2020年10月数学素养团体赛七年级试题（含答案）

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1、眇甲柙樊 胛溆烬舳呻忙 数学素养综合测试 七年级) 数论模块(共s O分) 1.若 为 质数,p 3+5仍为质数,p 5+7为 A。质数 C。合数 2. 若昭=20202+20202 20212+20212,贝刂 恋 A。是完全平方数,还是奇数 C.不是完全平方数,但是奇数 3.如果u | ,l m l 是质数,且满足3十5彳 1,那么+的值等于 。 4.除以8和 9都余 1的所有三位数的和是 . 5.己 知夕 ,3,c 是三个不相等的正整数,且夕3c 8(夕3+3c +)=0,泔3+c (100,则夕,b ,c 的值分别是 : 6.设 为整数数,若z +5刀+24为两个连续偶数之积,求 刀

2、的值 . 7.1,2,3,98共9g 个数,能够表示成两整数平方差的数有多少个? 8.将1个自然数乘以2加上1,然后把得到的数再乘以2加上1,依此类推,直到这种运算操作重复9020次时 止,最后得到的数能被21整除吗?请说明你的理由. 氵 代数模块(共s O分) l 。己 知25廴2000,802000,则+= j f B。 1 B。可为质数也可为合数 D。既不是质数也不是合数 B,是完全平方数,还是偶数 D。不是完全平方数,但是偶数 ( ) ( ) 却 C。 去 七年级-1 3一 2 D A。2 ( ) 2.当3=1时,关于艿 的方程 夕(32)+3(-3)= 有无数多个解,则纩 C.钅 3

3、. 若轩 3v 冖Cz -0,i r +纱Tz -0(Vz 0),贝刂契L孥LZ廴的 值 为 0艿 2 -3y 2-10z 2 C。 -15 A2 8.已知旷 旷 c 歹1 B.-2D。不存在 D.-13B。 -罟 4. 已知D-泱告,勿2+曰=,刀 阝 么 号 -四的值为 . 5.某贵金属工厂职员误把每克售0.氵3元的贵金属看成每克售0.T3元,他售出3千克后,出纳员发觉工厂损 失了146元,则D的值是 . 6.分解因式:/+艹1绌饵9i r +1。 1_2 7.两车在两城间不断往返行驶:甲车从彳城开出,乙车从B城开出,且比甲车早出发1小时,两车在途中距 , B两城分别为200公里和0公里的

4、C处相遇;相遇后乙车改为按甲车速度行驶,而甲车却提速若干公里/时, 两车恰巧又在C处相遇;然后 甲车再次提速5公里/时 ,乙车则提速50公里/时,两车恰巧又在C处相遇 。 那么 从起行到第3次相遇,乙车共行驶了多少小时?(汽车调头时间不计) 1十夕 4 1+34 1+c 4 1+艿4 1+4 南 的 值 . f 几何模块(共50分) 1.如图,正方形彳BCD和CEFC的边长分别为,刀,那么彳EG的面积的值( A。 与 ,刀的大小都有关 C。只与的大小有关 B.与勿,刀的大小都无关 D。只与 的大小有关 七年级-2 2.如图,在 BC中 ,GCB,z Lz CB=90 ,B=2,C,为 B的 中

5、点,以0为 圆心 ,o 犭为半径作两段弧彳D,BE, C,Do E,则图中阴影部分的面积为 . 3.如图,以B,/DCE的角平分线CC的反向延长线和Z/BE的角平分线BF交于点F,ZE-凵降35,则J 4.如图,己 知 ZBC的两条高DB,仞交于点F,乙怊C的平分线与ZBC外角乙红 C的平分线交于点C,若 JFC8C,贝 刂 亍 度 . 5.平面上有10条 直线,其中4条直线交于一点,另有4条直线互相平行,这10条直线最多有几个交点?它们 最多能把平面分成 _个部分. 6.如图,从 以BC各顶点作平行线加EB尸C,各与其对边或其延长线相交于点D, 设 z CF,彳BE 的面积分别是s 1,l

6、s 9,且s z =2s 1,CEF的面积与 BC的 面积之差为2,求四边形BCFE的面积. (第6题) 7.现有长为100c m 的 铁丝 ,要截成刀 (彳2)小段,每段的长为不小于1c m 的整数.如果其中任意3小段都不能 拼成三 角形,试求刀 的最大值,此时有几种方法将该铁丝截成满是条件的刀 段? 8.如图,正方形彳BCD的边长为6,点,F分别为边 B,朋 的中点,C是CF上的一点,使得CF2CC,点P在 边BC上,若CP的面积是整数,求ECP的面积, (第3题 ) (第2题) 七年级-3 组合模块(共s O分) 1.如图,若以B,EF三线平行,则可数出的梯形共有( ) A。30个 C.

