浙江省五校（杭州二中、学军中学、杭州高级中学、效实中学、绍兴一中）2021届高三上学期联考数学试题（含答案）

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1、浙江省浙江省 2020 学年学年高三高三第一学期五校联考第一学期五校联考数学试题数学试题 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1. 已知集合 1Ax yx，02Bxx，则AB R （ ） A1,2 B0,1 C0, D,2 2. “直线l与平面内无数条直线垂直”是“直线l与平面 垂直”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不必要也不充分条件 3. 若x，y满足约束条件 22 1 11 xy xy y ，则 2zxy 的最大值为（ ） A9 B8 C7 D6 4. 已知 1,2a ， 1, 7b ，2cab，则c在a方向上的投影为（ ） A

2、 3 5 5 B 3 2 10 C 3 2 10 D 3 5 5 5. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2sintan1 2cosCAC，2cb，则cos B 的值为（ ） A 2 3 B 2 3 C 3 4 D 7 8 6. 函数 2 ee xx f x x 的图象是下列图中的（ ） 7. 已知数列 n a 的前n项的和为 n S，且 23 nn San n ，则（ ） A n a 为等比数列 B n a 为摆动数列 C 1 3 29 n n a D6 236 n n Sn 8. 已知25cos2 cos， 4 cos 2 5 ，0, 2 ， 3 ,2 2 ，则cos的

3、值为（ ） A 4 5 B 44 125 C 44 125 D 4 5 9. 已知抛物线 2 :3C xy，过点 3 , 4 P mm R 作抛物线的切线PA、PB，切点分别为A、B，则A、 B两点到x轴距离之和的最小值为（ ） A3 B 3 2 C 3 3 2 D 3 3 4 10. 已知函数 11 f xxaxa xax R ， 2 0g xp f xq pq ，给出下列四个命题： 函数 f x图象关于点0,0对称； 对于任意aR，存在实数m，使得函数f xm为偶函数； 对于任意aR，函数 f x存在最小值； 当1a 时，关于x的方程 0g x 的解集可能为3, 1,1,2 ，其中正确命题

4、为（ ） A B C D D O x y C O x y B O x y A O x y 二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分分 11. 不等式 2 31 1 3 3 x xx 的解集是 ；不等式 24 log2logxx 的解集是 12. 函数 cos0 6 f xx 在区间, 的图象如下图，则 f x的最小正周期为 ； f 13. 已知双曲线:C 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，离心率为 3，点P为双曲线上一 点， 12 120FPF，则双曲线的渐近线方程为 ；若双曲线C的实轴长为 4，则 12

5、 FPF的 面积为 14. 已知函数 1 32 e4,1 3,1 x x f x xxx （其中e是自然对数的底数），则 2ff ；若 yf x 与 9yxb 的图象有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是 15. 某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 O y x - -4 9 16. 已知a，b，c是非零向量， 2 3ab， 2cacb，为任意实数，当ab与a的夹角为 3 时， ca的最小值是 17. 若 a，b 为实数，且13a，24b，则 3 2 4ab ab 的取值范围是 三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 18. （本题满分 14 分）已知 sin

6、(sin3cos )f xxxx，ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c （1）求 f x的单调递增区间； （2）若 3 2 fA ，2a ，求 ABC周长的取值范围 2 2 俯视图 侧视图 正视图 2 19. （本题满分 15 分）已知四棱锥PABCD的底面是矩形，PA面ABCD，2PAAD，2 2AB （1）作AMPB于M，ANPC于N，求证：PC 平面AMN； （2）求二面角DPCA的正切值 20. （本题满分15分） 已知数列 n a 与 n b 满足 11 31 n nnnn bab a ， 2, 1, n n b n 为奇数 为偶数 ， * nN， 且 1 2a （1）设 2

7、+121nnn caa ， * nN，求 1 c，并证明：数列 n c 是等比数列； （2）设 n S为 n a 的前 n 项和，求 2n S 源: 21. （本题满分 15 分）已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，短轴长为2 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线: l y kxm 与椭圆 C 交于 A， B 两个不同的点，M 为 AB 中点， 1,0N ，当AOB（点 O 为坐标原点）的面积 S 最大时，求MN的取值范围 N M DC B A P 22. （本题满分 15 分）已知函数 sinsin2f xaxx ，aR （1）若2a ，求函数

8、 f x在0,上的单调区间； （2）若1a ，不等式 cosf xbxx 对任意 2 0, 3 x 恒成立，求满足条件的最大整数 b 2020 学年第一学期浙江省高三学年第一学期浙江省高三“五校联考”考试参考答案“五校联考”考试参考答案 1-10.CBCADCDBBA 11. |1x x ， |12xx 12. 4 3 ， 1 2 13.2yx ， 8 3 3 14. 5 4e ，( 27, 12 ( 11,) 15. 4 3 16. 1 2 17. 3 35 , 4 12 18.解： 31 cos23 ( )sin (sincos )sin2 222 x f xxxxx 1 sin(2) 6

