【秋季课程北师大版初二数学】第1讲：探索勾股定理_学案

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1、 探索勾股定理 通过对本节课的学习，你能够： 了解勾股定理的探索过程,增强记忆. 应用勾股定理求直角三角形边长. 能够用面积法验证勾股定理. 第 1 讲 1. 定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边 和斜边，那么 a2b2c2. 2. 勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角三角形三边关系 3. 数学表达式：在 RtABC 中，C90，ABc，ACb，BCa，则 a2b2c2. 4. 由勾股定理的基本关系式：a2b2c2可得到一些变形关系式：变形关系式： c2a2b2(ab)22ab(ab)22ab；a2c2b2(cb)(cb)等

2、 利用勾股定理求直角三角形边长的方法：利用勾股定理求直角三角形边长的方法： 一般都要经过“一分二代三化简”“一分二代三化简”这“三步曲”：即一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；二 代：代入 a2b2c2；三化简 典例精析典例精析 1. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为 a，b，斜边长为 c，则下列关于 a，b，c 的关系式中不正确的是 ( ) Ab2c2a2 Ba2c2b2 Cb2a2c2 Dc2a2b2 2. (中考淮安)如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A，B 都是格 点，则线段 AB 的长度为( ) A5 B6 C7 D25

3、 与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和两直角边上图形面积的和 等于斜边上图形的面积等于斜边上图形的面积 典例精析典例精析 1. 新疆如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积 S1 25 8 ， S2 2，则 S3_ 知识讲解 考点 2 勾股定理与图形的面积 考点 1 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2. 如图，字母 B 所代表的正方形的面积是( ) A12 B13 C144 D194 3. 如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 3 和 4，则 b 的面积为( ) A16

4、 B12 C9 D7 1. 常用方法：通过拼图法利用求面积来验证这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，以各 部分面积之间的关系为依据而达到目的的 2. 用拼图法验证勾股定理的思路： (1)图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； (2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； (3)利用等式性质验证结论成立等式性质验证结论成立，即拼出图形写出图形面积的表达式找出等量关系恒等变形推导结拼出图形写出图形面积的表达式找出等量关系恒等变形推导结 论论 典例精析典例精析 1.历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的边 AE，EB 在一

5、条 直线上，其中用到的面积相等的关系式是( ) ASEDASCEB BSEDASCEBSCDE CS 四边形 CDAES 四边形 CDEB DSEDASCDESCEBS 四边形 ABCD 2如图是一张直角三角形纸片，两直角边 AC6 cm，BC8 cm，现将ABC折叠， 使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为( ) A4 cm B5 cm C6 cm D10 cm 3.(中考绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙 时，梯子底端到左墙脚的距离为 0.7 m，顶端距离地面 2.4 m如果保持梯子底端 位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 2 m，则小巷的宽度

6、为( ) 考点 3 验证勾股定理 A0.7 m B1.5 m C2.2 m D2.4 m 3. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，ABC 在网格中， 顶点均为格点求点 A 到直线 BC 的距离 4. 如图，AD 是ABC 的中线，试说明 AB2AC22(AD2CD2) 类型一 勾股定理的探索 如图，RtABC 中，C=90，若 AB=15cm，则正方形 ADEC 和正方形 BCFG 的面积和为（ ） A150 2 cm B200 2 cm C225 2 cm D无法计算 【解析】 例题 1 【总结与反思】 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其

7、中最大的正方形的边长 为 7cm，则所有正方形的面积的和是（ ） 2 cm A、28 B、49 C、98 D、147 【解析】 【总结与反思】 类型二 利用勾股定理求边长 在 RtABC 中，C90，a12，b16，则 c 的长为（ ） A.26 B.18 C.20 D.21 【解析】 【总结与反思】 例题 1 例题 2 如图， 在四边形ABCD中， BAD=DBC=90， 若AD=4cm， AB=3cm， BC=12cm， 则四边形ABCD的面积 【解析】 【总结与反思】 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=12，BC=5，点 E 在 AB 上，将DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角

