§3 组合（第1课时）组合与组合数公式 学案（北师大版高中数学选修2-3）

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1、3 组合组合 第第 1 课时课时 组合与组合数公式组合与组合数公式 学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解 决简单的组合问题 知识点一 组合的定义 思考 从 3,5,7,11 中任取两个数相除； 从 3,5,7,11 中任取两个数相乘 以上两个问题中哪个是排列？与有何不同特点？ 答案 是排列，中选取的两个数是有顺序的，中选取的两个数无需排列 梳理 从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素为一组，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合 知识点二 组合数与组合数公式 从 3,5,7,11 中任取两个数相除， 思考 1 如何用分步乘法

2、计数原理求商的个数？ 答案 第 1 步，从这四个数中任取两个数，有 C24种方法；第 2 步，将每个组合中的两个数排 列，有 A22种排法由分步乘法计数原理，可得商的个数为 C24A2212. 思考 2 你能得出 C24的计算公式吗？ 答案 因为 A24C24A22，所以 C24A 2 4 A226. 梳理 组合数定义及 表示 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合 的个数， 叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组 合数，用符号 Cm n表示 组合数公式 乘积形式 Cm nA m n Am m nn1n2nm1 m！ 阶乘形式 Cm n n！ m！nm！ 性质 Cm nC

3、nm n Cm n1C m nC m1 n 备注 n，mN，且 mn，规定 C0n1 1从 a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合的个数为 C23.( ) 2从 1,3,5,7 中任取两个数相乘可得 C24个积( ) 3C3554360.( ) 4C2 016 2 017C 1 2 0172 017.( ) 类型一 组合概念的理解 例 1 给出下列问题： (1)a，b，c，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班 40 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同

4、的选 法？ (4)从全班 40 人中选出 3 人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断 解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题 (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题 (3)3 人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题 (4)3 人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题 反思与感悟 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而 区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素 的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序

5、，是排列问题；若无新变化，即 说明无顺序，是组合问题 跟踪训练 1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果 (1)集合0,1,2,3,4的含三个元素的子集的个数是多少？ (2)某小组有 9 位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出 2 名 代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断 解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从 0,1,2,3,4 中取出 3 个数组成的集合这是一个组合问题，组合的个数是 C3510. (2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是 A299872，所以选正

6、、副班 长共有 72 种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有 C2936(种) 类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例 2 (1)计算 C410C37 A33； 考点 组合数公式 题点 利用组合数公式进行计算 解 原式C410A3710987 4321 7652102100. (2)求证：mCm nnC m1 n1. 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 证明 mCm nm n！ m！nm！ n n1！ m1！nm！ n n1！ m1！nm！nC m1 n1， 原式成立 反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式 Cm

7、nA m n Am m nn1n2nm1 m！ 计算 (2)涉及字母的可以用阶乘式 Cm n n！ m！nm！计算 (3)计算时应注意利用组合数的两个性质： Cm nC nm n ；Cm n1C m nC m1 n . 跟踪训练 2 (1)计算 C34C35C36C32 017的值为( ) AC42 017 BC52 017 CC42 0181 DC52 0171 (2)计算 C98 100C 199 200_. 考点 组合数性质 题点 利用组合数的性质计算与证明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C34C35C36C32 017 C44C34C35C36C32 017C44 C4

8、5C35C32 0171 C42 017C32 0171C42 0181. (2)C98 100C 199 200C 2 100C 1 200 10099 2 2005 150. 命题角度2 含组合数的方程或不等式 例 3 (1)已知 1 Cm 5 1 Cm 6 7 10Cm 7 ，求 Cm 8C 5m 8 ； (2)解不等式 C4nC6n. 考点 组合数性质 题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 (1) 1 Cm 5 1 Cm 6 7 10Cm 7 ， m！5m！ 5！ m！6m！ 6！ 77m！m！ 107！ ， 即m！5m！ 5！ m！6m5m！ 65！ 7m！7m6m5m！ 107

