1.1简谐运动 学案（2020年教科版高中物理选修3-4）

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1、1 简谐运动简谐运动 学科素养与目标要求 物理观念：1.知道什么是机械振动、简谐运动.2.认识弹簧振子，理解振子的平衡位置、位移 和回复力.3.知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义，知道周期和频率的关系.4.理解简谐运 动的能量，学会分析弹簧振子中动能、势能和机械能的变化情况. 科学思维：根据简谐运动的特点，将运动与速度、位移、回复力、动能、势能等物理量相对应. 科学探究：通过实验，理解简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况. 一、机械振动 1.定义： 物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动， 叫做机械振动， 简称振动. 2.平衡位置：物体原来静止时的位置(即

2、机械振动的物体所围绕振动的位置). 二、简谐运动 1.弹簧振子：小球和弹簧组成的系统.小球和水平杆之间的摩擦忽略不计，弹簧的质量比小球 的质量小得多，也可忽略不计. 2.振子的位移：振子相对平衡位置的位移. 3.回复力：当物体偏离平衡位置时，受到的指向平衡位置的力. 4.简谐运动 如果物体所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置，则物体所做 的运动叫做简谐运动. 三、振幅、周期和频率 1.振幅 (1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离. (2)物理意义：表示振动强弱的物理量. 2.全振动 图 1 振动物体完成一次完整的振动过程(以后完全重复原来的运动)叫做一次全振动，例如

3、水平弹 簧振子的运动：O AO AO 或 AO AO A 为一次全振动.(如图 1 所示，其 中 O 为平衡位置，A、A为最大位移处) 3.周期 (1)定义：振子完成一次全振动所用的时间. (2)单位：国际单位制中，单位是秒，符号是 s. (3)物理意义：表示振动快慢的物理量. 4.频率 (1)定义：单位时间内完成的全振动的次数. (2)单位：国际单位制中，单位是赫兹，符号是 Hz. (3)物理意义：表示振动快慢的物理量. (4)频率与周期的关系：f1 T. 四、简谐运动的能量 1.振动系统的总机械能：弹簧的势能和振子的动能之和就是振动系统的总机械能. 2.能量转化 弹簧振子运动的过程就是动能

4、和势能互相转化的过程. (1)在最大位移处，势能最大，动能为零. (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小. 3.能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运 动是一种理想化的模型. 1.判断下列说法的正误. (1)竖直放于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动是机械振动.( ) (2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量.( ) (3)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间. ( ) (4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零.( ) 2.如图 2 所示的弹簧振子，O 为平衡位置，B、C 为

5、最大位移位置，以向右的方向为正方向， 则振子从 B 运动到 O 的过程中，位移方向为_，大小逐渐_，回复力方向为 _，大小逐渐_，振子速度方向为_，大小逐渐_，动能逐渐 _，势能逐渐_.(选填“正”“负”“增大”或“减小”) 图 2 答案 正 减小 负 减小 负 增大 增大 减小 一、简谐运动 如图所示为套在光滑水平杆上的弹簧振子的模型，O 点为振子的平衡位置，A、O 间和 B、O 间距离都是 x2 cm，取向右为正方向. (1)振子在 A、B 点的位移分别为 xA_，xB_. (2)振子在 O、A、B 点时受到哪些力的作用？ (3)除重力、支持力、弹簧的弹力外，振子在 A、B 点还受到回复力

6、的作用吗？回复力有什么 特点？ 答案 (1)2 cm 2 cm (2)O 点受重力、支持力；在 A 点受重力、支持力、弹簧对其向右的弹力；在 B 点受重力、支 持力、弹簧对其向左的弹力. (3)不受.回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力， 是按照力的作用效果来命名的， 不是 实际存在的力，所以分析物体的受力时，不分析回复力. 回复力可以由某一个力提供(如弹力)，也可能是几个力的合力，还可能是某一个力的分力.归 纳起来，回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力. 1.简谐运动的位移 简谐运动的位移是矢量，是从平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段. 2.简谐运动的回复力 (1)回复力是指将振动

7、物体拉回到平衡位置的力，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个 力或某一个力的分力，而不是一种新的性质力.回复力是按照力的作用效果命名的，受力分析 时不分析回复力. (2)简谐运动的回复力：Fkx k 是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中 k 为弹簧的劲度系数)，其值由振动系 统决定，与振幅无关. “”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反. x 是指质点相对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长量或压缩量. 3.简谐运动在振动方向上的加速度 据牛顿第二定律，aF m k mx，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小与位移大小成 正比，加速度方向与位移方向相反. 4.简谐运动

8、的判断 回复力 Fkx 和加速度 ak mx 分别是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用这两式 来证明某个振动是否为简谐运动. 例 1 如图 3 所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过 M、N 两点时速 度 v(v0)相同，那么，下列说法正确的是( ) 图 3 A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 B.振子在 M、N 两点所受弹簧弹力相同 C.振子在 M、N 两点相对平衡位置的位移相同 D.振子在 M、N 两点加速度大小相等 答案 D 解析 回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受 到的具体的力所提供的，在本题中弹簧的

