四川省棠湖中学2021届高三上10月第一次模拟考试数学理试题（含答案）

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1、20202020 年秋四川省棠湖中学高三第一学月考试年秋四川省棠湖中学高三第一学月考试理科数学理科数学试卷试卷 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I卷 选择题（60分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.若集合 2 560, 20 x Ax xxBx，则(

2、RA ) B A.0 |1xx B.6|0 xx C.0( |2xx D.3|0 xx 2.在复平面内，复数 2i 1i z 的共扼复数的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若 0.3 30.3 log 0.3log0.20.2abc， ， ，则 A.abc B.bca C.acb D.bac 4.已知向量(3,2),(1, 1)ab，若( )abb，则实数 A 1 2 B 1 2 C1 D1 5.已知1 n x 的展开式的各项系数和为 32，则展开式中 4 x的系数为 A5 B10 C15 D20 6.已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为

3、 A. 1 4 2 B. 5101 22 C. 51012 24 D. 12 4 4 7.各项均为正数的等比数列 n a 中， 1 2a ，数列 n a 的前项和为 3 ,23 2 n S S .则 7 a A8 2 B7 2 C8 D15 2 14 8.在ABC中， ,20CMMB ANCN，则 A. 21 36 MNABAC B. 27 36 MNABAC C. 12 63 MNACAB D. 72 63 MNACAB 9.已知 1 cos 3 6 ，则sin 2 6 A. 8 9 B. 8 9 C. 7 9 D. 7 9 10.已知点( ,)mn mn 在 0 0 22 xy xy xy

4、 表示的平面区域内，则 22 mn的最小值为 A. 2 5 B. 10 5 C. 4 9 D. 2 3 11.函数 2 cos ln1 x f x xx 的部分图象大致为 A. B. C. D. 12.已知函数 2 1, 20 ln ,0 xx fx xxe ，方程 f xa恰有两个不同的实数根 1212 ,()x xxx,则 2 12 xx的最小值与最大值的和 A. 2e B. 2 C. 3 6e D. 3 4e 第 II卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。 13.已知直线 12 :30,:30 xklkylyx，且 12 ll/ /，则k的值_

5、. 14.不等式sin2cos2 1xx在区间0,2上的解集为_ 15.在三棱锥ABCD中，AB AC，DBDC，4ABDB，ABBD，则三棱锥ABCD外 接球的体积的最小值为_ 16.函数 2 1 lg0 x f xxxR x （ ）, ，有下列命题： f x的图象关于 y 轴对称； f x的最小值是 2； f x在,0上是减函数，在0,上是增函数； f x没有最大值其中正确命题的序号是_ （请填上所有正确命题的序号） 三解答题：共三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都

6、必须作答。第题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分 17.（12分）ABC的内角, ,A B C的对边分别为 , ,a b c，已知2 coscoscosbBaCcA. （1）求B的大小； （2）若2b ，求ABC面积的最大值. 18.（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形， ,60PAPDDAB. （1）证明：ADPB； （2）若6,2PBABPA，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值 19.（12分）2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻 l0月 21 日至 22日首次公 开测

7、产，经测产专家组评定，最终亩产为 1046. 3 千克.第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国 的水稻生产向更加优质、高产、绿色 和可持续方向发展.某企业引进一条先进的年产量为 100 万件 的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工.已知该生产线生产的产品的质量以某项 指标值 (70,100)k k 为衡量标准，其产品等级划分如下表.为了解该产品的生产效益，该企业先进 行试生产，并从中随机抽取了 1000 件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量 指标值的频率分布直方图. 质量指标值k k 9k 8k 8k 75k 产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好 （1）若从质量

8、指标值不小于 85 的产品中，采用分层抽样的方法抽取 7件产品，然后从这 7件产品 中任取 3件， 求产品的质量指标值 90,95)k 的件数X的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取 3件，记“抽出的产品中至少有 1件是合格及 以上等级”为事件A，求事件A发生的概率； （3）若每件产品的质量指标值k与利润 y (单位:元）的关系如下表所示:(14)t 质量指标值k k 9k 8k 8k 75k 利润 y t e t 3t 5t 3t 试确定 t 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值.（参考数值: ln20.7,ln3 1.1,ln5 1.6) 20

