2020年秋人教版九年级数学全册知识点总结
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1、 人教版人教版九年级数学知识点总结九年级数学知识点总结 第第 21 章章 一元二次方程一元二次方程 1 一元二次方程一元二次方程 易错点:易错点: a0 和 a=0 方程两个根的取舍 知识点一知识点一 一元二次方程的定义定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元) ,并且未知数的最高 次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点:注意一下几点: 只含有一个未知数; 未知数的最高次数是 2; 是整式方程。 知识点二知识点二 一元二次方程的一般形式一般形式: 一般形式:ax 2 + bx + c = 0(a 0).其中,ax2 是二次项, a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是
2、一次项系数;c 是常数项。 知识点三知识点三 一元二次方程的根根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫 做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 2 降次降次解一元二次方程解一元二次方程 2.1 2.1 配方法配方法 知识点一知识点一 直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解一元二次方程 (1) 一般地,对于形如 x 2=a(a0)的方程,根据平方根的定义可解得 x 1=,x2=. (2) 直接开平方法适用于适用于解形如 x 2=p 或(mx+a)2=p(m0)形式的方程,如果 p0,就可以利 用直接开平方法。可得xp,或mxnp。 (3) 用直
3、接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两 个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4) 直接开平方法解一元二次方程的步骤是: 移项; 使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1; 两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程; aa 解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二知识点二 配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一 个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1) 把常数项移到等号的右边; (2
4、) 方程两边都除以二次项系数; (3) 方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式; (4) 若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。 2.2 2.2 公式法公式法 知识点一知识点一 公式法解一元二次方程公式法解一元二次方程 (1)一元二次方程 2 0(0)axbxca 当 2 40bac时,方程有实数根: 2 1 4 2 bbac x a 2 2 4 2 bbac x a ; 当 2 40bac 时,方程有实数根: 12 2 b xx a ; 当 2 40bac时,方程没有实数根。 (2)公式法解一元二次方程的具体步骤: 方程化为一般形式:ax 2+bx+c=0(a0),一
5、般 a 化为正值 确定公式中 a,b,c 的值,注意符号注意符号; 求出 b 2-4ac 的值; 若 b 2-4ac0,则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解,若 b2-4ac0,则方程无 实数根。 知识点二知识点二 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 式子 b 2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a0)根的判别式,通常用希腊字母表示它, 即=b 2-4ac. 0,方程 ax 2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根 =0,方程 ax 2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根 0,方程 ax 2+bx+c=0(a0)无实数根 根的 判别式 2.2.3 3
6、 因式分解法因式分解法 知识点一知识点一 因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程 (1) 把一元二次方程的一边化为 0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个 求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。 (2) 因式分解法的详细步骤: 移项,将所有的项都移到左边,右边化为 0; 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和十字交 叉相乘法; 令每一个因式分别为零,得到一元一次方程; 解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二知识点二 用合适的方法解一元一次方程用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接开平方法 平方根的意
7、义 形如 x 2=p 或(mx+n)2=p(p0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当 ab=0,则 a=0 或 b=0 一边为 0,另一边易于分解成两个一次 因式的积的一元二次方程。 2.4 2.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 x 2+px+q=0 的两个根为 x 1,x2,则有 x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程 a 2x+bx+c=0(a0)有两个实数根 x 1,x2,则有 x1+x2=,,x1x2= 3 3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 知识点一知识点一 列
