奇数； (2)个位数字不是 5 的六位数； (3)不大于 4 310 的四位偶数 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 解 (1)第一步，排个位，有 A13种排法； 第二步，排十万位，有 A14种排法； 第三步，排其他位，有 A44种排法 故共有 A13A14A44288(个)六位奇数 (2)方法一 (直接法)： 十万位数字的排法因个位上排 0 与不排

18、 0 而有所不同， 因此需分两类 第一类，当个位排 0 时，有 A55个； 第二类，当个位不排 0 时，有 A14A14A44个 故符合题意的六位数共有 A55A14A14A44504(个) 方法二 (排除法)： 0 在十万位和 5 在个位的排列都不对应符合题意的六位数， 这两类排列中都含有 0 在十万位 和 5 在个位的情况 故符合题意的六位数共有 A662A55A44504(个) (3)分三种情况，具体如下： 当千位上排 1,3 时，有 A12A13A24个 当千位上排 2 时，有 A12A24个 当千位上排 4 时，形如 4 02,4 20 的各有 A13个； 形如 4 1的有 A12A

19、13个； 形如 4 3的只有 4 310 和 4 302 这两个数 故共有 A12A13A24A12A242A13A12A132110(个) 反思与感悟 数字排列问题是排列问题的重要题型， 解题时要着重注意从附加受限制条件入 手分析，找出解题的思路常见附加条件有：(1)首位不能为 0；(2)有无重复数字；(3)奇偶 数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数 跟踪训练 5 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)能被 5 整除的五位数； (2)能被 3 整除的五位数； (3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列an，则 240 135 是第几项 考点

20、排列的应用 题点 数字的排列问题 解 (1)个位上的数字必须是 0 或 5.个位上是 0， 有 A45个； 个位上是 5， 若不含 0， 则有 A44个； 若含 0，但 0 不作首位，则 0 的位置有 A13种排法，其余各位有 A34种排法，故共有 A45A44 A13A34216(个)能被 5 整除的五位数 (2)能被 3 整除的条件是各位数字之和能被 3 整除，则 5 个数可能有1,2,3,4,5和0,1,2,4,5 两种情况，能够组成的五位数分别有 A55个和 A14A44个 故能被 3 整除的五位数有 A55A14A44216(个) (3)由于是六位数，首位数字不能为 0，首位数字为

21、1 有 A55个数，首位数字为 2，万位上为 0,1,3 中的一个，有 3A44个数， 240 135 的项数是 A553A441193， 即 240 135 是数列的第 193 项. 16 位学生排成两排，每排 3 人，则不同的排法种数为( ) A36 B120 C240 D720 考点 排列的应用 题点 无限制条件的排列问题 答案 D 解析 不同的排法有 A66654321720(种) 26 位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次 序共有( ) A240 种 B360 种 C480 种 D720 种 考点 排列的应用 题点 元素“在”与“不在”问题 答案

22、 C 解析 第一步：排甲，共有 A14种不同的排法；第二步：排其他人，共有 A55种不同的排法， 因此不同的演讲次序共有 A14A55480(种) 3用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有( ) A144 个 B120 个 C96 个 D72 个 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 答案 B 解析 当五位数的万位为 4 时，个位可以是 0,2，此时满足条件的偶数共有 2A3448(个)；当 五位数的万位为5 时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3A3472(个)，所以比40 000 大的偶数共有 4872120(个) 45

23、位母亲带领 5 名儿童站成一排照相，则儿童不相邻的站法有_种 考点 排列的应用 题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 86 400 解析 第 1 步，先排 5 位母亲的位置，有 A55种排法； 第 2 步，把 5 名儿童插入 5 位母亲所形成的 6 个空位中，如下所示： 母亲_母亲_母亲_母亲_母亲_，共有 A56种排法 由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有 A55 A5686 400(种) 5两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定 要排两位爸爸， 另外， 两个小孩一定要排在一起， 则这 6 人的入园顺序排法种数为_ 考点 排列的应用 题点 元素“

24、相邻”与“不相邻”问题 答案 24 解析 分 3 步进行分析， 先安排两位爸爸，必须一首一尾，有 A222 种排法， 两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有 A222(种)排法， 将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有 A336(种)排法则共有 226 24(种)排法 求解排列问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列， 同时注意捆绑 元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的 元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元 素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法