【秋季课程北师大版初二数学】第12讲：求解二元一次方程组_学案

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1、 二元一次方程组 通过对本节课的学习，你能够： 理解并掌握二元一次方程组的概念及其解. 能够选择合适的解法求解二元一次方程组. 概 述 第 3 讲 二元一次方程组二元一次方程组 知识点一知识点一 二元一次方程组定义二元一次方程组定义 学习目标：了解掌握二元一次方程组的定义，能区分识别二元一次方程，掌握二元一次方程解 的概念。 基本定义：基本定义： 1.二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的次数都是 1 的整式方程，叫二元一 次方程。 2.二元一次方程组定义： 两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程， 叫二元一次方程组。 3.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个

2、未知数的值，叫做二元一次方 程的解。 4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 例 1给出下列方程： 1 27 2 x， 1 27 2 x，10 xy ，xy， 11 1 xy 其中是二元一次方程的 有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 例已知方程 2 18 (3)(24)16 nm mxny 是二元一次方程，求m，n的值. 例 3二元一次方程 5a11b21（ ） A有且只有一解 B有无数解 C无解 D有且只有两解 例 4李聪同学拿 10 元钱去购买圆珠笔和笔记本，已知圆珠笔 1 元钱一支，笔记本 2 元钱一本.问李聪同学 共有几种不同的

3、购买方法? 例 5下列方程组中，是二元一次方程组的是( ) A 4 237 xy xy ， B 2311 546 ab bc ， C 2 9 2 x yx ， D 2 8 4 xy xy ， 例已知方程组 25 4 xby axy ， 的解为 3 1 x y ， 求ab的值 1已知 2 1 x y ， 是关于x，y的二元一次方程组 2(1)y2 xy1 xm n ， 的解，试求 2014 (m n)的值 2写出一个以 1 7 x y ， 为解的二元一次方程组 知识点二知识点二 求解二元一次方程组求解二元一次方程组 过关指南：理解代入消元和加减消元法，熟练运用两种方法求解二元一次方程组的解 2.

4、1 代入消元法解方程组代入消元法解方程组 把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来， 再代入另 一个方程，实现消元，进而求得二元一次方程组的解的方法，叫代入消元法。 代入消元法解方程组的步骤： 变形；代入；解方程；求值. 用代入消元法解方程组： 4 316. xy xy ， 1用代入法解方程组 342 25 xy xy ， 时，下列最合适的变式是( ) A由(1)，得 24 3 y x B由(1)，得 23 4 x y C由(2)，得 5 2 y x D由(2)，得 y2x5 2用代入消元法解方程组： 31 328. xy xy ， 3已知关于x，y的方程组 3

5、 5 xy axby ，与21 7 bxay xy ， 同解，求 b a 的值 2.2 加减消元法解方程组加减消元法解方程组 当二元一次方程组中的两个方程中同时含有一个未知数的系数相反或相等时， 把这两个方程的 两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数， 得到一个一元一次方程， 这种方法叫加减消元法。 加减消元法解方程组的步骤： 变形；加减；解方程；求值. 用加减消元法解方程组： 56 364. ab ab ， 1对于方程组 4719 4517 xy xy ， 用加减法消去x，得到的方程是（ ） A2y2 B2y36 C12y2 D12y36 2 若二元一次方程23xy，32xy和21xmy

6、有公共解，则m取值为（ ） A2 B1 C3 D4 3用加减消元法解方程组： 1 319 3 1 311. 3 xy xy ， 4 如果二元一次方程组 4 xya xya ， 的解是二元一次方程35282xy的一个解， 那么a的值是 （ ） A3 B2 C7 D8 5小明和小华同时解方程组 5 213 mxy xny ， 小明看错了m，解得 7 2 2 x y ， 小华看错了n，解得 3 7 x y ，你 能知道原方程组正确的解吗？ 知识点三知识点三 二元一次方程组的应用二元一次方程组的应用 学习目标：能根据实际问题或是已知条件找到等量关系，列出二元一次方程组，正确的求解方 程组的解，解决各类

