【秋季课程北师大版初三数学】第3讲：正方形的性质与判定_学案

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1、 正方形的性质与判定 通过对本节课的学习，你能够： 掌握正方形的性质与判定. 学会应用正方形的性质解决旋转问题. 第3讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 正方形的性质 正方形中的旋转问题 正方形的性质与判定 教学目标 1、掌握正方形的性质与判定. 2、掌握正方形的旋转问题. 教学重点 能熟练掌握正方形的性质与判定. 教学难点 正方形综合题. 【教学建议教学建议】 正方形这种图形在生活中比较常见，并且在小学阶段已有涉及，在教学过程中，结合现实生活中的矩 形物体和复习回顾学过的矩形知识，将使学生对正方形的性质和判定有一个更深刻的认识. 【

2、知识导图】【知识导图】 概 述 在小学阶段的学习中我们已经学习过了正方形的性质和判定，在本讲中我们将会更加深入地学习正方 形，正方形在初中数学四边形题型中占据了非常重要的位置. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的性质 性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角 线平分一组对角 有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形. 类型一 正方形的定义与性质 如图所示， 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O， 点 E 是 BC

3、上任意一点， EGBD于 G， EFAC 于 F， 若 AC=10， 则 EG+EF 的值为（ ） A10 B4 C8 D5 【总结与反思】 教学过程 考点 1 矩形的定义和性质 二、知识讲解 一、导入 考点 2 矩形的判定 三 、例题精析 例题 1 类型二 正方形中的旋转问题正方形中的旋转问题 在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EFAB 交 BD 于点 F，取FD 的中点 G，连接 EG、CG，如图（1）， 易证 EG=CG 且 EGCG （1）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 90，如图（2），则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接 写出你的猜想 （2）

4、将BEF 绕点 B 逆时针旋转 180，如图（3），则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写 出你的猜想，并加以证明 【解析】 【总结与反思】 例题 1 类型三 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，对角线 BD 平分ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PMAD，PNCD，垂足 分别为 M，N （1）求证：ADB=CDB； （2）若ADC=90，求证：四边形 MPND 是正方形 【解析】 【总结与反思】 例题 1 1.如图 ，正方形 ABCD 的边长为 4，M 在 DC 上，且 DM=1，N 是 AC 上一动点，则 DN+MN

5、 的最小值为（ ） A3 B4 C5 D 24 2.如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的一个动点（不与 B、D 重合），连结 AP，过点 B 作直线 AP 的 垂线，垂足为 H，连结 DH，若正方形的边长为 4，则线段 DH 长度的最小值是 3.如图，分别以线段 AB 的两个端点为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于 M、N 两点，连接 MN，交 AB 于点 D、C 是直线 MN 上任意一点，连接 CA、CB，过点 D 作 DEAC 于点 E，DFBC 于点 F （1）求证： AEDBFD； （2）若 AB=2，当 CD 的值为 时，四边形 DECF 是正方形 四 、课

6、堂运用 基础 1如图，将正方形 ABCD 沿 BE 对折，使点 A 落在对角线 BD 上的 A处，连接 AC，则BAC= 度 2如图，AB 是 CD 的垂直平分线，交 CD 于点 M，过点 M 作 MEA C，MFAD，垂足分别为 E、F （1）求证：CAB=DAB； （2）若CAD=90，求证：四边形 AEMF 是正方形 3.猜想与证明： 如图 1 摆放矩形纸片 ABCD 与矩形纸片 ECGF，使 B、C、G 三点在一条直线上，CE 在边 CD 上，连接 AF，若 M 为 AF 的中点，连接 DM、ME，试猜想 DM 与 ME 的关系，并证明你的结论 拓展与延伸： （1）若将”猜想与证明“中

7、的纸片换成正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF，其他条件不变，则 DM 和 ME 巩固 的关系为 （2） 如图 2 摆放正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF， 使点 F 在边 CD 上， 点 M 仍为 AF 的中点， 试证明 （1） 中的结论仍然成立 1.如图，将边长为 2 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 上，落点记为 E（不与点 C，D 重合），点 A 落在点 F 处，折痕 MN 交 AD 于点 M，交 BC 于点 N若 1 2 CE CD ，则 BN 的长是 ， AM BN 的值等于 ； 若 1CE CDn （2n，且为整数），则 AM BN 的值等于

8、（用含的式子表示） 拔高 2.结论: 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30 如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=2， PB= 3 ， PC=1求BPC 度数的大小和等边三角形 ABC 的边长 李明同学做了如图 2 所示的辅助线：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60，画出旋转后的图形，连接 PP，从 而问题得到解决你能说说其中的理由吗？ 请你参考李明同学的思路，解决下列问题： 如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA=5，BP=2，PC=1求BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边 长 本节的重要内容：正方形的性质与

9、判定. 有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形. 1.如图，将正方形对折后展开（图是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角 三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有（ ） 图 图 图 图 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 2.如图，已知线段 AB=10，AC=BD=2，点 P 是 CD 上一动点，分别以 AP、PB 为边向上、向下作正 方形 APEF 和 PHKB，设正方形对角线的交点分别为 O1、O2，当点 P 从点 C 运动到点 D 时，线段 O1O2 中点 G 的运动路径的长是 3.如图，在

10、 Rt ABC 中，ACB=90，过点 C 的直线 MNAB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DEBC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD、BE （1）求证：CE=AD； （2）当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若 D 为 AB 中点，则当A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 1.四边形 ABCD、AEFG 都是正方形，当正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45时，如图，连接 DG、BE，并延长 BE 交 DG 于点 H，且 BHDG 与 H若 AB=4，

11、AE=时，则线段 BH 的长是 2.如图，正方形 ABCD 的边长是 2，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值为 3.在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BEDE，其中DE交直线AP于 点F （1）依题意补全图 1； 巩固 （2）若 20PAB，求 ADF 的度数； （3）如图 2，若45 90PAB ，用等式表示线段ABFEFD， 之间的数量关系，并证明 1.阅读下面材料： 小炎遇到这样一个问题： 如图1， 点E、 F分别在正方形ABCD的边BC， CD上， EAF=45， 连结EF， 则E

12、F=BE+DF， 试说明理由 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、 旋转、平移的方法，最后发现线段 AB，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法她的方法是将 拔高 ABE 绕着点 A 逆时针旋转 90得到ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图 2） 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图 3，四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=90点 E，F 分别在边 BC，CD 上，EAF=45若B，D 都不是直角，则当B 与D 满足_ 关系时，仍有 EF=BE+DF； （2）如图 4，在ABC 中，BAC=90，AB

13、=AC，点 D、E 均在边 BC 上，且DAE=45，若 BD=1， EC=2， 求 DE 的长 2如图甲，在ABC 中，ACB 为锐角点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作 正方形 ADEF 解答下列问题： （1）如果 AB=AC，BAC=90 当点D在线段BC上时 （与点B不重合） ， 如图乙， 线段CF、 BD之间的位置关系为 ， 数量关系为 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果 ABAC，BAC90，点 D 在线段 BC 上运动 试探究：当ABC 满足一个什么条件时，CFBC（点 C、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画 图不写作法） （3）若 AC4 2，BC=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P，求线段 CP 长 的最大值