【秋季课程北师大版初二数学】第16讲:平行线的证明_学案
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1、 平行线的证明 通过对本节课的学习,你能够: 能够熟练应用平行线的判定及性质. 能够综合应用所学知识解决问题. 第 16 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长(分钟) 120 知识点 检验数学结论的常用方法 定义和命题 利用“三线八角”判定两直线平行 综合运用平行线判定方法证明两直线平行 平行线的性质的应用 平行线判定与性质的综合应用 平行线的实际应用与探究题 教学目标 1、理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明,理解幵掌握应用实验进行证明、举反例 验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法. 2、公理、定理的概念. 3、通过经历利用平行线第一个判定定理
2、简单论证平行线的另两个判定定理的过程,进一步 掌握平行线的判定方法,领悟归纳和转化数学思想方法. 4、经历证明平行线性质的过程,进一步掌握平行线的性质,幵了解证明的方法与步骤,体会 论证的科学与严谨. 教学重点 1、在观察实验的基础上进行平行线定理的推导. 2、数学证明平行线的性质. 教学难点 1、证明平行线的判定定理. 概 述 2、运用严谨、科学的方法进行数学证明. 【知识导图】【知识导图】 如下图,先观察,再验证. (1)图(1)中,三角形的边是直的还是弯曲的? (2)图(2)中,两条线段 a 与 b 哪一条更长? (3)图(3)中,直线 AB 与直线 CD 平行吗? _ 平行线的证明平行
3、线的证明 证明的必要性证明的必要性 定义与命题定义与命题 平行线的证明与性质平行线的证明与性质 二、知识讲解 一、导入 考点 1 证明的必要性 教学过程 上图中 (1)三角形的边是直的;(2)a 和 b 一样长.(3)AB 和 CD 是平行的. 理由: (1)受周围同心圆的影响,容易把三角形的边看成是弯曲的,但用直尺验证的结果是直的. (2)受两边斜线的影响,容易看成线段 a 比线段 b 长,验证后发现 a 和 b 一样长. (3)受两条直线上斜线的影响,容易看成 AB 和 CD 不平行,验证后发现 AB 和 CD 是平行的. 结论:(1)通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确?怎样判断一个
4、结论是否正确呢? (2)总结:实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确,因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅 依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明. (1)公理:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公 理. 例如:“两点之间线段最短”,“三边分别相等的两个三角形全等”,“过直线外一点,有且只有一条直线与已 知直线平行” (2)定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理. 定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据. 一、1.证明一. (1)出示定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简述为:内
5、错角相等,两直线 平行. (2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言,谁能说一说,怎么转化? 考点 3 平行线的判定与性质 考点 2 定义与命题 (画出两条直线 a、b,被第三条直线 c 所截,标出内错角1、2,表示如果1=2,那么 ab) (3)怎么证明呢?请写出完整的证明过程. 已知:如图,1 和2 是直线 a,b 被直线 c 截出的内错角,且1=2. 求证:ab. 证明:1=2(已知),1=3(对顶角相等),3=2(等量代换).ab(同位角相等,两直线平行). 2.证明二. (1)出示定理:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简述为:同旁内角互补,两 直线平
6、行. (2)让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二. (3)讨论:要由同旁内角互补证明两直线平行,要怎么证明? (我们知道有定理“同位角相等,两直线平行”,如果能由同旁内角互补推出同位角相等,那么根据已有的这个 定理就能证明出两直线平行) (4)学生板书证明过程. 3.变式训练,培养能力.(出示投影) (1)如图 1 所示,由DCE=D,可判断哪两条直线平行?由1=2,可判断哪两条直线平行? (2)如图 2,已知1=45,2=135,l1l2 吗?为什么? 学生活动:学生思考后回答问题.教师给以指正并启发、引导得出各种答案. 二、 1.证明:两直线平行,同位角相等. (1)引导学生画出两条平
7、行线(说一说:平行线怎么画?)被第三条线所截,并标出同位角,如图所示: (2)用几何语言描述这样的证明题. 已知:直线 ABCD,1 和2 是直线 AB,CD 被直线 EF 截出的同位角.求证1=2. (3)尝试证明. 思考:如果直接进行证明的话,难以找到能够作为依据的相关事实、定理,该怎么办?(提示学生可以用反证法, 假设结论错误,再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方,说明假设不成立,从而得证.) 提问:如果12,那么是否存在另外一条直线,它被第三条直线所截的2 的另一同位角1,有1=2 呢?(有) 如果有,是否意味着这条直线和 CD 平行?(是的,同位角相等,两直线平行) 这条直
8、线可以是任意一条,也就是说我们可以过 M 点(AB 与 EF 相交于点 M)画这样的一条直线,此时我们发 现过 M 点有两条直线与 CD 平行,这可能吗?(不可能,过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行) 这样看来假设不能成立,说明什么?(1=2) (4)学生根据讨论、交流,板书证明过程. 证明:假设12,那么我们可以过点 M 作直线 GH,使EMH=2,如图所示. 根据“同位角相等,两直线平行”,可知 GHCD. 又因为 ABCD,这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明12 的假设不
9、成立,所以1=2. 2.证明:两直线平行,内错角相等. (1)已知:如图,直线 l1l2,1 和2 是直线 l1,l2 被直线 l 截出的内错角. 求证:1=2. (2)尝试证明. 提示:我们已经证明了两直线平行,同位角相等,可以将这个作为基本的事实(定理),进行论证.在证明时,通过构 建新角等方法,尽可能应用到已有的定理,从而进行论证. 板书证明过程: 证明:l1l2(已知), 1=3(两直线平行,同位角相等). 又2=3(对顶角相等), 1=2(等量代换). 3.证明:两直线平行,同旁内角互补. 学生已有了相关证明的经验,放手让学生自我证明,再全班交流,集体订正. 4.师:请你对比这些平行
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