第三章 变量之间的关系 单元教案（2020年北师大七年级数学下册）

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1、 第三章第三章 变量之间的关系变量之间的关系 3 3.1 1 用表格表示的变量间关系 1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感. 2.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子. 3.能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的数据尝试对变化趋势 进行初步的预测. 自学指导 阅读教材 P6263，完成下列问题. 知识探究 1.在某一变化过程中，我们把数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量. 2.在某一变化过程中，其中一个变量随另一个变量的变化而变化，那么，通常前一个变量

2、叫做因变量，后一个 变量叫做自变量. 活动 1 1 小组讨论 例 某电动车厂今年各月份生产电动车的数量情况如下表： 时间 x/月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月产量 y/万辆 8 8.5 9 10 11 12 10 9.5 9 10 10 10.5 (1)为什么称电动车的月产量 y 为因变量？它是谁的因变量？ (2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ (3)哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做？ 分析：(1)从表中可以看出电动车的月产量 y 随时间 x 的变化而变化，所以自变量是时间 x，因变量是电动车的 月产量

3、y；(2)(3)根据表中信息答题即可. 解：(1)电动车的月产量 y 随着时间 x 的变化而变化，有一个时间 x 就有唯一一个 y 与之对应，月产量 y 是时 间 x 的因变量. (2)6 月份产量最高，1 月份产量最低. (3)6 月份和 1 月份相差最大，在 1 月份加紧生产，实现产量的增值. 观察因变量随自变量变化而变化的趋势，实质是观察自变量增大时，因变量是随之增大还是减小. 活动 2 2 跟踪训练 1.某人要在规定时间内加工 100 个零件，则工作效率 y 与时间 t 之间的关系中，下列说法正确的是( C ) A.100 和 y，t 都是变量 B.100 和 y 都是常量 C.y 和

4、 t 都是变量 D.100 和 t 都是变量 2.一个圆柱的高 h 为 10 cm，当圆柱的底面半径 r 由小到大变化时，圆柱的体积 V 也发生了变化，在这个变化 过程中( B ) A.r 是因变量，V 是自变量 B.r 是自变量，V 是因变量 C.r 是自变量，h 是因变量 D.h 是自变量，V 是因变量 3.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 y(cm)与所挂的物体的质量 x(kg)间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是( B ) A.x 与 y 都是变量，且 x 是自变量，y 是因变量 B.弹簧不挂重物时的

5、长度为 0 C.在弹性限度内，物体质量每增加 1 kg，弹簧长度 y 增加 0.5 cm D.在弹性限度内，所挂物体质量为 7 kg 时，弹簧长度为 13.5 cm 活动 3 3 课堂小结 1.常量与变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量. 2.用表格表示数量间的关系：借助表格表示因变量随自变量的变化而变化的情况. 3 3.2 2 用关系式表示的变量间关系 1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感. 2.能根据具体情境，用关系式表示某些变量之间的关系. 3.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应

6、关系. 自学指导 阅读教材 P6667，完成下列问题. (一)知识探究 关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式(如 y3x)， 我们可以根据任何一个自变量的值求出 相应的因变量的值. (二)自学反馈 如图所示，梯形的上底长是 5 cm，下底长是 13 cm.当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化. (1)在这个变化过程，自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积； (2)梯形的面积 y(cm 2)与高 x(cm)之间的关系式为 y9x； (3)当梯形的高由 10 cm 变化到 1 cm 时，梯形的面积由 90cm 2变化到 9cm2. 活动 1 1 小组讨论 例 “低碳生活”是

7、指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式. 如下图： (1)家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为 y0.785x， 其中的字母表示 y 表示家居用电的二氧化碳排 放量，x 表示耗电量； (2)在上述关系式中， 耗电量每增加 1 KW h， 二氧化碳排放量增加 0.785_kg.当耗电量从 1 KW h 增加到 100 KW h 时，二氧化碳排放量从 0.785_kg 增加到 78.5_kg； (3)小明家本月用电大约 110 KWh、天然气 20 m 3、自来水 5 t、耗油 75 L，请你计算一下小明家这几项的二 氧化碳排放量. 解：1100.7