8、一元二次方程解应用题的一般步骤:列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1) 审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量 关系。 (2) 设:是指设元,也就是设出未知数。 (3) 列: 就是列方程, 这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义, 然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。 (4) 解:就是解方程,求出未知数的值。 (5) 验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。 (6) 答:写出答案。 知识点二知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型列一元二次方程解应用题的几种常见类型 a b
9、a c (1) 传播问题 1 人患病,平均每轮感染 x 人,一轮后共有(1+x)名患者,两轮后共有(1+x) 2名患者。 (2) 握手问题 一共有 n 人,每两人之间握一次手,共需握 (1) 2 n n 次手。 (3)增长率问题 设初始量为 a,终止量为 b,平均增长率或平均降低率为 x,则经过两次的增长或降低后的等 量关系为 a(1) 2=b。 (4)利润问题 利润问题常用的相等关系式有: 总利润=总售价-总成本;总利润=单位利润总销售量;利润=成本利润率 (5)图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来,建立一元二次方程 第第
10、2222 章章 二次函数二次函数 一、相关概念及定义相关概念及定义 1 二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函 数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零二次函数的 x 的取值范围是全体实数 2 二次函数的结构特征: (1)等号左边是函数,右边是关于自变量 的二次式, 的最高次数是 2 (2)是常数, 是二次项系数, 是一次项系数, 是常数项 二、二次函数各种形式之间的变换二、二次函数各种形式之间的变换 1二 次 函 数用 配 方 法 可 化 成 :的 形 式 , 其 中 . 2 二次函数由特殊到一般, 可分为以下几种形式: ; ; ; ;. 三、二次函数
11、解析式的表示方法三、二次函数解析式的表示方法 1 一般式:( , , 为常数,) ; 2 顶点式:( , , 为常数,) ; 3 两根式:(,是抛物线与 轴两交点的横坐标). 4 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以 写成交点式,只有抛物线与 轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式 表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. x 2 yaxbxc abc, ,0a 0a bc, 2 yaxbxc xx abc, ,abc cbxaxy 2 khxay 2 a bac k a b h 4 4 2 2 , 2 axy kaxy 2 2hxay khxa
12、y 2 cbxaxy 2 2 yaxbxcabc0a 2 ()ya xhkahk0a 12 ()()ya xxxx0a 1 x 2 xx x 2 40bac 四、四、二次函数二次函数图象的画法图象的画法 1 五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、 与轴的交点、 以及关于对称轴对称的点、 与 轴的交点, (若与 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 2 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 轴的交点,与轴的交点. 五、五、二次函数二次函数的性质的性质 六、二次函数六、
13、二次函数的性质的性质 七、二次函数七、二次函数的性质的性质 八、二次函数八、二次函数的性质的性质 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 ()ya xhk y0 c,0 c,2hc,x 1 0 x , 2 0 x , x xy 2 axy 2 yaxc 2 ya xh 2 ya xhk 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时, 随 的增大而增大;时, 随 的增大而减小;时,有最小值 向下 轴 时, 随 的增大而减小;时, 随 的增大而增大;时,有最大值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时, 随 的增大而增大;时, 随 的 增大而减小;时,有最小值 向下 轴
14、时, 随 的增大而减小;时, 随 的 增大而增大;时,有最大值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时, 随 的增大而增大;时, 随 的增大而减小;时,有最小值 向下 X=h 时, 随 的增大而减小;时, 随 的增大而增大;时,有最大值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0a 0 0, y 0 x yx 0 x yx 0 x y 0 0a 0 0, y 0 x yx 0 x yx 0 x y 0 a 0a 0 c,y 0 x yx0 x yx 0 x yc 0a 0 c,y 0 x yx0 x yx 0 x yc a 0a 0h, xhyxxhy xxhy0 0
15、a 0h, xhyxxhy xxhy0 a 九、九、抛物线抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点的三要素:开口方向、对称轴、顶点. 1 的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下; 相等,抛物线的开口大小、形状相同. 2 对称轴:平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线. 3 顶点坐标: 4 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方 向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 十、抛物线十、抛物线中,中,与函数图像的关系与函数图像的关系 1 二次项系数 二次函数中, 作为二次项系数,显然 当时,抛物线开口向上, 越大,开口越小,反