7、实际问题 1甲种电影票每张 20 元，乙种电影票每张 15 元若购买甲、乙两种电影票共 40 张，恰好用去 700 元， 则甲种电影票买了_张 2小颖家离学校 1200 米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路她去学校共用了 16 分钟假设小颖上 坡路的平均速度是 3 千米时，下坡路的平均速度是 5 千米时若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了 y 分钟，根据题意可列方程组为（ ） A 351200 16 xy xy ， B 35 1.2 6060 16 xy xy ， C 351.2 16 xy xy ， D 351200 16 xy xy ， 3现有含盐 20与含盐 8的两种盐水，若配制成含盐 1

8、5的盐水 300 千克，则两种盐水各取多少千克？ 若设取含盐 20的盐水 2 千克，含盐 8的盐水 y 千克，则下列方程组正确的是( ) A 300, 20%8%300 xy xy B 300, 20%8%300 15% xy xy C 300, 20%8%300 (1 15%) xy xy D 300 15%, 20%8%300 xy xy 4甲、乙两数的和是 20，甲数的 3 倍与乙数的 2 倍相等，求甲、乙两数若设甲数为x，乙数为y，在下 列方程组： 20 3220 xy xy ， ； 20 32 xy xy ， ； 20 320 xy xy ， ； 20 2 32 yx y x ， 中

9、，正确的是（ ） A B C D 5小明的妈妈在菜市场买回 3 斤萝卜、2 斤排骨，准备做萝卜排骨汤妈妈：“今天买这两样东西共花了 45 元，上月买同质量的这两样东西只要 36 元”爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨了 50，排骨的单价上 涨了 20”小明： “爸爸、 妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少”请你通过列方程 （组） 求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元斤） 6 甲、 乙两件服装的成本共 500 元， 商店老板为获取利润， 决定将甲服装按 50%的利润定价， 乙服装按 40 的利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共获利 157 元，求甲、乙

10、两 件服装的成本各是多少元. 7某校为绿化校园，计划购买 13600 元的树苗，并且希望这批树苗的成活率为 92已知：甲种树苗每株 50 元，乙种树苗每株 10 元；甲、乙两种树苗的成活率分别为 90和 95求：甲、乙两种树苗各购多少 株？ 8甲乙两人分别以均匀的速度在周长为 600 米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两人反向运动时，每 15 秒相遇一次，当两人同向运动时每 1 分钟相遇一次，求两人的速度. 9甲、乙两人去商店买东西，他们所带钱数之比是 76，甲用掉 50 元，乙用掉 60 元，两人余下的钱数之 比是 32，则甲、乙两人余下的钱数分别是_ 10一个两位数，个位数字比十位数字大

11、 4，如果把这个两位数的十位数字、个位数字对调，那么所得的新 数与原数的和是 154，求原来的两位数 11如图所示，在ABC中，90C，AD、BE 是中线，AD=5，BE=40求 AB 的长 12一副三角板按如图方式摆放，且1的度数比2的度数大 50 ，若设1x ， 2y ，则可得到方程组为 13如图，10 块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为 x厘米和y 厘米， 则依题意列方程组 A C E B D 14如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 1 3 ，另一根 露出水面的长度是它的 1 5 两根铁棒长度之和为220cm，此时木桶中

12、水的深度是 cm 知识点四知识点四 二元一次方程与一次函数二元一次方程与一次函数 学习目标： 理解方程组的解与两个一次函数交点的关系，并能通过两者的关系判断未知参数的 取值。 4.1 二元一次方程组与一次函数二元一次方程组与一次函数 例 1下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程22xy的解是( ) A B C D 例 2如图，一次函数 11 yk xb的图象 1 l与 22 yk xb的图象 2 l相交于点P，则方程组 11 22 yk xb yk xb 的解是( ) 2 3 x y 2 x y 3 x y 2 3 x y 2 3 1以方程35xy的解为坐标的所有点组成的图形是直

13、线( ) A. 35yx B. 35yx C. 35yx D. 35yx 2二元一次方程组 24, 2312 xy xy 的解即为函数_与函数_的图像交点的坐标. 3在同一平面直角坐标系中， 若一次函数3yx 与3yx 的图象交于点M， 则点M的坐标为 （ ） A（1，4） B（1，2） C（2，1） D（2，1） 4图中两直线 1 l， 2 l的交点坐标可以看作方程组( )的解 A 1 21 xy xy B. 1 21 xy xy C 3 21 xy xy D. 3 21 xy xy 已知两条直线 111 a xb yc和 222 a xb yc，当 1 2 a a 1 2 b b 时，方程

