§4 简单计数问题 学案(北师大版高中数学选修2-3)
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1、4 简单计数问题简单计数问题 学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列 与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题 知识点一 两个计数原理 1分类加法计数原理(加法原理) 完成一件事,可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1种方法,在第二类办法中有 m2种方 法,在第 n 类办法中有 mn种方法,那么,完成这件事共有 Nm1m2mn种方 法 2分步乘法计数原理(乘法原理) 完成一件事需要经过n个步骤, 缺一不可, 做第一步有m1种方法, 做第二步有m2种方法, , 做第 n 步有 mn种方法,那么,完成这件事共有 Nm1m2mn种方法 3分
2、类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事的不同方法的种数它们的 区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以 完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了, 这件事才算完成. 知识点二 排列 1排列 从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从 n 个不同的元 素中任意取出 m 个元素的一个排列 2排列数 排列数定义及表示 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数, 叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,记作 Am n 排列数 公式 乘积式 Am nn(
3、n1)(n2)(nm1) 阶乘式 Am n n! nm!(n,mN ,mn) 排列数的性质 Annn! ;A0n1,0!1 知识点三 组合 1组合 一般地,从 n 个不同的元素中,任取 m(mn)个元素为一组,叫作从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个组合 2组合数 (1)组合数定义: 从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数, 叫作从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数,用符号 Cm n表示 (2)组合数公式 组合数 公式 乘积形式 Cm nA m n Am m nn1n2nm1 m! 阶乘形式 Cm n n! m!nm! 备注 n,mN,且 mn,规定 C0
4、n1 特别提醒:1.排列组合综合题的一般解法 一般坚持先组后排的原则, 即先选元素后排列, 同时注意按元素性质分类或按事件的发生过 程分类 2解决有限制条件的排列、组合问题的一般策略 (1)特殊元素优先安排的策略 (2)正难则反,等价转化的策略 (3)相邻问题捆绑处理的策略 (4)不相邻问题插空处理的策略 (5)定序问题除法处理的策略 (6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略 (7)平均分组问题,除法处理的策略 (8)构造模型的策略. 类型一 两个计数原理的应用 命题角度1 “类中有步”的计数问题 例 1 电视台在某节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信, 甲信箱中
5、有 30 封,乙信箱中有 20 封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之 星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有_种不同的结果 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 28 800 解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星, 决定了后边选幸运伙伴是不同的, 故要分两类分别计 算:(1)幸运之星在甲箱中抽,先确定幸运之星,再在两箱中各确定一名幸运伙伴,有 30292017 400(种)结果;(2)幸运之星在乙箱中抽,同理有 20193011 400(种)结 果因此共有 17 40011 40028 800(种)不同结果 反思与感悟 用流程图描述计数问题,类中有步的情
6、形如图所示: 具体意义如下: 从 A 到 B 算作一件事的完成,完成这件事有两类办法,在第 1 类办法中有 3 步,在第 2 类 办法中有 2 步,每步的方法数如图所示 所以,完成这件事的方法数为 m1m2m3m4m5, “类”与“步”可进一步地理解为: “类”用“”号连接,“步”用“”号连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一 件事的完成,“步”缺一不可 跟踪训练 1 现有 4 种不同颜色,要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两 部分不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有( ) A24 种 B30 种 C36 种 D48 种 考点 涂色问题 题点 涂色问题 答案 D 解析 将原
7、图从上而下的 4 个区域标为 1,2,3,4.因为 1,2,3 之间不能同色,1 与 4 可以同色, 因此,要分类讨论 1,4 同色与不同色这两种情况故不同的着色方法种数为 432 432148.故选 D. 命题角度2 “步中有类”的计数问题 例 2 有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、 “握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复若上 午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测一人,则不同的安 排方式共有_种(用数字作答) 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 264
8、解析 上午总测试方法有 432124(种);我们以 A,B,C,D,E 依次代表五个测试 项目若上午测试 E 的同学下午测试 D,则上午测试 A 的同学下午只能测试 B,C,确定上 午测试 A 的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有 2 种;若上午测试 E 的同学下午 测试 A,B,C 之一,则上午测试 A,B,C 中任何一个的同学下午都可以测试 D,安排完这 位同学后其余两位同学的测试方式就确定了,故共有 339(种)测试方法,即下午的测试 方法共有 11 种,根据分步乘法计数原理,总的测试方法共有 2411264(种) 反思与感悟 用流程图描述计数问题,步中有类的情形如图所示: 从计数
9、的角度看,由 A 到 D 算作完成一件事,可简单地记为 AD. 完成 AD 这件事,需要经历三步,即 AB,BC,CD.其中 BC 这步又分为三类,这 就是步中有类 其中 mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数 完成 AD 这件事的方法数为 m1(m2m3m4)m5. 以上给出了处理步中有类问题的一般方法 跟踪训练 2 如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有( ) A11 种 B12 种 C20 种 D21 种 考点 两个计数原理的区别与联系 题点 两个原理的简单综合应用 答案 D 解析 根据题意,设 5 个开关依次为 1,2,3,4,5,若电路接通,则开关 1,2 与 3,4,
10、5 中至少有 1 个接通, 对于开关 1,2,共有 224(种)情况,其中全部断开的有 1 种情况,则其至少有 1 个接通的 有 413(种)情况, 对于开关 3,4,5,共有 2228(种)情况,其中全部断开的有 1 种情况,则其至少有 1 个 接通的有 817(种)情况,则电路接通的情况有 3721(种)故选 D. 类型二 有限制条件的排列问题 例 3 3 个女生和 5 个男生排成一排 (1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法? (5)
11、如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻),有多少种不同的排法? 考点 排列的应用 题点 有限制条件的排列问题 解 (1)(捆绑法)因为 3 个女生必须排在一起,所以可先把她们看成一个整体,这样同 5 个男 生合在一起共有 6 个元素,排成一排有 A66种不同排法对于其中的每一种排法,3 个女生 之间又有 A33种不同的排法,因此共有 A66 A334 320(种)不同的排法 (2)(插空法)要保证女生全分开,可先把 5 个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空, 这样共有 4 个空,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有 6 个位置,再把 3 个女生插入这 6 个位置中,只要保证每个位置至多插入一
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