9、.（12分）己知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 12 2 , 2 F F分别是椭圈C的左、右焦点， 椭圆C的焦点 1 F到双曲线 2 2 1 2 x y渐近线的距离为 3 3 . （1）求椭圆C的方程； （2）直线:0l ykxm k与椭圆C交于,A B两点，以线段,A B为直径的圆经过点 2 F，且原点 O到直线l的距离为 2 5 5 ，求直线l的方程. 21.（12分）已知函数 1 ln,Rf xaxa x . （1）求 f x的极值； （2）若方程 2ln20f xxx 有三个解，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题

10、中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 cos sin1 x y （ 为参数），以原点O为极点，以 x 轴正半轴为极轴建极坐标系 （1）求C的极坐标方程； （2）直线 12 ,l l的极坐标方程分别为 , 36 RR，直线 1 l与曲线C的交点为OM、， 直线 2 l与曲线C的交点为ON、，求线段MN的长度. 23.选修 4-5：不等式选讲（10分） 已知, Rx y ，且 1xy （1）求证： 22 3 3 4 xy； （2）当 0 xy 时，不等式 11 |2|1|aa xy 恒成立，求 a

11、 的取值范围. 理理科数学参考答案科数学参考答案 1-5:BDCAA 6-10:DACCA 11-12:AC 13.：1 14.： 5 0, 4 4 15 8 2 3 16. 17.（1）由正弦定理得2sin cossincossincossinBBACCAAC ABCsinsinACB，又0B，sin0B 2cos1B ，得： 3 B （2）由余弦定理 222 2cosbacacB得： 22 4acac 又 22 2acac（当且仅当a c 时取等号） 22 42acacacacac max4ac 三角形面积的最大值为： 1 4sin3 2 B 18.（1）证明：取AD中点E，连接, ,PE

12、 BE BD 四边形ABCD为菱形ADAB 又60DABABD 为等边三角形，又E为AD中点ADBE ,PAAD E为AD中点ADPE ,BE PE 平面PBE，BEPEEAD 平面PBE 又PB 平面PBEADPB （2）以E为原点，可建立如图所示空间直角坐标系： 由题意知：2,1ADABAE， 22 3PEPAAE ， 22 3BEPBPE 则 0,0, 3 ,0, 3,0 ,1,0,0 ,2, 3,0PBDC 0, 3,3 ,1,0, 3, 3 0,1,PBDPDC 设平面PDC的法向量 , ,nx y z 30 30 DP nxz DC nxy ，令3x ，则 1,1yz 3,1, 1

13、n 设直线PB与平面PDC所成角为. 2 310 sin 565 PB n PB n 即直线PB与平面PDC所成角的正弦值为： 10 5 . 19.：（1）由频率分布直方图可知，质量指标值不小于 85的产品中， 85,90)k 的频率为0.08 ； 90,95)k 的频率为0.04 ； 95,100k 的频率为0.02 . 故利用分层抽样的方法抽取的 7 件产品中， 85,90)k 的有 4件， 90,95)k 的有 2 件， 95,100k 的有 1 件. 从这 7 件产品中任取 3 件，质量指标值 90,95)k 的件数X的所有可能取值为0,1,2，则 03 25 3 7 2 (0) 7

14、C C P X C ； 12 23 3 2 4 (1) 7 C C P X C ； 21 25 3 7 1 (2) 7 C C P X C . 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 故 2416 012 7777 EX . （2）设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为 p ，则根据频率分布直方图可得 1(0.040.02)50.7p ， 则 333 3 ( )1(1)10.310.0270.973P ACp . （3）由题意可得该产品的质量指标值k与对应概率如下表所示(1 4)t ； 质量指标值k k 9k 8k 8k 75k 利润 y t e t 3t 5t

15、 3t P 0.3 0.4 0.15 0.1 0.05 故每件产品的利润0.30.430.1550.1 t yettt 3 0.050.3e1.5 t tt ， 则0.31.50.35 tt yee ，令0y，则ln5t ， 故当 ln5t时，0y ，当 (ln5,4)t 时， 0y ， 所以当ln5t 时， y 取得最大值， ln5 max 0.3e1.5ln5y 1.5( 1 ln5)1.5 0.60.9 （元）. 所以当ln51.6t 时，每件产品的利润取得最大值，为 0.9元. 由已知，该生产线的年产量为 100万件，所以该生产线的年盈利的最大值为 0.910090(万元）. 20.（