7、12个 2.至少有两个数字相同的3位数共有 B. 60个 D。8个 C.2犯个 (第1题 ) ( ) D.3%个 A。2s O个B.180个 3.周长为24,各边长互不相等且都是整数的三角形共有 个 , 4.有5根木条,其中2根完全相同,长8c m ,另外三根分别长0c m ,10c m ,c m ,用其中三根组成一 个三角形 , 则选择的办法共有 种. 5.右 图是一 个55的 正方形.现在要把 ,B,C,D,E这 5个棋子放在 方格里,使每行和每,l l 只能岜巩一个棋子,一共有_种 不同 的方法, 6已知平面上99条直线的交点个数的最大值是p ,求 的 值. 7.由1,2,3,4,5,6

8、组成的所有数字不重复的6位数中,1总是位于3的 左侧 (不一定相邻)的6位数有几个? 8.将边长为3的 正 BC的 各边三等分,过 每个分点分别作另外两边的平行线,称彳BC的边及这些平行 线所交的10个点为格点,若在这10个格点中任取 个格点,一定存在三个格点能够构成一个等腰三角形(包 括正三角形).求 刀 的最小值. (第5题) (第8题) 七年级 邸 韶 却 七年级数学素养综合测试七年级数学素养综合测试参考答案参考答案 数论模块（共数论模块（共 50 分）分） 1. C2.A3. 1.4. 6492.5. 16，24，48. 6. 当 n0 时，原式2446，满足要求；当 n0 时，9n2

9、5n249n26n123（3n1）223n， 当 23n2（3n1）时，能够满足题目的要求；此时解得 n3；或 23n2（3n1）时，n5，9n25n 242241416，也满足要求，故答案为 0，3，-5 7. 对 xn2m2（nm） （nm） （1mn98，m，n 为整数） ，因为 nm 与 nm 同奇偶，所以 x 是奇数或是 4 的倍数，在 1 至 98 共 98 个自然数中，奇数有 49 个，能被 4 整除的数有 24 个，所以满足条件的数有 492473 个.故答案为：73. 8. 先证明其存在 1 个初始数，使得按要求运算重复 2020 次后，得到 1 个能被 2021 整除的数，

10、 设第一个数为 x1， 第一步运算后得到的数为 2 （x1） 12x1.第二步运算后得到的数为 2 （x1） 1122x， 依此下去若第 k 步运算后得到的数为12x k ，则第 k1 步运算后得到 2（12x k ）112 1 x k ， 因此，第 2020 步运算后，得到的数为 22020 x1，进一步，是否存在一个自然数 x，使 22020 x12021y 把这个等式化成二元一次不定方程， 有 22020 x2021y1， 由于 （22020， 2021） 1， 就必定存在整数 x0， y0使得 22020 x0 2021y01 成立，但是，x0不一定是正整数，还应设法找到满足方程的正整

11、数解.由定理 2 知方程的一组解为 00 2020 00 2021 , 2 xxt yyt 取足够大的 t0，可使yx,0. 这样，我们只要选取上述条件下的 x，就能满足题目的要求. 代数代数模块（共模块（共 50 分）分） 1. B2.A3. D.4. 3 2 .5. 19.8. 6. 原式x44x36x24x13x36x23x2x2（x1）223x（x1）22x2（x1）22x（x1）2 x（x24x1） （x23x1）. 7. 解：设初时甲车速为 x 公里/时，甲车先提速了 y 公里/时，则由后 2 次相遇于 C 得： ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 ? ? ，经检验，得 ? ?