9、2 x3 分 由 3 222 262 kxk，kZ 得 5 36 kxk，kZ ( )f x的单调递减区间为 5 , 36 kkkZ 6 分 （2） 13 ( )sin(2) 622 f AA，则sin(2)1 6 A， 0A， 11 2 666 A， 2 62 A，解得 3 A. 8 分 法一： 2a， 3 A， 由余弦定理得， 222 2cos 3 abcbc ，即 22 4bcbc 10 分 2 ()43bcbc，则 22 ()43() 2 bc bc 12 分 又2bc ，24b c 13 分 ABC周长的范围是(6,8 14 分 法二： 由正弦定理得 4 23 sin3sinsin

10、abc R ABC 4 3(sinsin) 3 bcBC 10 分 233 sinsinsinsin()sincos3sin() 3226 BCBBBBB 12 分 又 2 (0,) 3 B ， 1 sin()( ,1 62 B ，(4,6bc 13 分 ABC周长的范围是(6,8 14 分 19（1） BCABAMPB PAABCD BCPABCPABAMBCAMPBC BCABCD ABPAAPBBCBAMPABPCPBC 面 面面 面 面面 = PCAM PCANPCAMN AMAN A 面 7 分 （2）方法一：作DEACE于，EFPCF于，连DF， PAABCD面，PACABCD面面

11、， DEPAC面，DEPC，EFPC， EFDEE，PCDEF面，DFPC，DFE 是二面角DPCA的平面角，11 分 2PAAD， 2 2AB ，2 3AC，30PCA 2 6 3 DE， 4 3 3 CE ， 2 3 3 EF ， tan2 DE DFE EF ， DFE是二面角DPCA的正切值为 2. 15 分 DC B A P M N E F 方法二：建立坐标系（以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴）. (0,0,0), (0,2 2,0),(2,2 2,0),(2,0,0), (0,0,2)ABCDP (0,2 2,0),(2,2 2, 2),(0,0,2)DCPCAP 平面DP

12、C的法向量 1 (1,0,1)n ，平面APC的法向量 2 ( 2, 1,0)n 设二面角DPCA的平面角为， 12 3 cos|cos,| 3 n n，tan2 20. （1）证明： 12 22aa， 23 210aa，两式作差得 1 12c 3 分 对任意 * nN， 21 212 231 n nn aa ， 2 221 231 n nn aa 2 分 ，得 21 2121 34 n nn aa ，即 21 34 n n c ， 于是 1 4 n n c c .所以 n c是等比数列 7 分 （2）证明当 * nN且2n时， 2113153752123 ()()()() nnn aaaaa

13、aaaaa 221 31 (19)9 2 9 2 2 129 nn 10 分 由(1)得 11 2 33 93 2 19 2 2 nn n a ，所以 2 1 9 4 n n a 12 分 1 212 3 (1 9) 4 n nn aa ，得 2 391 () 48 n n Sn 15 分 21.解：（1）由已知 2 2 c e a ，22 2b， 222 abc 得2,2ba，故椭圆C的 22 1 42 xy ；5 分 （2）设 112200 ,A x yB x yM x y，则 由 22 24xy ykxm 得 222 214240kxmkxm 2 1212 22 424 , 2121 m

14、km xxx x kk ，点O到直线l的距离 2 1 m d k ， 2 2 2 22 2 11424 14 222121 1 mmkm SdABk kk k 222 222 22 42 42 2 222 2121 mkm mkm kk S取得最大值 2，当且仅当 222 42mkm 即 22 21mk ， 10 分 此时 2 12 000 2 2221 , 221 xxmkkk xykxmm kmmm ， 法一：即 0 0 00 1 , 22 xm mkx yy 代入式整理得 2 2 0 00 10 2 x yy， 即点M的轨迹为椭圆 2 2 1: 10 2 x Cyy 13 分 且点N恰为

15、椭圆 1 C的左焦点，则MN的范围为 21, 21 15 分 法二： 2 2 22 21441 (1)1 kkk MN mmmm 由得 222 2 2 442 12(1)2 1 kkmkkk MN mmmm 13 分 设 k t m 代入 22 21mk 得 22 2 21mm t，即 22 (1 2 )1tm， 2 2 1 0 1 2 m t 22 22 t ，即 22 22 k m 21, 21MN 15 分 22、解答：（）当2a时，( )2sinsin2f xx x，于是 ( )2cos2cos22(1 cos )(2cos1)fxxxxx 3 分 于是( )0fx ，解得(0,) 3

16、 x ；( )0fx，解得(, ) 3 x 即(0,) 3 x 函数( )f x单调递增，(, ) 3 x 函数( )f x单调递减 6 分 （）当1a 时，( )sinsin2cosf xxxbxx对任意 2 (0,) 3 x 恒成立 首先考察(0,) 2 x 时，易得0b ( )sinsin2sin (1 2cos )cosf xxxxxbxx 2 (,) 23 x 时，( )0cosf xbxx，显然成立 9 分 于是只考察( )sinsin2cosf xxxbxx对任意(0,) 2 x 恒成立 由 22 ()1 4242 fb ，于是 2 1 2 2 8 b ，易知 2 1 2 3 2 8 ，所以3b11 分 下证：( )sinsin23 cosf xxxxx对任意(0,) 2 x 恒成立 考察函数( )tan2sin3g xxxx，(0,) 2 x 322 222 12cos3cos1(cos1) (2cos1) ( )2cos30 coscoscos xxxx g xx xxx 于是( )g x在(0,) 2 x 上单调递增，则( )(0)0g xg 即tan2sin30 xxx，则sinsin23 cosxxxx 综上可知， max 3b 15 分