【BSD版秋季课程初二数学】第13讲：应用二元一次方程组_教案

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1、 应用二元一次方程组 第 13 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 鸡兔同笼 增收节支 里程碑上的数 教学目标 1、应用二元一次方程组解决实际问题 2、在解决实际问题的过程中,能用方程组这样的数学模型刻画现实世界. 教学重点 在实际问题中找等量关系,列方程组. 教学难点 在实际问题中找等量关系,列方程组. 【教学建议教学建议】 本节课主要是应用二元一次方程组解决实际问题，因此应该注意分析题意，理解题目中的数量关系， 弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,等量关系是什么. 【知识导图】【知识导图】 应用应用二元一次方程组二元一次方程组

2、鸡兔同笼鸡兔同笼 增收节支增收节支 里程碑上的数里程碑上的数 概 述 在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累 死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮 2 个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿 来一个，我的包裹就是你的 2 倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知 识帮助小马解决问题呢？ 一、审题.理解题意.弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么. 设元（未知数）.直接未知数间接未知数（往往二者兼用）.一般来说,未知数越多,方程越易列,但 越难解. 用含未知数的代数式表示相关

3、的量. 寻找相等关系（有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出）,列方程.一般地,未知数个数 与方程个数是相同的. 解方程及检验. 二、1.列方程组解决实际问题的一般步骤：一审；审_,找_;二设：设未知数，可直接设元， 也可以_;三列：根据题目中的_列方程组；四解:解方程组；五验：检验解的正确性和是否符 合_,六答。 类型一 鸡兔同笼 1.上面的问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮 x 个包裹，小马驮 y 个包裹， 老牛的包裹数比小马多 2 个，由此得方程 x-y=2，若老牛从小马背上拿来 1 个包裹，这时老牛的包裹是小 二、知识讲解 一、导入 三 、例题精析 教

4、学过程 马的 2 倍， 得方程：x+1=2(y-1) ) 1(21 2 yx yx 解得： 5 7 y x 因此老牛驮 7 个包裹，小马驮 5 个包裹. 2.某校团支部发出为贫困地区捐款的倡议后，全校师生奉献爱心，踊跃捐款，已知全校师生共捐款 45000 元，其中学生捐款数比老师捐款数的 2 倍少 9 千元，该校老师和学生各捐款多少元？ 【解析】解：设老师捐款 x 元，学生捐款 y 元则有 45000 90002 yx xy 解得： 27000 18000 y x 答：该校老师捐款 18 000 元，学生捐款 27 000 元 【总结与反思】从问题出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问

5、题. 类型二 增收节支 某 工 厂 去 年 的 利 润 为 200 万 元 ， 今 年 总 产 值 比 去 年 增 加 20%， 总 支 出 比 去 年 减 少 10%， 今 年 的 利 润 为 780 万 元 ， 问 ： 去 年 的 总 支 出 、 总 产 值 各 是 多 少 万 元 ？ （ 利 润 =总 产 值 -总 支 出 ） 【解析】 解：设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，根据题意得： 780%)101 (%)201 ( 200 yx yx ，解得 1800 2000 y x ， 答：去年的总产值为 2000 万元，总支出为 1800 万元 【总结与反思总结与反思】从问题

6、出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问题. 类型三 里程碑上的数 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9，如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原 两位数大 27，求这个两位数。 【解析】解：设这个两位数的个位为 x，十位为 y，由题意得： 10y+x=x+y+9 10 x+y=10y+x27 解得 4 1 x y 这个两位数为 14. 【总结与反思】分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问题. 1.根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是( ) 四 、课堂运用 基础 A51 元 B35 元 C8 元 D 7.5 元 2.在社会主义新农村建设中，某村积极响应党的号召，大

7、力发动农户扩大烟叶和蔬菜的种植面积，取得了 较好的经济效益，今年该村烟叶和蔬菜的种植面积比去年增加了 800 亩，其中烟叶种植面积增加了 20%，蔬 菜种植面积增加了 30%，从而是该村的烟叶和蔬菜种植面积共达到了 4200 亩，问该村去年种植烟叶和蔬菜 的面积各是多少亩？ 3.一列快车长 70 米，慢车长 80 米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为 20 秒. 若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4 秒，求两车每秒钟各行多少米？ 如图 1： 图 1 若设快车每秒钟行x米，慢车每秒行y米. 根据题意填空： （1）若同向而行，经过 20 秒快车行驶路程比慢车行驶路程多_

8、米，可列方程_. （2）若相向而行，两车 4 秒钟共行驶_米，可列方程_. （3）由以上可得方程组_，解得_. 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】由上图找出等量关系建立方程进而解决问题. 设水瓶和杯子的单价分别为 x 元,y 元，则 9432 43 yx yx 解方程即可求得. 2. 【答案】解：设该村去年种植烟叶和蔬菜面积各为 x 亩,y 亩.(分) 根据题意有: x+y=4200-800 20%x+30%y=800 . 解得:. x=2200 y=1200 答:该村去年种植烟叶和蔬菜的面积各是 2200 亩,1200 亩. 【解析】从问题出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而