8、85752.7200.1950.91297.2(kg). 答：小明家这几项的二氧化碳排放量是 297.2 kg. (1)关系式通常把因变量写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边； (2)利用关系式可以根据任何一个符合条件的自变量的值求出因变量的值.已知一个变量的值求另一个变量的 值时，一定要分清已知的是自变量还是因变量，不要代错了. 活动 2 2 跟踪训练 1.小红到文具商店买彩笔， 每打彩笔 12 支， 售价 18 元， 那么买彩笔所需的钱数 y(元)与购买彩笔的支数 x(支) 之间的关系式为( A ) A.y3 2x B.y 2 3x C.y12x D.y18x 2.百货大楼进了

9、一批花布，出售时要在进价(进货价格)的基础上加一定的利润，其数量 x(米)与售价 y(元)如 下表： 数量 x/米 1 2 3 4 售价 y/元 80.3 160.6 240.9 321.2 下列用数量 x 表示售价 y 的式子中，正确的是( B ) A.y8x0.3 B.y(80.3)x C.y80.3x D.y80.3x 3.根据图中的程序，当 x3 时，输出的结果 y2. 4.某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数(x) 1 2 3 4 座位数(y) 50 53 56 59 (1)按照上表所示的规律，当 x 每增加 1 时，y 如何变化？ (2)写出座位数 y 与排数 x

10、之间的关系式； (3)按照上表所示的规律，某一排可能有 90 个座位吗？说说你的理由. 解：(1)由表中数据可得：当 x 每增加 1 时，y 增加 3. (2)由题意可得：y503(x1)3x47. (3)某一排不可能有 90 个座位，理由： 由题意，得 y3x4790. 解得 x43 3 . 因为 x 不是整数，所以某一排不可能有 90 个座位. 活动 3 3 课堂小结 1.本节课主要是探索了图形中的变量关系. 2.能用关系式表示变量之间的关系. 3.能根据关系式求值. 3 3.3 3 用图象表示的变量间关系 第 1 课时 曲线型图象 1.经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之

11、间的关系. 2.能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述. 3.结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义. 自学指导 阅读教材 P6970，完成下列问题. (一)知识探究 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.在用图象表示变量之间的关系时，通常用 水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量. (二)自学反馈 如图是一台自动测温记录仪的图象，它反映了某市冬季某天气温 T 随时间 t 变化而变化的关系，观察图象得到 下列信息，其中错误的是( C ) A.凌晨 4 时气温最低，为3 B.14 时气温最高，为 8 C.从

12、0 时至 14 时，气温随时间增长而上升 D.从 14 时至 24 时，气温随时间增长而下降 认真观察图象，弄清楚时间是自变量，温度是因变量，然后由图象上的点确定自变量及因变量的对 应值. 活动 1 1 小组讨论 例 水滴进玻璃容器如图所示(设单位时间内进水量相同)，那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与 a、b、c、d 匹配的图象( A ) A.(3)(2)(4)(1) B.(2)(3)(1)(4) C.(2)(3)(4)(1) D.(3)(2)(1)(4) 解析：a.容器直径小，上升速度快，故 a 应是图(3)；b 容器直径大，上升速度慢，故 b 应是图(2)；c 容器下 面大，上升

13、速度慢，上面较小，上升速度变快，故 c 应是图(4)；d 先最快，再速度放慢然后速度又变快，最后速度 不变，故 d 应是图(1).故选 A. 对于题目中有不规则容器，图象多为不规则变化，要确定这种变化关系，可以从容器横截面的变化 情况进行判断. 活动 2 2 跟踪训练 1.某市春天经常刮风，给人们的出行带来很多不便，小明观测了 4 月 6 日连续 12 个小时风力变化的情况，并 画出了风力随时间变化的图象如图，则下列说法正确的是( D ) A.在 8 时至 14 时，风力不断增大 B.在 8 时至 12 时，风力最大为 7 级 C.8 时风力最小 D.20 时风力最小 2.小颖今天发烧了，早晨

14、她烧得厉害，吃药后她感觉好多了，中午时小颖的体温基本正常，但是下午她的体温 又开始上升，直到夜里小颖才感觉没那么发烫，下面幅图能较好地刻画出小颖今天体温的变化情况的是( C ) 3.光合作用是指绿色植物通过叶绿体，利用光能，把二氧化碳和水转化成储存能量的有机物，并释放出氧气的 过程.如图是夏季的白天 7 时18 时的一般的绿色植物的光合作用强度与时间之间的关系的曲线，分析图象回答问 题： (1)大约几时的光合作用最强？大约几时的光合作用最弱？ (2)说一说绿色植物光合作用的强度从 7 时到 18 时是怎样变化的. 解：(1)大约 10 时的光合作用最强；大约 7 时和 18 时的光合作用最弱.