16、1）由题意知， 12 ,0 ,0FcF c 双曲线方程知，其渐近线方程为： 2 2 yx 焦点 1 F到双曲线渐近线距离： 3 33 c d ，解得：1c 由椭圆离心率 2 2 c e a 得：2a 222 1bac 椭圆C的方程为： 2 2 1 2 x y （2）原点O到直线距离为： 2 2 5 5 1 m k ，整理得： 22 4 1 5 mk 设 1122 ,A x yB xy 由 2 2 1 2 x y ykxm 得： 222 124220kxkmxm 则 2222 164 12220k mkm，即： 22 210km 22 1 2 221 4 , 12 22 12 km xxx kk

17、 m x 以AB为直径的圆过点2 F 22 0AFBF 又 2 1,0F 211222 1,1,AFxyBFxy 221212121212 111AFBFxxy yxxx xkxmkxm 22 222 1212 22 221 41 1111 1212 mk km km kx xkmxxmm kk 2 2 341 0 12 mkm k 即： 2 3410mkm 由 22 2 4 1 5 3410 mk mkm 且0k 得： 1 2 1 k m ，满足 22 210km 直线l方程为： 1 1 2 yx 21.（1） f x的定义域为0,， 22 111a x fxa xxx ， 当0a 时， f

18、 x在0,1上递减，在1,上递增，所以 f x在1x 处取得极小值， 当0a 时， 0f x ，所以无极值， 当0a 时， f x在0,1上递增，在1,上递减，所以 f x在1x 处取得极大值. （2）设 2ln2h xf xxx ，即 l221 2 n a xx x h xa， 222 2 212212 1 12 0 xaxaaa h x xx xxa x xx . 若0a ，则当 0,1x时， 0,h xh x 单调递减，当1,x时， 0,h xh x 单调递增， h x至多有两个零点. 若 1 2 a ，则 0,0h xx（仅 10 h ）. h x单调递增， h x至多有一个零点. 若

19、 1 0 2 a，则021a ，当0, 2xa或1,x时， 0,h xh x单调递增；当 2 ,1xa 时， 0,h xh x 单调递减，要使 h x有三个零点，必须有 20 10 ha h 成立. 由 10h，得 3 2 a ，这与 1 0 2 a矛盾，所以 h x不可能有三个零点. 若 1 2 a ，则21a.当0,1x或2 ,xa 时， 0h x， h x单调递增；当1, 2xa 时， 0,h xh x 单调递减，要使 h x有三个零点，必须有 10 20 h ha 成立， 由 10h，得 3 2 a ，由221ln210haaa 及 1 2 a ，得 2 e a ， 3 22 e a

20、. 并且，当 3 22 e a 时， 22 01,2aee ， 22222 422452410h eea eeeee ， 22222222 22326370h eea eeeeee . 综上，使 h x有三个零点的的取值范围为 3 , 22 e . 22.（1）由曲线C的参数方程为 cos sin1 x y 得曲线C的直角坐标方程为： 2 2 11xy， 所以极坐标方程为 2222 cossin2 sin0即 2sin （2）将 6 代入2sin 中有1 M ，即1OM ， 将 3 代入2sin 中有 3 N ，即 3, 366 MOONN， 余弦定理得 222 2cos1 6 MNOMONOMON，1MN 23.（1）由柯西不等式得 2 2222 11 ( 3 )1()13 33 xyxy 222 4 3() 3 xyxy，当且仅当3xy时取等号 22 3 3 4 xy； （2） 1111 ()2224 yxyx xy xyxyxyxy ， 要使得不等式 11 |2|1|aa xy 恒成立，即可转化为| 2|1| 4aa ， 当2a 时，421a ，可得 5 2 2 a， 当12a 时，34，可得12a ， 当1a 时，214a ，可得 3 1 2 a ，a的取值范围为： 3 5 , 2 2 .