9、解决问题. 3. 【答案】1.（1）150，,20 x-20y=150； （2）150,4x+4y=150； （3） 20 x-20y=150 4x+4y=150 ， x=22.5 y=15 【解析】从追上到完全离开,追击路程等于两车长之和；从相遇到离开，两车共行驶路程等于两车长之和. 1.用 8 块相同的矩形地砖拼成一块大的矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长 与宽 2.某市现有 42 万人口，计划一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加 1.1%，这样全市人口将增加 1%，求 这个市现在的城镇人口与农村人口？ 设城镇人口是 x 万，农村人口是 y 万，根据题意填写下

10、表，并列出方程组求 x、y 的值. 城镇 农村 全市 现有人数（万人） x y 42 一年后增加人口（万人） 3.A 市至 B 市航线长 1 20 0 km，一架飞机从 A 市顺风向飞往 B 市需 2 小时 30 分，从 B 市逆风向飞往 A 市需 3 小时 20 分求飞机的速度与风速 巩固 答案与解析答案与解析 1.【答案】 解：设每块地砖的长为 xcm，宽为 ycm， 根据题意得 yx yx 3 60 ， 解这个方程组，得 15 45 y x ， 答：每块地砖的长为 45cm，宽为 15cm； 【解析】由上图找出等量关系建立方程进而解决问题 2. 【答案】1. 解：设这个城市现有城镇人口和

11、农村人口分别是 x 万，y 万 则方程组 %142%11%8 . 0 42 yx yx ，解得 x=14，y=28 城镇一年后增加人口 0.112 万人，农村一年后增加人口 0.308 万人，全市一年后增加人口 0.42 万人 【解析】从问题出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问题. 3. 【答案】解：设飞机无风时的飞行速度是 xkm/h，风速是 ykm/h,依题意有: 5 x+y1200 2 10 1200 3 xy 解得： 420 60 x y 答：飞机的速度为 420 千米每时，风速为 60 千米每时。 【解析】从问题出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问题. 1.现有

12、190 张铁皮，每张铁皮可制作成 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子， 那么用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 拔高 2.某商店购进甲、乙两种商品后，甲种商品加价 50%，乙种商品加价 40%作为标价，适逢元旦，商场举办促 销活动，甲种商品打八折销售，乙种商品打八五折销售，某顾客购买甲乙两种商品各 1 件，共付款 538 元， 已知商场共盈利 88 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ 3.已知某一铁路桥长 1 000 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用 1 min，整 列火车完全在桥上的时间为 40 s

13、，求火车的长度和速度 答案与解析答案与解析 1.【答案】解：设 x 张做盒身,y 张做盒底,则有盒身 8x 个,盒底 22y 个 x+y=190 8x2=22y 解得 x=110,y=80 即 110 张做盒身,80 张做盒底 【解析】从问题出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问题. 2. 【答案】解：设甲商品的进价为 x 元，乙商品的进价为 y 元，依题意得： x+y+88=538 x 1+50%80%+y 1+40%85%=538 解得： x=250 y=200 答：甲种商品进价为 250 元，乙商品进价为 200 元。 【解析】从问题出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问

14、题. 3. 【答案】解：设火车的速度是 xm/s，火车的长度是 ym 根据题意，得 yx yx 100040 100060 解得: 200 20 y x . 答：火车的速度是 20m/s，火车的长度是 200m. 【解析】行驶路程是解决这道题目的关键，从开始上桥到完全过桥行驶路程=桥长+车长；完全在桥上行驶 路程=桥长-车长. 五 、课堂小结 本节讲了 3 个重要内容： 1 鸡兔同笼 2 增收节支 3 里程碑上的数 本节课与生活实际联系紧密，需要教师授课过程中多分析题意，找出题目中的数量关系，建立方程. 1.年前父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，从现在起 3 年后父亲的年龄成为儿子年龄的 3 倍

15、，求父亲和儿子现 在的年龄 2.张文以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息为 43.92 元，已知当时这两种储蓄方式年利率的和为 3.24%.问这两种储蓄方式的年利率各是百分之几？（公民应交 利息所得税=利息金额20%） 3.甲乙二人在一环形场地上从 A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的 2.5 倍，4min 两人首次相遇，此时 乙还需要跑 300m 才跑完第一圈，求甲乙两人的速度及环形场地的周长。 答案与解析答案与解析 1.【答案】解：设今年父亲 x 岁,儿子 y 岁,依题意,列方程,得:, )3(33 )3(43 yx yx 解,得

