2019-2020学年浙江省杭州市四校七年级（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、在一条东西向的跑道上，小亮向东走了 8 米，记作“+8 米” ；那么向西走了 10 米，可记作（ ）  A+2 米 B2 米 C+10 米 D10 米  2 （3 分）估计2 的值应在（ ）  A2 和1 之间 B1 和 0 之间 C0 和 1 之间 D1 和 2 之间  3 （3 分）下列说法错误的是（ ）  A近似数 16.8 与 16.80 表示的意义不同  B近似数 0.2900 是精确到 0.0001  C近似数 6.850104精确到十位  D49564 精确到万位是 5.0104  4 （3

2、 分）当|a|5，|b|7，且|a+b|a+b，则 ab 的值为（ ）  A12 B2 或12 C2 D2  5 （3 分）对于有理数 a，b，有以下四个判断：若|a|b，则 ab；若|a|b，则|a| |b|；若 ab，则|a|b|；若|a|b|，则 ab其中正确的判定个数是（ ）  A4 个 B3 个 C2 个 D1 个  6 （3 分）已知 a+b+c0，则代数式（a+b） （b+c） （c+a）+abc 的值为（ ）  A1 B1 C0 D2  7 （3 分）如果 a，b 是任意的两个实数，下列式中的值一定是负数的是（ ） &

3、nbsp;A|b+1| B（ab）2 C D（a2+1）  8 （3 分）对于任意正整数 n，当 x1 时，代数式 x2n+1+3x2n+24x2n的值为（ ）  A8 B6 C6 D2  9 （3 分）张师傅下岗再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件 a 元的价格购 进了 20 件甲种小商品，每件 b 元的价格购进了 30 件乙种小商品（ab） ；回来后，根据 市场行情，他将这两种小商品都以每件元的价格出售，在这次买卖中，张师傅是 （ ）  A赚钱 B赔钱  C不赚不赔 D无法确定赚和赔    第 2 页（共 1

4、6 页）   10 （3 分）我们知道，一元二次方程 x21 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于 1若我们规定一个新数“i” ，使其满足 i21（即方程 x21 有一个根为 i） 并且 进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立， 于是有 i1i，i21，i3i2i（1） ii，i4（i2）2（1）21，从而对于任 意正整数 n，我们可以得到 i4n+1i4ni（i4）nii，同理可得 i4n+21，i4n+3i， i4n1那么 i+i2+i3+i4+i2012+i2013的值为（ ）  A0 B1 C1 Di  二、填空题（每

5、空二、填空题（每空 2 分，共分，共 22 分）分）  11 （4 分）比较下列两数的大小：2   |3|，3.14     12 （4 分）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数 2 的点为圆心，正 方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点 A 和点 B，则点 A 表示的数是   ；点 B 表示的数是      13 （2 分）设 x，y 是有理数，且 x，y 满足等式 x+2yy17+4，则+y 的平方根 是     14 （2 分）有下列四种说法：  数轴上有无数多个表

6、示无理数的点；带根号的数不一定是无理数；  没有最大的负实数，但有最小的正实数；没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中说法错误的有   （注：填写出所有错误说法的编号）  15 （2 分）数轴上顺次有不重合的 A，B，C 三点，若 A，B，C 三点对应的数分别为 a， 1，b，试比较大小： （a+1） （b+1）   0（填“”或“”或“” ）  16 （2 分）如果代数式2a2+3b+8 的值为 1，那么代数式 4a26b+2 的值等于     17 （2 分）已知 3a22ab37an 1b2 与322x3y5的次数

7、相等，则（1）n+1     18 （4 分）下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第 4 个正 方形中间数字 m 为   ， 第 n 个正方形的中间数字为   （用含 n 的代数式表示）      第 3 页（共 16 页）   三、解答题： （共三、解答题： （共 6 题，共题，共 48 分）分）  19 （6 分）将下列各数的序号填在相应的括号中：  01.5% 5. 3.14|3（+3）|  分数：   共   个  无理数：

8、   共   个  正实数：   共   个  20 （12 分）计算：  （1） （+1）（24）  （2） （2.25）（+）+（）（0.125）  （3）|1|+  （4）142（3）2  21 （6 分）一块三角尺的形状和尺寸如图所示如果圆孔的半径是 r，三角尺的厚度是 h， 这块三角尺的体积 V 是多少？若 a12cm，r3cm，h2cm，求 V 的值（结果保留 ）   22 （6 分）在数轴上表示数，3，0，并比较它们的大小，用“”连接；  23 （6