9、65！ . 16m 6 7m6m 60 ， 即 m223m420，解得 m2 或 21. 0m5，m2， Cm 8C 5m 8 C28C38C3984. (2)由 C4nC6n，得 n！ 4！n4！ n！ 6！n6！， n6 即 n29n100， n6， 解得 1n10， n6， 又 nN，该不等式的解集为6,7,8,9 反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略 nN. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求 解时，要注意由 Cm n中的 mN，nN，且 nm 确定 m，n 的范围，因此求解后要验证所 得结果是否

10、适合题意 跟踪训练 3 解方程 3Cx 7 x35A 2 x4. 考点 组合数性质 题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 原式可变形为 3C4x35A2x4， 即3x3x4x5x6 4321 5(x4)(x5)， 所以(x3)(x6)54285. 所以 x11 或 x2(舍去) 经检验符合题意，所以方程的解为 x11. 类型三 简单的组合问题 例 4 有 10 名教师，其中 6 名男教师，4 名女教师 (1)现要从中选 2 名去参加会议，有_种不同的选法； (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师参加会议，有_种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有_种不同的选

11、法 考点 组合的应用 题点 无限制条件的组合问题 答案 (1)45 (2)21 (3)90 解析 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元 素的组合数，即 C210109 21 45(种) (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法 根据分类加法计算原理，共有 C26C2415621(种)不同选法 (3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种，从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C24种，根据分步 乘法计数原理，共有不同的选法 C26C24

12、65 21 43 2190(种) 反思与感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问 题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关， 而组合问题与取出元素的顺序无关 (2)要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏 跟踪训练 4 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球 (1)从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 解 (1

13、)从口袋内的 8 个球中取出 3 个球， 取法种数是 C38876 32156. (2)从口袋内取出 3 个球有 1 个是黑球， 于是还要从 7 个白球中再取出 2 个， 取法种数是 C27 76 2121. (3)由于所取出的 3 个球中不含黑球，也就是要从 7 个白球中取出 3 个球，取法种数是 C37 765 32135. 1给出下列问题： 从甲、 乙、 丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加 2 个乡镇的社会调查， 有多少种不同的选法？ 有 4 张电影票，要在 7 人中选出 4 人去观看，有多少种不同的选法？ 某人射击 8 枪，击中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，则不同的结

14、果有多少种？ 其中组合问题的个数是( ) A3 B2 C1 D0 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 B 解析 与顺序有关，是排列问题，均与顺序无关，是组合问题，故选 B. 2集合 Mx|xCn4，n0 且 nN，集合 Q1,2,3,4，则下列结论正确的是 ( ) AMQ0,1,2,3,4 BQM CMQ DMQ1,4 考点 组合数公式 题点 利用组合数公式进行计算 答案 D 解析 由 Cn4知 n0,1,2,3,4，因为 C041，C144，C2443 2 6，C34C144，C441，所以 M 1,4,6故 MQ1,4 3若 Cn12C2n 3 12 ，则 n 等于( ) A3 B5

15、 C3 或 5 D15 考点 组合数性质 题点 含有组合数的方程或不等式的问题 答案 C 解析 由组合数的性质得 n2n3 或 n2n312，解得 n3 或 n5，故选 C. 4某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 5 门，一位同学要从中选 3 门，若要求两类课程中 至少各选 1 门，则不同的选法共有( ) A15 种 B30 种 C45 种 D90 种 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 C 解析 分两类，A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，或者 A 类选修课选 2 门，B 类选修 课选 1 门，因此，共有 C13 C25C23 C1545(种)选法 5五

16、个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成_条线段；如果是有向线段，共 有_条 考点 组合的概念 题点 组合的判断 答案 10 20 解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连 成的线段共有 C2510(条) .再考虑有向线段的问题， 这时两个点的先后排列次序不同则对应不 同的有向线段，所以是排列问题，排列数是 A2520.所以有向线段共有 20 条 1排列与组合的联系与区别 (1)联系：二者都是从 n 个不同的元素中取 m(mn)个元素 (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 2关于组合数的计算 (1)涉及具体数字的可以直接用公式 Cm nA m n Am m nn1n2nm1 m！ 计算 (2)涉及字母的可以用阶乘式 Cm n n！ m！nm！计算 (3)组合数的两个性质： 性质 1：Cm nC nm n ； 性质 2：Cm n1C m nC m1 n .