12、 是原方程组的解 第 1 次相遇于 C，甲车行驶时间为：200100=2（小时） ，则乙车行驶时间为：21=3（小时） ，第 2 次相遇于 C， 乙车行驶时间为：400100=4（小时） ，第 3 次相遇于 C，乙车行驶时间为：480150=3.2（小时） ，故乙车行驶时间 一共为：343.2=10.2（小时） 故答案为 10.2 8. axbycz1，a4x4b4y4c4z41， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1113. 几何模块（共几何模块（共 50 分）分） 1. D2.

13、1 4. 3. 250 3 度.4. 36.5. 47. 6. ADBE，ADFC，FCBE，ADE 和ABD 在底边 AD 上的高相等，ADF 和ADC 在底边 AD 上的 高相等，BEF 和BEC 在底边 BE 上的高相等， SADFSADC，SBEFSBEC，SAEFSBEFSABESBECSABESABC SDEFSADESADFSAEFSABDSADCSABC2SABC即 SDEF2SABC 又 SCEFSABC2，SABCSAEF2， S2ABCS2S12S128，S12，S24，S四边形BCFE2422226+42. 7. 因为任意三条线段都不能构成三角形，所以这些线段的长度只可

14、能是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， ， 但 1123488100.1123455143100，故 n 的最大值为 9，共有以下 7 种方式. (1.1.2.3.5.8.13.21.46);(1.1.2.5.8.13.22,45);(1.1.2.3.5.8.13.23.44);(1.1.2.3.5.8.13.24,43);(1.1.2.3.5.8.13.25,42);(1.1.2.3.5.8.1 3.26,41);(1.1.2.3.5.8.14.27,40). 8. 过 P 作 PMCE，连结 PM，GM， 易知 CE 为定值，以 CE 为底，EGP 的面积大小取决于

15、CE 边上的高， P 为动点，当 P 运动至与点 B 重合位置时，CE 边上的高最大，对应EGP 面积的最大值为 7.5， 当 P 运动至与点 C 重合位置时，CE 边上的高最小，先求出CEF 的面积再除以 3，得对应EGP 面积的最小值为 4.5，故EGP 的面积所能取到的整数值为 5，6，7. 组合模块（共组合模块（共 50 分）分） 1.A2. C.3. 7.4. 6.5. 14400. 6. 任意两条直线均相交，任意三条直线不共点时交点数最大，故 p999824851. 7. 首先由乘法原理易知由 1，2，3，4，5，6 组成的数字不重复的 6 位数共有 654321720 个. 其中

16、“1 总是位于 3 左侧的 6 位数”与“1 总是位于 3 右侧的 6 位数”一样多， 所以 1 总是位于 3 左侧的 6 位数有 7202360 个. 8. 5 min n 设边AB上从点A到点B的两个等分点分别为D、E，边BC上从点B到C的两个等分点分别为F、G，边CA 上从点C到A的两个等分点分别为H、I，中间的一个格点为K(如图) 若n的最小值为 4，取格点A、D、E、B，则不存在三个格点能构成一个等腰三角形。因此，5n。 下面证明：任取五个格点，一定存在三个格点能构成一个等腰三角形。不妨假设被选取的点为红点， 。 只要证明：一定存在一个由红点构成的等腰三角形。 若这五个红点中包含格点

17、K，将其他九个格点分成三个点集。 FEDL,，IHGM,，CBAN,。 由抽屉原理知，一定存在一个点集中包含至少两个红点， 无论是哪个点集中的哪两个格点是红点，均与红点K构成一个等腰三角形。 若这五个红点中不包含格点K，当格点A是红点时，在IDU,， HEV, ， GFW,，CBT,中，如果有一个点集中包含两个红点，则结论成立； 否则，每个点集中均恰有一个红点。 不妨假设D为红点，则I不是红点。若B为红点，则G、C不是红点。于是，F是红点，且无论E、H哪个是 红点，均与D、F构成一个等腰三角形。 若B不是红点，则C为红点，于是，E不是红点，H是红点，无论F、G哪个是红点，均可与D、H或H、C 构成一个等腰三角形。 同理，当格点B或C为红点时，结论仍然成立。若K、A、B、C均不是红点，则D、E、F、G、H、I中 有五个红点，结论显然成立。 ? K ? I ? H ? G ? F ? A ? B ? C ? D ? E