§3 组合(第2课时)组合的应用 学案(北师大版高中数学选修2-3)
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1、第第 2 课时课时 组合的应用组合的应用 学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问 题 知识点 组合应用题的解法 1无限制条件的组合应用题的解法步骤为:一、判断;二、转化;三、求值;四、作答 2有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有:直接法、间接法可将条件视为特殊元素或特殊位置,一般地按从不同位置选 取元素的顺序分步,或按从同一位置选取的元素个数的多少分类. 类型一 有限制条件的组合问题 例 1 课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、女生各有一名队长,现 从中选 5 人主持某项活动,依下列条件各有多少种选法? (1)至少
2、有一名队长当选; (2)至多有两名女生当选; (3)既要有队长,又要有女生当选 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 解 (1)C513C511825(种) (2)至多有 2 名女生当选含有三类: 有 2 名女生;只有 1 名女生;没有女生, 所以共有 C25C38C15C48C58966(种)选法 (3)分两类: 第一类女队长当选,有 C412495(种)选法, 第二类女队长没当选,有 C14C37C24C27C34C17C44295(种)选法, 所以共有 495295790(种)选法 反思与感悟 有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类: 一是“含”与“不含”问题,其解法常用直接分步
3、法,即“含”的先取出,“不含”的可把 所指元素去掉再取,分步计数; 二是“至多”“至少”问题,其解法常有两种解决思路:一是直接分类法,但要注意分类要 不重不漏;二是间接法,注意找准对立面,确保不重不漏 跟踪训练 1 某食堂每天中午准备 4 种不同的荤菜,7 种不同的蔬菜,用餐者可以按下述方 法之一搭配午餐:(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭;(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋 炒饭则每天不同午餐的搭配方法共有( ) A210 种 B420 种 C56 种 D22 种 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 答案 A 解析 由分类加法计数原理知, 两类配餐的搭配方法之和即为所求, 所以每天
4、不同午餐的搭 配方法共有 C24C27C14C27210(种) 类型二 与几何有关的组合应用题 例 2 如图,在以 AB 为直径的半圆周上,有异于 A,B 的六个点 C1,C2,C6,线段 AB 上有异于 A,B 的四个点 D1,D2,D3,D4. (1)以这 10 个点中的 3 个点为顶点可作多少个三角形?其中含 C1点的有多少个? (2)以图中的 12 个点(包括 A,B)中的 4 个点为顶点,可作出多少个四边形? 考点 组合的应用 题点 与几何有关的组合问题 解 (1)方法一 可作出三角形 C36C16 C24C26 C14116(个) 方法二 可作出三角形 C310C34116(个),
5、 其中以 C1为顶点的三角形有 C25C15 C14C2436(个) (2)可作出四边形 C46C36 C16C26 C26360(个) 反思与感悟 (1)图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形, 防止多算常用直接法,也可采用间接法 (2)在处理几何问题中的组合问题时,应将几何问题抽象成组合问题来解决 跟踪训练 2 空间中有 10 个点,其中有 5 个点在同一个平面内,其余点无三点共线,无四 点共面,则以这些点为顶点,共可构成四面体的个数为( ) A205 B110 C204 D200 考点 组合的应用 题点 与几何有关的组合问题 答案 A 解析 方法一 可以按从共面
6、的 5 个点中取 0 个、1 个、2 个、3 个进行分类,则得到所有 的取法总数为 C05C45C15C35C25C25C35C15205. 方法二 从 10 个点中任取 4 个点的方法数中去掉 4 个点全部取自共面的 5 个点的情况,得 到所有构成四面体的个数为 C410C45205. 类型三 分组、分配问题 命题角度1 不同元素分组、分配问题 例 3 6 本不同的书,分为 3 组,在下列条件下各有多少种不同的分配方法? (1)每组 2 本(平均分组); (2)一组 1 本,一组 2 本,一组 3 本(不平均分组); (3)一组 4 本,另外两组各 1 本(局部平均分组) 考点 排列组合综合
7、问题 题点 分组分配问题 解 (1)每组 2 本,均分为 3 组的方法数为C 2 6C 2 4C 2 2 A33 1561 6 15. (2)一组 1 本,一组 2 本,一组 3 本的分组种数为 C36C23C1120360. (3)一组 4 本,另外两组各 1 本的分组种数为C 4 6C 1 2C 1 1 A22 152 2 15. 反思与感悟 一般地,n 个不同的元素分成 p 组,各组内元素数目分别为 m1,m2,mp, 其中 k 组元素数目相等,那么分组方法数是 312 112 C CCC A p p m mmm nnmnmmm k k . 跟踪训练 3 6 本不同的书,分给甲、乙、丙
8、3 人,在下列条件下各有多少种不同的分配方 法? (1)甲 2 本,乙 2 本,丙 2 本; (2)甲 1 本,乙 2 本,丙 3 本; (3)甲 4 本,乙、丙每人 1 本; (4)每人 2 本; (5)一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本; (6)一人 4 本,其余两人每人 1 本 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 解 (1)(2)(3)中,由于每人分的本数固定,属于定向分配问题,由分步乘法计数原理得: (1)共有 C26C24C2290(种)不同的分配方法; (2)共有 C16C25C3360(种)不同的分配方法; (3)共有 C46C12C1130(种)不同的分配方法 (
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