14、组 111 222 a xb yc a xb yc ， ， 有唯一解?这两 条直线相交?你知道当 1 a， 2 a， 1 b， 2 b， 1 c， 2 c分别满足什么条件时，方程组 111 222 a xb yc a xb yc ， ， 无解?无数 多组解?这时对应的两条直线的位置关系是怎样的? 4.2 用二元一次方程组确定一次函数表达式用二元一次方程组确定一次函数表达式 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1用含字母的系数设出一次函数的表达式： bkxy()0k ； 2将已知条件代入上述表达式中得 k，b 的二元一次方程组； 3解这个二元一次方程组得 k，b，进而得到一次函数的表

15、达式 例 1小明暑假第一次去北京汽车驶上 A 地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是 95 千米/时已知 A 地直达北京的高速公路全程 570 千米，小明想知道汽车从 A 地驶出后，距北京的路程和汽 车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离若设汽车在高速公路上行 驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，求s与t的函数关系式 例 2某跨江大桥的收费站对过往车辆都要收费，规定大车收费 60 元，小车收费 50 元，若某天过往的大、 小车辆为 3000 辆，求所收费用y与小车x（辆）之间的函数关系及x的取值范围 例 3某地区电话的月租费为 25 元，可打

16、50 次电话（每次 3 分钟），超过 50 次后，超过的部分按每次 0.2 元收费， (1)写出每月电话费y（元）与通话次数x（x50）的函数关系式； (2)求出月通话 150 次的电话费; (3)如果某月通话费 53.6 元，求该月的通话次数. 例 4如图，四边形 OABC 是矩形，点 O 是平面直角坐标系的原点，点 A、C 分别在x、y轴 上，点 B 的坐标是（3，4），则直线 AC 的函数表达式是( ) A 4 y3 3 x B 4 y4 3 x C 3 y3 4 x D 3 y4 4 x 1如图是温度计的示意图，左边的刻度表示摄氏温度，右边的刻度表示华氏温度，华氏（0F）温度y与摄氏温

17、度 （0C）x之间的函数关系式为( ) A 9 32 5 yx B40yx C 5 32 9 yx D 5 31 9 yx 2随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧 3 /yg m与大气压强xkPa成正比 例关系.当36xkPa时， 3 108 /yg m，则y与x之间的函数关系式为_ 3旅客乘车按规定可携带一定重量的行李，如果超过规定则需购行李票，设行李费y（元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示 （1）求y与x之间的函数关系式；（2）旅客最多可免费携带多少千克行李？ 4从、两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水 15 万吨，乙地需水 13 Ox/千克 y

18、/元 6090 10 5 万吨，、两水库各可调出水 14 万吨从地到甲地 50 千米，到乙地 30 千米；从地到甲地 60 千米， 到乙地 45 千米设计一个调运方案使水的调运量（万吨 千米）最少 5为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按照一定的关系科学设计的小明对学校所添置的一批 课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度于是，他测量了一套课桌、凳上对应四档 的高度，得到如下数据见下表： 第一档 第一档 第一档 第一档 凳子高 x（） 37.0 40.0 42.0 45.0 桌子高 y（） 70.0 74.8 78.0 82.8 小明经过对数据探究，发现桌高y是凳高x的一次

19、函数，请你写出这个一次函数的关系式（不要求写出 x的取值范围） 小明回家后测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为 77 厘米，凳子的高度为 435 厘米，请你判 断它们是否配套，并说明理由 知识点五知识点五 三元一次方程组三元一次方程组 学习目标: 会利用消元法将三元一次方程组转化成二元一次方程组进行求解未知数的值 档次 高度 解方程： 6 2311 32; xyz xyz xyz ， ， 2316 . 342 xyz xyz ， 1已知2354xyz，3247xyz，231xyz，那么代数式xyz的值是（ ） A23 B24 C25 D26 2已知 370 (0) 240 xyz xyz xyz ， ，则:x y z _.