§6 正态分布 学案（北师大版高中数学选修2-3）

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1、*6 正态分布正态分布 学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了 解变量落在区间(，(2，2，(3，3的概率大小.3.会用正态分布 去解决实际问题 知识点 正态分布 1正态分布 正态分布的分布密度函数为： f(x) 1 2 exp x 2 22 ，x(，)，其中 expg(x)eg(x)， 表示均值，2(0) 表示方差通常用 XN(，2)表示 X 服从参数为 和 2的正态分布 2正态分布密度函数满足以下性质： (1)函数图像关于直线 x 对称 (2)(0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦” (3)随机变量在三个特殊区间内取值的概率值 P(X)68.3%

2、. P(2X2)95.4%. P(3X3)99.7%. 通常服从于正态分布 N(，2)的随机变量 X 在区间(3，3)外取值的概率只有 0.3%. 1正态密度曲线图像对称轴为 x0.( ) 2正态分布对应的函数在区间(，)和区间(，)上为增函数( ) 3正态总体 N(3,4)的方差为 4.( ) 类型一 正态曲线的图像的应用 例 1 如图所示是一个正态分布的图像，试根据该图像写出正态分布密度函数的解析式，求 出随机变量总体的均值和方差 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 解 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线 x20 对称，最大值是 1 2 ， 所以 20.由 1 2

3、 1 2 ，解得 2. 于是该正态分布密度函数的解析式是 f(x) 1 2 2 (20) 5 e x ，x(，)，随机变量总体的均值是 20，方差是 2( 2)22. 反思与感悟 利用图像求正态分布密度函数的解析式， 应抓住图像的两个实质性特点： 一是 对称轴为 x，二是最大值为 1 2.这两点确定以后，相应参数 ， 便确定了，代入 f(x) 中便可求出相应的解析式 跟踪训练 1 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数， 且该函数的最大值为 1 4 2， 求 该正态分布的分布密度函数的解析式 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值与方差 解 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函

4、数， 所以其图像关于 y 轴对称，即 0. 由 1 2 1 2 4，得 4， 故该正态分布的分布密度函数的解析式是 f(x) 1 4 2 2 32 e x ，x(，) 类型二 利用正态分布的对称性求概率 例 2 设 XN(1,22)，试求： (1)P(1X3)；(2)P(35) 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 解 因为 XN(1,22)，所以 1，2. (1)P(1X3)P(12X12) P(X)0.683. (2)因为 P(3X5)P(3X1)， 所以 P(3X5)1 2P(3X5)P(1X3) 1 2P(14X14)P(12X12) 1 2P(2X2)P(5)P(X

5、3)1 21P(3X5) 1 21P(14c1)P(Xc1)P(Xc 1)，因此c1c1 2 1，即 c1. 反思与感悟 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线 x 对称的，且概率的和为 1，故关于直线 x 对称 的区间上概率相等如： P(Xa)1P(Xa) P(Xa) (2)“3”法：利用 X 落在区间(，(2，2，(3，3内的概率分 别是 0.683,0.954,0.997 求解 跟踪训练 2 已知随机变量 服从正态分布 N(2， 2)， 且 P(4)0.8， 则 P(02)等于( ) A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 考点 正态分布的概念及性质 题点 正

6、态分布下的概率计算 答案 C 解析 随机变量 服从正态分布 N(2，2)， 2，对称轴是 x2. P(4)0.8，P(4)P(0)0.2， P(04)0.6， P(00)和N(2， 22)(20)的分布密度函数图像如图所示， 则有( ) A12，12 B12 C12，12，12 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 A 解析 根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线 x 对称，在 x 处取得最大 值的连续曲线：当 一定时， 越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来， 越小，曲线 的最高点越高且较陡峭故选 A. 2 正态分布 N(0,1)在区间(2， 1)和(1,2)上取值的概

7、率为 P1， P2， 则二者大小关系为( ) AP1P2 BP1P2 CP1P2 D不确定 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线性质的应用 答案 A 解析 根据正态曲线的特点，图像关于 x0 对称，可得在区间(2，1)和(1,2)上取值的概 率 P1，P2相等 3设随机变量 服从正态分布 N(，2)，且二次方程 x24x0 无实数根的概率为1 2，则 等于( ) A1 B2 C4 D不能确定 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 C 解析 因为方程 x24x0 无实数根的概率为1 2，由 1644，即 P(4) 1 2 1P(4)，故 P(4)1 2，所以 4

8、. 4已知服从正态分布 N(，2)的随机变量在区间(，(2，2和(3， 3内取值的概率分别为 68.3%,95.4%和 99.7%.若某校高一年级 1 000 名学生的某次考试 成绩 X 服从正态分布 N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120内的学生大约有( ) A997 人 B972 人 C954 人 D683 人 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 C 解析 依题意可知 90，15，故 P(60X120)P(90215c1)P(Xc1) (1)求 c 的值；(2)求 P(4c1)P(Xc1)， 故有 2(c1)(c1)2， c2. (2)P(4X8)P(223X223)0.954. 1理解正态分布的概念和正态曲线的性质 2正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记 P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值 (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1 这两个特点 正态曲线关于直线 x 对称，从而在关于 x 对称的区间上概率相等 P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)， 若 b，则 P(Xb)1PbXb 2 .