9、分）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为 1，a，a+b 的形式，又可以表示 0， ，b 的形式，试求 a2n 1a2n（n1 的整数）的值  24 （12 分）如图，将一条数轴在原点 O 和点 B 处各折一下，得到一条“折线数轴” 图中 点 A 表示10，点 B 表示 10，点 C 表示 18，我们称点 A 和点 C 在数轴上相距 28 个长度 单位动点 P 从点 A 出发，以 2 单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点 O 运动到点 B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点 Q 从点 C 出发， 以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动， 从点B运动到点

10、O期间速度变为原来的两倍， 之后也立刻恢复原速设运动的时间为 t 秒问：  （1）动点 P 从点 A 运动至 C 点需要多少时间？    第 4 页（共 16 页）   （2）P、Q 两点相遇时，求出相遇点 M 所对应的数是多少；  （3）求当 t 为何值时，P、O 两点在数轴上相距的长度与 Q、B 两点在数轴上相距的长度 相等     第 5 页（共 16 页）    2019-2020 学年浙江省杭州市四校七年级（上）期中数学试卷学年浙江省杭州市四校七年级（上）期中数学试卷  参考答案与试题

11、解析参考答案与试题解析  一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分）  1 （3 分）在一条东西向的跑道上，小亮向东走了 8 米，记作“+8 米” ；那么向西走了 10 米，可记作（ ）  A+2 米 B2 米 C+10 米 D10 米  【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东记为正，可得向西的表示方法，可得 答案  【解答】解：亮先向东走了 8 米，此时他的位置记作“+8 米” ，又再向西走了 10 米记为 10 米，  故选：D  【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，

12、有理数的加法运算 是解题关键  2 （3 分）估计2 的值应在（ ）  A2 和1 之间 B1 和 0 之间 C0 和 1 之间 D1 和 2 之间  【分析】估算出的取值范围，再减去 2 即可得出答案  【解答】解：12，  2 的值应在1 和 0 之间；  故选：B  【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算出的取值范围是解题的关键  3 （3 分）下列说法错误的是（ ）  A近似数 16.8 与 16.80 表示的意义不同  B近似数 0.2900 是精确到 0.0001  C近

13、似数 6.850104精确到十位  D49564 精确到万位是 5.0104  【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断  【解答】解：A、近似数 16.8 精确到 0.1，16.80 精确到 0.01，所以 A 选项的说法正确；  B、近似数 0.2900 是精确到 0.0001 的近似数，所以 B 选项的说法正确；    第 6 页（共 16 页）   C、近似数 6.850104精确到十位，所以 C 选项的说法正确；  D、49564 精确到万位是 5104，所以 D 选项的说法错误  故选：D

14、 【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表 示一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法从一个数的左边第一个不是 0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字  4 （3 分）当|a|5，|b|7，且|a+b|a+b，则 ab 的值为（ ）  A12 B2 或12 C2 D2  【分析】先根据绝对值的性质，判断出 a、b 的大致取值，然后根据 a+b0，进一步确 定 a、b 的值，再代入求解即可  【解答】解：|a|5，|b|7，  a5，b7  |a+b|a+b， &nbs

15、p;a+b0，  a5b7，  当 a5，b7 时，ab2；  当 a5，b7 时，ab12；  故 ab 的值为2 或12  故选：B  【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地判断出 a、b 的值是解 答此题的关键  5 （3 分）对于有理数 a，b，有以下四个判断：若|a|b，则 ab；若|a|b，则|a| |b|；若 ab，则|a|b|；若|a|b|，则 ab其中正确的判定个数是（ ）  A4 个 B3 个 C2 个 D1 个  【分析】根据绝对值的性质、有理数比较大小的法则对各

16、小题进行逐一判断即可  【解答】解：若|a|b，则 ab，故本小题错误；  若|a|b，当 a5，b0 时，|a|b|，故本小题错误；  若 ab，则|a|b|；故本小题正确；  若|a|b|，当 a0，b0 时，ab，故本小题错误  故选：D    第 7 页（共 16 页）   【点评】本题考查的是绝对值，有理数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关 键  6 （3 分）已知 a+b+c0，则代数式（a+b） （b+c） （c+a）+abc 的值为（ ）  A1 B1 C0 D2 &nb

17、sp;【分析】题中给出 a+b+c0，那么要求的式子中的 a+bc，b+ca，c+ab，代 入所求式子即可  【解答】解：a+b+c0  a+bc，b+ca，c+ab  （a+b） （b+c） （c+a）+abcc（a）（b）+abcabc+abc0  故选：C  【点评】本题的关键是找到题中所给的等量关系与要求的式子中的因式的关系  7 （3 分）如果 a，b 是任意的两个实数，下列式中的值一定是负数的是（ ）  A|b+1| B（ab）2 C D（a2+1）  【分析】A、根据绝对值的定义即可判定；  