8、线 BD 上的 点 A处，则 AE 的长为（ ） A、 3 10 B、3 C、5 D、 3 8 【解析】 【总结与反思】 类型三 勾股定理的验证 数学实验室： 实验材料：硬纸板、剪刀、三角板 实验方法：剪裁、拼图、探索 例题 1 例题 2 实验目的：验证勾股定理，拼图填空： 操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为 a、b、c，如图。 （1）拼图一：分别用 4 张直角三角形纸片，拼成如图、图的形状，观察图、图可发现，图中两 个小正方形的面积之和 图中小正方形的面积，（填“大于”“小于”“等于”）用关系式可表示为 （2）拼图二：用 4 张直角三角形纸片拼成如图的形状，观察图形可以发现，

9、图中共有 3 个正方形，它们 的面积按大小顺序分别记为 小中大 ，SSS ，其关系是 ，用 a、b、c 可表示 为 . （3）拼图三：用 8 张直角三角形纸片拼成如图的形状，图中 3 个正方形的面积按大小顺序分别记为 小中大 ，SSS ，其关系是 ，用 a、b、c 可表示为 . 【解析】 【总结与反思】 1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 5 米，消防车的云梯最大升 长为 13 米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（ ） A12 米 B13 米 C14 米 D15 米 2.把直角三角形的两直角边均扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的( ) A8 倍 B4

10、倍 C2 倍 D6 倍 3.一直角三角形的斜边比一直角边大 4，另一直角边长为 8，则斜边长为（ ） A6 B8 C10 D12 4.若一个直角三角形的三边长分别为 a，b，c，且 a2=9，b2=16，则 c2 为（ ） A25 B7 C7 或 25 D9 或 16 5.如图，将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形 A 的边长为 4，C 的边长为 3，则 B 的边长为 四 、课堂运用 基础 1.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为 800 cm2，则斜边长为 2.已知三角形 ABC 中C=90，AC=3，BC=4，则斜边 AB 上的高为 3.已知直角三角形的斜边为 20c

11、m，两条直角边之比为 34，那么这个直角三角形的周长为（ ） A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 1.在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正放 置的四个正方形的面积依次是 1 S 2 S, 3 S, 4 S，则 4321 SSSS 2.已知 RtABC 中，C=90，a+b=14，c=10，则 RtABC 的面积是（ ） A、24 B、36 C、48 D、60 巩固 拔高 3.如图，矩形 ABCD 中，AB12cm，BC24cm，如果将该矩形沿对角线 BD 折叠，那么图中阴影部分BDE 的 面积 cm2 1

12、如图：一个长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm 的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ） A11cm B12cm C13cm D14cm 五 、课堂小结 基础 六 、课后作业 2.如图，有两棵树，一棵高 10m，另一棵高 4m，两树相距 8m一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树 尖，那么这只小鸟至少要飞行 m 3.已知直角三角形斜边长为 12 ，周长为 30 ，则此三角形的面积为 . 1.已知ABC 中，ABAC，CDAB 于 D. （1）若A38，求DCB 的度数； （2）若 AB5，CD3，求 BC的长. B A C D 巩固 2.如图， 以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第

13、 2 个等腰直角三角形 1 ABA， 再以等腰直角三角形 1 ABA 的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 11BB A，如此作下去，若 OA=OB=1，则第 n 个等腰直角三 角形的面积 n S= 3.如图所示， 直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为 1 S、 2 S、 3 S， 则 1 S、 2 S、 3 S的关系是 （ ） A、 1 S+ 2 S= 3 S B、 222 123 SSS C、 222 123 SSS D、 222 123 SSS 1. 如图， 1.如图， 折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处， 已知AB = 8cm， BC = 10 cm， 则EC的长为 cm 2.等腰三角形的腰长是 10，一腰上的高为 6，则底边的平方为（ ） A40 B80 C40 或 360 D80 或 360 3.如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是 拔高