9、弹力充当回复力，故 A 错误；因位移、速度、加速 度和弹力都是矢量，它们要相同必须满足大小相等、方向相同.M、N 两点关于 O 点对称，振 子回复力、位移和加速度应大小相等、方向相反，由此可知，B、C 错误，D 正确. 二、振幅、周期和频率 如图所示为理想弹簧振子，O 点为它的平衡位置，其中 A、A点关于 O 点对称. (1)振子从某一时刻经过 O 点计时，至下一次再经过 O 点的时间为一个周期吗？ (2)先后将振子拉到 A 点和 B 点由静止释放， 两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一 次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？ 答案 (1)不是.经过一个周期振子必须从同一方向经过 O 点

10、，即经过一个周期，位移、速度 第一次与初始时刻相同. (2)周期相同，振子振动的周期决定于振动系统本身，与振幅无关；位移相同，均为零；路程 不相同，一个周期内振子通过的路程为四个振幅. 描述简谐运动的物理量及其关系 1.振幅和位移的区别 (1)振幅等于最大位移的数值. (2)对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的. (3)位移是矢量，振幅是标量. 2.路程与振幅的关系 (1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅. (2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅. (3)振动物体在1 4个周期内的路程不一定等于一个振幅. 3.周期和频率由振动系统本身的性质决定，与振幅无关. 例

11、2 如图 4 所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离 x，释放后振子在 A、B 间振动， 且 AB20 cm，振子由 A 首次到 B 的时间为 0.1 s，求： 图 4 (1)振子振动的振幅、周期和频率； (2)振子由 A 到 O 的时间； (3)振子在 5 s 内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小. 答案 (1)10 cm 0.2 s 5 Hz (2)0.05 s (3)1 000 cm 10 cm 解析 (1)由题图可知，振子振动的振幅为 10 cm， t0.1 sT 2，所以 T0.2 s. 由 f1 T得 f5 Hz. (2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A 到O 的时间与振子由O

12、到B 的时间相等，均为0.05 s. (3)设弹簧振子的振幅为 A，A10 cm.振子在 1 个周期内通过的路程为 4A，故在 t5 s25T 内通过的路程 s2540 cm1 000 cm.5 s 内振子振动了 25 个周期，故 5 s 末振子仍处在 A 点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为 10 cm. 三、简谐运动的能量 如图所示为水平弹簧振子，振子在 A、B 之间往复运动. (1)从 A 到 B 的运动过程中， 振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机 械能是否变化？ (2)如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的总机械能是 否增大？ (3)

13、实际的振动系统存在空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略 空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？ 答案 (1)振子的动能先增大后减小 弹簧的弹性势能先减小后增大 振动系统的总机械能 保持不变 (2)振子回到平衡位置的动能增大 系统的总机械能增大 (3)实际的振动系统， 能 量逐渐减小 理想化的弹簧振动系统，能量不变 1.简谐运动中，振动系统的动能和势能相互转化，平衡位置处动能最大，势能最小；最大位 移处动能为零，势能最大，但总的机械能不变. 2.简谐运动的机械能由振幅决定，对于同一个振动系统，振幅越大，振动的能量越大. 3.简谐运动是一种无能量损失的振动，所以其振幅保持不变，

14、又称为等幅振动. 例 3 如图 5 所示，一水平弹簧振子在 A、B 间做简谐运动，平衡位置为 O，已知振子的质 量为 M. 图 5 (1)简谐运动的能量取决于_，振子振动时动能和_相互转化，总机械能 _. (2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是_. A.振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小 B.振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小 C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小 D.在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变 (3)若振子运动到 B 处时将一质量为 m 的物体放到 M 的上面， 且 m 和 M 无相对滑动而一起运 动，下列说法正确的是_. A.振幅不变 B.

15、振幅减小 C.最大动能不变 D.最大动能减小 答案 (1)振幅 弹性势能 守恒 (2)ABD (3)AC 解析 (1)简谐运动的能量取决于振幅， 振子振动时动能和弹性势能相互转化， 总机械能守恒. (2)振子在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小， 所以 A 正确；在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大， 所以 B 正确；振幅的大小与振子的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能 守恒，所以 C 错误，D 正确. (3)振子运动到 B 点时速度恰为零， 此时放上 m， 系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能， 由于简谐运动

16、中机械能守恒，所以振幅保持不变，选项 A 正确，B 错误；由于机械能守恒， 所以最大动能不变，选项 C 正确，D 错误. 四、简谐运动中各物理量的变化 1.如图 6 所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如表所示. 图 6 振子的运动 AO OA AO OA 位移 方向 向右 向左 向左 向右 大小 减小 增大 减小 增大 回复力 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 加速度 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 速度 方向 向左 向左 向右 向右 大小 增大 减小 增大 减小 振子的动能 增大 减小 增大 减小 弹簧的势能 减