18、;B、根据平方的性质即可判定；  C、根据二次根式的定义即可判定；  D、根据平方运算的性质即可解答  【解答】解：A、当 b1 时，|b+1|0，故选项错误；  B、当 ab 时，（ab）20，故选项错误；  C、当 ab0 时，0，故选项错误；  D、无论 a 为何值，因为 a20，所以 a2+10，所以（a2+1）总是负数，故选项正确  故选：D  【点评】此题主要考查了绝对值，平方，二次根式的意义解决这类问题，一般的方法 是举出反例，能举出范例的则不成立用字母代表的代数式一定要考虑字母的取值范围  

19、;8 （3 分）对于任意正整数 n，当 x1 时，代数式 x2n+1+3x2n+24x2n的值为（ ）  A8 B6 C6 D2  【分析】因为 n 是正整数，所以（2n+1）是奇数， （2n+2）是偶数，2n 是偶数，由此把 x 的值代入求值  【解答】解：n 是正整数，    第 8 页（共 16 页）   （2n+1）是奇数， （2n+2）是偶数，2n 是偶数，  把 x1 代入，得  x2n+1+3x2n+24x2n1+342  故选：D  【点评】本题考查了代数式求值代数式的求值：求代

20、数式的值可以直接代入、计算如 果给出的代数式可以化简，要先化简再求值  9 （3 分）张师傅下岗再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件 a 元的价格购 进了 20 件甲种小商品，每件 b 元的价格购进了 30 件乙种小商品（ab） ；回来后，根据 市场行情，他将这两种小商品都以每件元的价格出售，在这次买卖中，张师傅是 （ ）  A赚钱 B赔钱  C不赚不赔 D无法确定赚和赔  【分析】应该比较他的总进价和总售价分别表示出总进价为：20a+30b，总售价为 （20+30）25a+25b，通过作差法比较总进价和总售价的大小，判断他是赔是赚 &nbs

21、p;【解答】解：根据题意可知：  总进价为 20a+30b，总售价为（20+30）25a+25b  25a+25b（20a+30b）5a5b，  ab，  5a5b0，那么售价进价，  他赚了  故选：A  【点评】列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系本题 要注意应该比较他的总进价和总售价  10 （3 分）我们知道，一元二次方程 x21 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于 1若我们规定一个新数“i” ，使其满足 i21（即方程 x21 有一个根为 i） 并且 进一步规定：一切实数可以

22、与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立， 于是有 i1i，i21，i3i2i（1） ii，i4（i2）2（1）21，从而对于任 意正整数 n，我们可以得到 i4n+1i4ni（i4）nii，同理可得 i4n+21，i4n+3i， i4n1那么 i+i2+i3+i4+i2012+i2013的值为（ ）    第 9 页（共 16 页）   A0 B1 C1 Di  【分析】i1i，i21，i3i2i（1） ii，i4（i2）2（1）21，i5i4i i，i6i5i1，从而可得 4 次一循环，一个循环内的和为 0，计算即可  【解答】解

23、：由题意得，i1i，i21，i3i2i（1） ii，i4（i2）2（1） 21，i5i4ii，i6i5i1，  故可发现 4 次一循环，一个循环内的和为 0，  5031，  i+i2+i3+i4+i2012+i2013i  故选：D  【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律， 求出一个循环内的和再计算，有一定难度  二、填空题（每空二、填空题（每空 2 分，共分，共 22 分）分）  11 （4 分）比较下列两数的大小：2  |3|，3.14    【分析

24、】求出|3|3，再比较即可；根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即 可  【解答】解：|3|3，  2|3|；  3.14，  3.14  故答案为：，  【点评】本题考查了绝对值，有理数的大小比较的应用，主要考查学生的比较能力，注 意：正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的 反而小  12 （4 分）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数 2 的点为圆心，正 方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点 A 和点 B，则点 A 表示的数是 2 ；点 B 表示的数是 2+

25、    【分析】根据正方形的对角线是边长的倍，在数轴上向左减，向右加解答    第 10 页（共 16 页）   【解答】解：由图可知，正方形的边长是 1，  所以，对角线是，  所以，点 A 表示的数是 2；点 B 表示的数是 2+  故答案为：2，2+  【点评】本题考查了实数与数轴，主要是在数轴上无理数的表示，是基础题  13 （2 分）设 x，y 是有理数，且 x，y 满足等式 x+2yy17+4，则+y 的平方根 是 1   【分析】因为 x、y 为有理数，所以 x+2y 也