16、之 的值越小,开口越大; 当时,抛物线开口向下, 越小,开口越小,反之 的值越大,开口越大 总结起来, 决定了抛物线开口的大小和方向, 的正负决定开口方向,的大小决定开口的 大小 2 一次项系数 在二次项系数 确定的前提下, 决定了抛物线的对称轴 在的前提下, 当时,即抛物线的对称轴在轴左侧; 当时,即抛物线的对称轴就是轴; 当时,即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下,结论刚好与上述相反,即 当时,即抛物线的对称轴在轴右侧; 2 yaxbxc a0a0a a y 2 b x a y0 x ),( a bac a b 4 4 2 2 a cbxaxy 2 cba, a 2 yaxbxca0a 0
17、a aa 0a aa aaa b ab 0a 0b 0 2 b a y 0b 0 2 b a y 0b 0 2 b a y 0a 0b 0 2 b a y 向上 X=h 时, 随 的增大而增大;时, 随 的增大而减小;时,有最小值 向下 X=h 时, 随 的增大而减小;时, 随 的增大而增大;时,有最大值 0a hk, xhyxxhy xxhyk 0a hk, xhyxxhy xxhyk 当时,即抛物线的对称轴就是轴; 当时,即抛物线对称轴在轴的左侧 总结起来,在 确定的前提下, 决定了抛物线对称轴的位置 3 常数项 当时,抛物线与轴的交点在 轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正; 当时,抛物
18、线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为 ; 当时,抛物线与轴的交点在 轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来, 决定了抛物线与轴交点的位置 总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1 公式法:,顶点是,对称轴是直线 . 2 配方法: 运用配方的方法, 将抛物线的解析式化为的形式, 得到顶点为(,), 对称轴是直线. 3 运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直 平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验
19、证,才能做到万无一失. 十二、用待定系数法求二次函数的解析式十二、用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式. 2 顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. 3 交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:. 十三、直线与抛物线的交点十三、直线与抛物线的交点 1轴与抛物线得交点为(0, ). 2 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). 3 抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,是 对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元 二次方程的根的判别式判定: 有两个交点抛物线与轴相交; 有
20、一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切; 没有交点抛物线与轴相离. 4 平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐 标为,则横坐标是的两个实数根. 0b 0 2 b a y 0b 0 2 b a y ab c 0c yxy 0c yy0 0c yxy cy abc, , a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 ),( a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 khxay 2 h k hx cbxaxy 2 xy khxay 2 x 1 x 2 x 21 xxxxay ycbxaxy 2
21、c yhx cbxaxy 2 hcbhah 2 xcbxaxy 2 x 1 x 2 x 0 2 cbxaxx 0 x x0 x 0 x x kkcbxax 2 5 一次函数的图像 与二次函数的图像的交点,由方 程组 的解的数目来确定:方程组有两组不同的解时与有两个交 点; 方程组只有一组解时与只有一个交点;方程组无解时与没有交点. 6 抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为, 由于、是方程的两个根,故 十四、二次函数图象的平移十四、二次函数图象的平移 1.平移步骤: 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标; 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下: 2 平移规律
22、 在原有函数的基础上,“ 值正右移,负左移; 值正上移,负下移” 概括成八个字:“左加右减,上加下减” 第第 23 章章 旋转旋转 1 1 图形的旋转图形的旋转 知识点一知识点一 旋转的定义旋转的定义 在平面内,把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度,就叫做图形的旋转,点 O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 知识点二知识点二 旋转的性质旋转的性质 旋转的特征: (1)对应点到旋转中心的距离相等; (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角 0knkxyl0 2 acbxaxyG 2 ykxn yaxbxc lG lGlG xcbxa
23、xy 2 x00 21 ,xBxA 1 x 2 x0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 , aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 2 ya xhkhk, 2 yaxhk, 向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax2+ky=ax2 hk 等于旋转角; (3)旋转前后的图形全等。 理解以下几点: (1) 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 (2)对应点到旋转中心的距离 相等
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