17、小 增大 减小 增大 系统总能量 不变 不变 不变 不变 2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同.位置不同，则位移不同，加速度、回复力不 同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同. (2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek0；在平衡位置处，F0，a0，Ep0， Ek最大. (3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速 度和势能减小，速度和动能增大. 例 4 (多选)如图 7 所示，弹簧振子在 C、B 间做简谐运动，O 点为其平衡位置，则( ) 图 7 A.振子在由 C 点运动到 O 点的过程中，回复力逐渐增大 B.振子在由 O

18、点运动到 B 点的过程中，速度不断增加 C.振子在 O 点加速度最小，在 B(C)点加速度最大 D.振子通过平衡位置 O 点时，动能最大，势能最小 答案 CD 解析 振子在由 C 点运动到 O 点的过程中靠近平衡位置， 位移减小，由 Fkx 可知回复力 减小，故 A 错误；振子在由 O 点运动到 B 点的过程中，振子的速度不断减小，故 B 错误； 由公式 akx m分析可知，C 正确；振子通过平衡位置 O 点时，动能最大，势能最小，故 D 正确. 例 5 如图 8 所示，平台沿竖直方向做简谐运动，一物体置于振动平台上始终随平台振动， 两者保持相对静止.以下说法正确的是( ) 图 8 A.振动平

19、台位于最高点时，物体对平台的压力最大 B.振动平台位于最低点时，物体对平台的压力最大 C.物体速度最大时，对平台的压力最大 D.物体加速度最大时，对平台的压力最大 答案 B 学科素养 通过对例 4、例 5 的分析，一方面让学生进一步了解简谐运动中的各物理量之 间的关系，另一方面也提高了学生获取和处理信息的能力，体现了“物理观念”与“科学思 维”学科素养. 1.(对简谐运动的理解)如图 9 所示，弹簧振子 B 上放一个物块 A，A 与 B 一起在 MON(图中未 画出)间做简谐运动的过程中(O 为 M、N 中点)，下列说法正确的是( ) 图 9 A.物块 A 受重力、支持力及回复力 B.物块 A

20、 受重力、支持力及 B 对它的恒定的摩擦力 C.振子在 M 点和 N 点的加速度方向相同，均指向平衡位置 D.振子运动到 O 点时，相对平衡位置的位移为零 答案 D 解析 物块 A 受到重力、支持力和 B 对它的摩擦力的作用，摩擦力提供 A 做简谐运动所需的 回复力，其大小和方向都随时间变化，A、B 错误；振子在 M、N 两点的加速度大小相等、 方向相反，C 错误；振子运动到 O 点时，相对平衡位置的位移为零，D 正确. 2.(振幅、周期和频率)(多选)弹簧振子在 AOB 之间做简谐运动，O 为平衡位置，测得 A、B 之 间的距离为 8 cm，完成 30 次全振动所用时间为 60 s，则( )

21、 A.振子的振动周期是 2 s，振幅是 8 cm B.振子的振动频率是 2 Hz C.振子完成一次全振动通过的路程是 16 cm D.从振子通过 O 点时开始计时，3 s 内通过的路程为 24 cm 答案 CD 解析 A、B 之间的距离为 8 cm，则振幅 A 为 4 cm，故 A 错误；T60 30 s2 s，f0.5 Hz，B 错误；振子完成一次全振动通过的路程是 4A，即 16 cm,3 s 内运动了 1.5 个周期，故总路程为 24 cm，C、D 正确. 3.(简谐运动的能量)如图 10 所示，弹簧上面固定一质量为 m 的小球，小球在竖直方向上做振 幅为 A 的简谐运动，当小球振动到最

22、高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中( ) 图 10 A.小球最大动能应等于 mgA B.弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变 C.弹簧最大弹性势能等于 2mgA D.小球在最低点时受到的弹力大于 2mg 答案 C 解析 小球在平衡位置 kx0mg，x0Amg k ，当到达平衡位置时，小球动能最大，有 mgA EkmEp，A 错.振动系统机械能守恒，因此动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，B 错.从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹性势能，Ep2mgA，C 对.在最低点加速度大 小等于最高点加速度大小 g，据牛顿第二定律 Fmgmg，即小球在最低点受到的弹力 F 2mg，D 错. 4.

23、(简谐运动中各物理量的变化)(多选)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧 振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置 O 在 A、B 间振动，如图 11 所示， 下列结论正确的是( ) 图 11 A.小球在 O 位置时，动能最大，加速度最小 B.小球在 A、B 位置时，势能最大，加速度最大 C.小球从 A 经 O 到 B 的过程中，回复力一直做正功 D.小球从 B 到 O 的过程中，振动系统的总能量不断增加 答案 AB 解析 小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，因此 A 选项正确.小球在 A、B 位置时，势 能最大，加速度最大，因此 B 选项正确.小球靠近平衡位置时，回复力做正功，远离平衡位置 时，回复力做负功，振动过程中系统总能量不变，因此 C、D 选项错误.