26、是有理数，根据二次根式的性质，只有同类 二次根式才能合并，所以 x、2y 都不能与进行合并又因为等式的右边有 4，所以 y 只能等于4， x+2y17， 把 y4 代入 x+2y17 中， 得 x25， 再代入计算即可求解  【解答】解：x、y 为有理数，  x+2y 为有理数，  又x+2yy17+4，  ，  解得，  y4，x25，  +y541，1 的平方根是1  故答案为：1  【点评】本题考查了实数的运算，熟悉合并同类项及实数的运算是解题的关键  14 （2 分）有下列四种说法： &

27、nbsp;数轴上有无数多个表示无理数的点；带根号的数不一定是无理数；  没有最大的负实数，但有最小的正实数；没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中说法错误的有  （注：填写出所有错误说法的编号）  【分析】根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案  【解答】解：数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；  带根号的数不一定是无理数是正确的，如2；  没有最大的负实数，也没有最小的正实数，原来的说法错误；  没有最大的正整数，有最小的正整数，原来的说法正确    第 11 页（共 16 页） &

28、nbsp; 故答案为：  【点评】此题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键  15 （2 分）数轴上顺次有不重合的 A，B，C 三点，若 A，B，C 三点对应的数分别为 a， 1，b，试比较大小： （a+1） （b+1）  0（填“”或“”或“” ）  【分析】根据 A、B、C 三点在数轴上的位置，确定 a、b 与1 的大小关系，进而确定（a 1） 、 （b+1）的符号，再确定乘积的符号即可  【解答】解：数轴上顺次有不重合的 A，B，C 三点，  （1）数轴上从左到右依次为 A、B、C，则 a1，b1，  

29、即：a+10，b+10，  （a+1） （b+1）0，  （2）数轴上从右到左依次为 A、B、C，则 a1，b1，  即：a+10，b+10，  （a+1） （b+1）0，  故答案为：  【点评】考查数轴表示数，利用数轴比较两个数的大小，以及有理数乘法的法则等知识， 正确判断 a、b 与1 的大小关系，确定（a1） 、 （b+1）的符号，是正确解答的关键  16 （2 分）如果代数式2a2+3b+8 的值为 1，那么代数式 4a26b+2 的值等于 16   【分析】根据2a2+3b+8 的值为 1，可得：2a2

30、+3b+81，所以2a2+3b7，据此 求出代数式 4a26b+2 的值等于多少即可  【解答】解：2a2+3b+8 的值为 1，  2a2+3b+81，  2a2+3b7，  4a26b+2  2（2a2+3b）+2  2（7）+2  14+2  16  故答案为：16  【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、 计算如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值题型简单总结以下三种：已知   第 12 页（共 16 页）   条件不化简，所给

31、代数式化简；已知条件化简，所给代数式不化简；已知条件和所 给代数式都要化简  17 （2 分）已知 3a22ab37an 1b2 与322x3y5的次数相等，则（1）n+1 1   【分析】多项式的前两项次数分别为 2、4，第三项次数为 n1+2，而后面单项式次数为 8，故只有 n1+28列方程可解本题  【解答】解：3a22ab37an 1b2 与322x3y5的次数相等，  n1+23+5，即 n+18  （1）n+11  【点评】多项式里次数最高项的次数叫做这个多项式的次数单项式中，所有字母的指 数和叫做这个单项式的次数注意 &

32、nbsp;是数字因数  18 （4 分）下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第 4 个正 方形中间数字 m 为 29 ，第 n 个正方形的中间数字为 8n3  （用含 n 的代数式表 示）   【分析】由前三个正方形可知：右上和右下两个数的和等于中间的数，根据这一规律即 可求出 m 的值；  首先求得第 n 个的最小数为 1+4（n1）4n3，其它三个分别为 4n2，4n1，4n， 由以上规律求得答案即可  【解答】解：如图，   因此第 4 个正方形中间数字 m 为 14+1529，  第 n 个正

33、方形的中间数字为 4n2+4n18n3  故答案为：29，8n3  【点评】此题考查图形的变化规律，通过观察，分析、归纳发现数字之间的运算规律， 并应用发现的规律解决问题    第 13 页（共 16 页）   三、解答题： （共三、解答题： （共 6 题，共题，共 48 分）分）  19 （6 分）将下列各数的序号填在相应的括号中：  01.5% 5. 3.14|3（+3）|  分数：  共 2 个  无理数：  共 3 个  正实数：  共 4 个  

