第二章 概率 章末复习课学案(北师大版高中数学选修2-3)
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1、第二章第二章 概率概率 章末复习章末复习 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及分布列的概念.2.掌握超几何分布及二项 分布,并能进行简单的应用,了解分布密度曲线的特点及表示的意义.3.理解条件概率与事件 相互独立的概念.4.会计算简单的离散型随机变量的均值和方差,并能利用均值和方差解决一 些实际问题 一、离散型随机变量的分布列 1定义 设离散型随机变量 X 的取值为 a1,a2,随机变量 X 取 ai的概率为 pi(i1,2,),记作: P(xai)pi(i1,2,), 或把上式列成下表 Xai a1 a2 P(Xai) p1 p2 上述表或式称为离散型随机变量 X 的分布列 2求随
2、机变量的分布列的步骤 (1)明确随机变量 X 的取值 (2)准确求出 X 取每一个值时的概率 (3)列成表格的形式 3离散型随机变量分布列的性质 (1)pi0,i1,2,. (2)p1p21. 二、条件概率与独立事件 1A 发生时 B 发生的条件概率为 P(B|A)PAB PA . 2对于两个事件 A,B,如果 P(AB)P(A)P(B),则称 A,B 相互独立若 A 与 B 相互独立, 则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也相互独立 3求条件概率的常用方法 (1)定义:即 P(B|A)PAB PA . (2)借助古典概型公式 P(B|A)nAB nA . 三、离散型随机变量的均值与
3、方差 1定义:一般地,设随机变量 X 所有可能取的值是 a1,a2,an,这些值对应的概率是 p1,p2,pn,则 EXa1p1a2p2arpr叫作这个离散型随机变量 X 的均值E(XEX)2 是(XEX)2的均值,并称之为随机变量 X 的方差,记为 DX. 2意义:均值刻画的是 X 取值的“中心位置”,而方差刻画的是一个随机变量的取值与其 均值的偏离程度方差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小 四、超几何分布与二项分布 1超几何分布 一般地,设有 N 件产品,其中有 M(MN)件次品,从中任取 n(nN)件产品,用 X 表示取出 n 件产品中次品的件数 那么 P(Xk)C k MC nk
4、 NM CnN (kN),X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布,其均值 EXnM N. 2二项分布 在 n 次相互独立的试验中,每次试验“成功”的概率均为 p,“失败”的概率均为 1p.用 X 表示这 n 次独立重复试验中成功的次数, 则 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0,1,2,n) 称为 X 服从参数为 n,p 的二项分布其均值为 EXnp,方差为 DXnp(1p) 五、正态分布 1正态分布的分布密度函数为 f(x) 1 2exp x2 22 ,x0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦” (3)P(X)68.3%. P(2X2)95.4%. P(3Xy, 解得 x1 2, y1 3
5、. 所以甲地降雨的概率为1 2,乙地降雨的概率为 1 3. (2)在甲、乙两地中,仅有一地降雨的概率为 PP(A B )P( A B)P(A)P( B )P( A )P(B) 1 2 2 3 1 2 1 3 1 2. X 的可能取值为 0,1,2,3. P(X0)C03 1 2 31 8, P(X1)C13 1 2 1 11 2 23 8, P(X2)C23 1 2 2 11 2 3 8, P(X3)C33 11 2 31 8, 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 所以 EX01 81 3 82 3 83 1 8 3 2. 方差 DX1 8 03 2
6、23 8 13 2 23 8 23 2 21 8 33 2 23 4. 反思与感悟 (1)求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题 “P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件, 也是解答相互独立事件概率问 题的唯一工具 涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题,务必分清事件间的相互关系 公式“P(AB)1P( A B )”常应用于相互独立事件至少有一个发生的概率 (2)二项分布的判定 与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定,可从以下几个方面判定: 每次试验中,事件发生的概率是相同的 各次试验中的事件是相互独立的 每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生 随机
7、变量是这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数 跟踪训练 2 在一次抗洪抢险中, 准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐, 已知只有 5 发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独 立的,且命中的概率都是2 3. (1)求油灌被引爆的概率; (2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为 ,求 不小于 4 的概率 考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题 题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题 解 (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆,没有引爆的可能情况是:射击 5 次只击中一次 或一次也没有击中,故该事件的概率为 PC152 3 1 3 4
8、1 3 5, 所以所求的概率为 1P1 C152 3 1 3 4 1 3 5 232 243. (2)当 4 时,记事件为 A, 则 P(A)C132 3 1 3 22 3 4 27, 当 5 时,意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件 B. 则 P(B)C142 3 1 3 3 1 3 41 9, 所以所求概率为 P(AB)P(A)P(B) 4 27 1 9 7 27. 类型三 离散型随机变量的均值与方差 例 3 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客 从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之
9、和为该顾客 所获的奖励额 (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: 顾客所获的奖励额为 60 元的概率; 顾客所获的奖励额的分布列及均值; (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元, 并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的 两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符 合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的 设计,并说明理由 考点 均值与方差的应用 题点 均值与方差的综合应用 解 (1)设顾客所获的奖励额为 X, 依题意,
10、得 P(X60)C 1 1 C 1 3 C24 1 2, 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为1 2. 依题意得 X 的所有可能取值为 20,60, P(X20)C 2 3 C24 1 2,P(X60) 1 2, 即 X 的分布列为 X 20 60 P 1 2 1 2 所以这位顾客所获奖励额的均值为 EX201 260 1 240. (2)根据商场的预算,每位顾客的平均奖励额为 60 元,所以先寻找均值为 60 元的可能方案 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值之和 的最大值,所以均值不可能为 60 元 如果选择(50,5
11、0,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最小值,所以均值也不可能为 60 元, 因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案 1,对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排 除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40), 记为方案 2, 以下是对这两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X1,则 X1的分布列为 X1 20 60 100 P 1 6 2 3 1 6 X1的均值 EX1201 660 2 3100 1 660. X1的方差 DX1(2060)21
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