16、: 15 51 y x 所以父亲现在的年龄是 51 岁,儿子现在的年龄是 15 岁. 【解析】从问题出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问题. 2. 【答案】解：设两种储蓄的年利率分别是 x、y， 则 92.43%80)10002000( %24. 3 yx yx 解得： %99. 0 %25. 2 y x . 答：两种储蓄的年利率分别是 2.25%，0.99% 六 、课后作业 六 、课后作业 基础 【解析】从问题出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问题. 3. 【答案】.解：设乙的速度为 x 米/秒，则甲的速度为 2.5x 米/秒，环形场地的周长为 y 米，由题意，得 yx

17、yxx 3004 445 . 2 ，解得： 900 150 y x ，甲的速度为：2.5150375 米/分答：乙的速度为 150 米/分， 则甲的速度为 375 米/分，环形场地的周长为 900 米 【解析】本题为环形跑道上的追击问题，追击路程=环形跑道的周长. 1.一张方桌由 1 张桌面和 4 条桌腿做成，已知 1 m 3木料可以做桌面 50 张或桌腿 300 条现有 5 m3木料，恰 好能做成方桌多少张？ 2.某人以两种形式储蓄了 800 元，一种储蓄的年利率为 10%，另一种储蓄的年利率为 11%，一年到期时去提 取，他共得到利息 85 元 5 角，问两种储蓄他共存了多少钱？ 3.小华

18、从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路没分钟走 60m，下坡路每分钟走 80m，上坡路没分钟走 40m，从家里到学校需 10min，从学校到家里需 15min，请问小华家离学校多远？ 答案与解析答案与解析 【答案】解：设桌面用木料 x 立方米，桌腿用木料 y 立方米，则 2 3 300450 5 y x yx yx 解得 50 x=150 答：桌面 3 立方米，桌腿 2 立方米，方桌 150 张。 【解析】本题为配套问题，怎样分配原材料是关键. 2. 【答案】解：设第一种储蓄存钱 x 元，第二种储蓄存钱 y 元，根据题意得： 5 .85%11%10 800 yx yx ,解

19、 之得 550 250 y x ,故第一种储蓄存钱 250 元，第二种储蓄存钱 550 元. 【解析】从问题出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问题. 3. 【答案】解：设平路有 x 米，坡路有 y 米据题意得 15 4060 10 8060 yx yx ，解得 400 300 y x x+y=300+400=700小华家离学校 700 米 巩固 【解析】总路程=平路+下坡路，求出平路和下坡路各自的长度即可. 1.学校书法兴趣小组准备到文具店购买 A、B 两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买 A 型毛笔 不超过 20 支时，按零售价销售；超过 20 支时，超过部分每支比零售价

20、低 0.4 元，其余 部分仍按零售价销 售一次性购买 B 型毛笔不超过 15 支时，按零售价销售；超过 15 支时，超过部分每支比零售价低 0.6 元， 其余部分仍按零售价销售 如果全组共有 20 名同学，若每人各买 1 支 A 型毛笔和 2 支 B 型毛笔，共支付 145 元 ；若每人各买 2 支 A 型毛笔和 1 支 B 型毛笔，共支付 129 元这家文具店的 A、B 两种类型毛笔的零售价各是多少？ 2.甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 50%的利润定价，乙服装按 40% 的利润定价，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共获利 157 元，问

21、甲、乙两件服装的成本各 是多少元？ 3.为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作。某地决 定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭月用电量在 80 千瓦时下（含 80 千瓦时， 一千瓦时俗称 1 度）时，实行“基本电价”，当居民家庭月用电量超过 80 千瓦时时，超过部分实行“提高 电价”。 小张家 2014 年 4 月份用电 100 千瓦时，上缴电费 68 元；5 月份用电 120 千瓦时，上缴电费 88 元，求 “基本电价”和“提高电价”分别是多少。 答案与解析答案与解析 1.【答案】4解：设 A 种毛笔零售价为 x 元，B 种毛笔零

22、售价为 y 元，根据题意得： 129)6 . 0(515)4 . 0(2020 145)6 . 0(151520 yyxx yyx , 解之得 2 . 4 4 . 1 y x , 故 A 种毛笔零售价为 1.4 元；B 种毛笔零售价 4.2 元。 【解析】从问题出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问题. 2. 【答案】解：设甲服装的成本为 x 元，则乙服装的成本为 y 元 157500%)401%(90%)501%(90 500 yx yx 解得 200 300 y x 答：甲服装的成本为 300 元、乙服装的成本为 200 元 拔高 【解析】从问题出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问题. 3. 【答案】解：设“基本电价”为 x 元/千瓦时，“提高电价”为 y 元/千瓦时，根据题意，得 801008068 801208088 xy xy 解之，得 0.6 1 x y 答：“基本电价”为 0.6 元/千瓦时，“提高电价”为 1 元/千瓦时 【解析】从问题出发，分析题意，找出等量关系建立方程进而解决问题. 七 、教学反思