15、 (2)绿色植物的光合作用从 7 时至 10 时逐渐增强，从 10 时至 12 时逐渐降低，从 12 时至 14 时 30 分左右逐渐 增强，从 14 时 30 分至 18 时逐渐降低. 活动 3 3 课堂小结 本节课从图象中分析了两个变量之间的关系，结合温度变化直观而形象地从图中获得了变量之间的有关信息， 用图象来直观地反映变量之间的关系是表格法、关系式法所无法代替的. 第 2 课时 折线型图象 1.进一步经历从图象中分析变量之间关系的过程，加深对图象的理解. 2.进一步发展从图象中获取信息的能力及能用语言有条理地表达的能力. 3.通过图象对变量之间关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的预测.

16、 自学指导阅读教材 P7374，完成下列问题. (一)知识探究 (1)我们生活在一个变化的世界中，从数学的角度去研究变化的量，讨论它们之间的关系，这将有助于我们更 好地去认识世界和预测未来，那么到目前我们一共学习了几种表示变量之间关系的方法？ 一共有三种，分别是用表格、关系式及图象来表示变量间的关系. (2)它们之间有什么区别吗？ 表格法能说明部分变量之间的关系. 关系法能看出变量之间的变化规律，但是不能看出具体的变化. 图象法比较直观，既能看出具体变量之间关系，又能看出变化趋势. (二)自学反馈 (1)速度时间图象各部分所代表的意义： 代表物体从出发点开始加速运动； 代表物体匀速运动； 代表

17、物体减速运动到停止. (2)路程时间图象各部分所代表的意义： 代表物体从出发点开始匀速运动； 代表物体停止运动； 代表物体反向运动直至回到原地. 活动 1 1 小组讨论 例 星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题. (1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)她何时开始第一次休息？休息了多长时间？ (3)她骑车速度最快是在什么时候？车速是多少？ (4)玲玲全程骑车的平均速度是多少？ 分析：(1)利用图中的点的横坐标表示时间，纵坐标表示离家的距离，进而得出答案；(2)休息时路程不随时间 的增加而增加；(3)用距离除以所用时间求出速度

18、，再比较大小即可；(4)用玲玲全程所行的路程除以所用的时间即 可. 解：观察图象可知： (1)玲玲到达离家最远的地方是 12 时，此时离家 30 千米. (2)10 点半时开始第一次休息，休息了半小时. (3)玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：9 时10 时，速度为 10(109)10(千米/时)；10 时10 时 30 分，速度为(17.510)(10.510)(15 千米/时)；10 时 30 分11 时，速度为 0；11 时12 时，速度为 (3017.5)(1211)12.5(千米/时)；12 时13 时，速度为 0；13 时15 时，在返回的途中，速度为 30(15 13)15(

19、千米/时).可见骑行最快有两段时间： 10 时10 时 30 分.13 时15 时.两段时间的速度都是 15 千米/时. (4)玲玲全程骑车的平均速度为(3030)(159)10(千米/时). 答：玲玲全程骑车的平均速度是 10 千米/时. “上升线”表示因变量随自变量的增大而增大； “水平线”表示因变量随自变量的增大不变； “下降线”表示因变量随自变量的增大而减小. 活动 2 2 跟踪训练 1.星期六，小亮从家里骑自行车到同学家去玩，然后返回.如图是他离家的路程(km)与时间(min)的图象，根据 图象信息，下列说法不一定正确的是( C ) A.小亮到同学家的路程是 3 千米 B.小亮在同学家逗留的时间是 1 小时 C.小亮去时走上坡路，回家时走下坡路 D.小亮回家时用的时间比去时用的时间少 2.为了加强爱国主义教育，每周一学校都要举行庄严的升旗仪式，同学们凝视冉冉上升的国旗，下列哪个函数 图象能近似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系( A ) 活动 3 3 课堂小结 学会读图非常重要，要掌握以下几点： (1)要看清横轴和纵轴上的名称和单位，抓住起点、终点、最高(最低)点等特殊位置； (2)要明白“上升线”“水平线”“下降线”各代表什么意思； (3)既要会看出图中信息，还要会根据实际情境选图.