34、【分析】根据分数、无理数、正实数的相关定义判断即可  【解答】解：分数：共 2 个  无理数：共 3 个  正实数：共 4 个  故答案为：，2；，3；，4  【点评】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键  20 （12 分）计算：  （1） （+1）（24）  （2） （2.25）（+）+（）（0.125）  （3）|1|+  （4）142（3）2  【分析】 （1）原式利用乘法分配律计算即可求出值；  （2）原式利用减法法则变形，计算即可求出值；  

35、（3）原式利用绝对值的代数意义，平方根、立方根定义计算即可求出值；  （4）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值  【解答】解： （1）原式1844+215；  （2）原式（2.25）+0.12530.53.5；  （3）原式1+232；  （4）原式1（7）1+  【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键  21 （6 分）一块三角尺的形状和尺寸如图所示如果圆孔的半径是 r，三角尺的厚度是 h，   第 14 页（共 16 页）   这块三角尺的体积 V 是多

36、少？若 a12cm，r3cm，h2cm，求 V 的值（结果保留 ）   【分析】由已知和图形知，这块三角尺的体积 V 等于整个三角板的体积减去圆孔部分的 体积第二步把已知数代入所得代数式即求出 v  【解答】解：整个三角板的体积为，a2h，圆孔的体积为 r2h，  所以，所求三角板的体积 Va2hr2h  若 a12cm，r3cm，h2cm，把它们代入上式，得：  V122232214418（cm3）   故答案为：14418（cm3）   【点评】此题考查的知识点是列代数式和球代数式的值，解答此题的关键是通过已知和 图形确

37、定各数量之间的关系  22 （6 分）在数轴上表示数，3，0，并比较它们的大小，用“”连接；  【分析】首先把各个数在数轴上表示出来，再根据右边的数总是大于左边的数，即可将 它们按从小到大的顺序用“”连接  【解答】解：根据题意画图如下：   30  【点评】本题主要考查了数轴上表示数的方法，以及利用数轴表示数的大小关系，是一 个基础题  23 （6 分）已知三个互不相等的有理数，既可以表示为 1，a，a+b 的形式，又可以表示 0， ，b 的形式，试求 a2n 1a2n（n1 的整数）的值  【分析】由于有意义，则 a0，

38、则应有 a+b0，则1，故只能 b1，a1 了， 再代入代数式求解    第 15 页（共 16 页）   【解答】解：由题可得：a0，a+b0，  1，b1，  a1，  又2n1 为奇数，1 的奇数次方得1；2n 为偶数，1 的偶数次方得 1，  a2n 1a2n（1）2n1（1）2n111  【点评】本题主要考查了实数的运算，解决问题的关键是根据已知条件求出未知数 a，b 的值  24 （12 分）如图，将一条数轴在原点 O 和点 B 处各折一下，得到一条“折线数轴” 图中 点 A 表示10，点 B

39、 表示 10，点 C 表示 18，我们称点 A 和点 C 在数轴上相距 28 个长度 单位动点 P 从点 A 出发，以 2 单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点 O 运动到点 B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点 Q 从点 C 出发， 以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动， 从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍， 之后也立刻恢复原速设运动的时间为 t 秒问：  （1）动点 P 从点 A 运动至 C 点需要多少时间？  （2）P、Q 两点相遇时，求出相遇点 M 所对应的数是多少；  （3）求当 t 为何值时，P、O 两点在数轴上相

40、距的长度与 Q、B 两点在数轴上相距的长度 相等   【分析】 （1）根据路程除以速度等于时间，可得答案；  （2）根据相遇时 P，Q 的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案；  （3）根据 PO 与 BQ 的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案  【解答】解： （1）点 P 运动至点 C 时，所需时间 t102+101+8219（秒） ，  （2）由题可知，P、Q 两点相遇在线段 OB 上于 M 处，设 OMx  则 102+x181+（10 x）2，  解得 x  故相遇点 M 所对应的数是  

41、;  第 16 页（共 16 页）   （3）P、O 两点在数轴上相距的长度与 Q、B 两点在数轴上相距的长度相等有 4 种可能：  动点 Q 在 CB 上，动点 P 在 AO 上，则：8t102t，解得：t2  动点 Q 在 CB 上，动点 P 在 OB 上，则：8t（t5）1，解得：t6.5  动点 Q 在 BO 上，动点 P 在 OB 上，则：2（t8）（t5）1，解得：t11  动点 Q 在 OA 上，动点 P 在 BC 上，则：10+2（t15）t13+10，解得：t17  综上所述：t 的值为 2、6.5、11 或 17  【点评】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用 PO 与 BQ 的时间相等得出方程是 解题关键，要分类讨论，以防遗漏