【秋季课程北师大版初三数学】第10讲：相似多边形及相似三角形的判定_学案

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1、 相似多边形及相似三角形的判定相似多边形及相似三角形的判定 通过对本节课的学习，你能够： 掌握相似多边形的性质及应用 掌握相似三角形的判定方法 了解黄金分割 第10讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 判断多边形是否相似 相似多边形的应用 应用 AA 证明三角形相似 应用 SAS、SSS 证明三角形相似 黄金分割 相似综合 教学目标 1、掌握相似多边形的性质及应用. 2、掌握相似三角形的判定方法 3、了解黄金分割 教学重点 能熟练掌握相似多边形及相似三角形的判定. 教学难点 能熟练掌握相似多边形及相似三角形的判定. 【知识导图】【知识导

2、图】 概 述 全等的证明我们并不陌生，通过边角关系的应用我们可以使用四种方法来证明两个三角形全等.全等作 为相似的一种特殊情况，可以帮助我们更好的理解相似，学习相似. 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似 判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定定理 3：三边:成比例的两个三角形相似 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 那么称线段 AB 被点 C 黄 金分割（golden section）,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB的比叫做黄 金比

3、.其中0.618. 类型一 判断多边形是否相似判断多边形是否相似 若如图所示的两个四边形相似，则的度数是 （ ） 教学过程 考点 1 相似多边形的定义 二、知识讲解 一、导入 三 、例题精析 例题 1 考点 2 三角形相似判定定 考点 3 黄金分割 A870 B600 C750 D1200 【总结与反思】 类型二 相似多边形的应用相似多边形的应用 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、4、5 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三角 形与原三角形相似 乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应

4、边间距均为 1，则新矩形与 原矩形不相似 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A两人都对 B两人都不对 C甲对，乙不对 D甲不对，乙对 【总结与反思】 类型三：三角形相似的证明三角形相似的证明 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过 P 作 PFAE 于 F. 求证： PFA ABE； 【解析】 60 75 60 138 例题 1 例题 1 【总结与反思】 如图，ACB=ADC=90，AC=，AD=2问当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似 【解析】 【总结与反思】 类型四：黄金分割：黄金分割 若点 C 是线段 AB 的分割点（AC

5、BC），AB16，则 AC_，BC_；如果 D 是线段 AB 的 另一个黄金分割点，则 CD_。 【总结与反思】 例题 1 例题 2 类型五：相似综合：相似综合 如图，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点 E、F、G 分别从 A、B、C 三点同时出发， 沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为 1cm/s，点 F 的运动速度为 3cm/s，点 G 的运动速度 为 1.5cm/s，当点 F 到达点 C（即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中， EBF 关于 直线 EF 的对称图形是 EBF设点 E、F、G 运动的时间为 t（单

6、位：s） （1）当 t= s 时，四边形 EBFB为正方形； （2）若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F，C，G 为顶点的三角形相似，求 t 的值； （3）是否存在实数 t，使得点 B与点 O 重合？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 【解析】 例题 1 【总结与反思】 1.两个相似多边形的一组对应边分别为 3cm 和 4cm，如果它们的周长和为 84cm，那么较大多边形的周长为 （ ） A54cm B36 cm C48 cm D42 cm 2.两个相似多边形的面积比是 9：16，其中小多边形的周长为 36cm，则较大多边形的周长为（ ） A48cm B 54cm C 56c

7、m D 64cm 3.如图， 一张矩形纸片ABCD的长aAB ， 宽bBC 将纸片对折， 折痕为EF， 所得矩形AFED 与矩形ABCD相似，则ba:（ ） （A）1:2 （B）1:2 （C）3:3 （D）2:3 4.如图，12，则下列各式中，不能 说明ABCADE 的是（ ） A、DB B、EC C、 AC AE AB AD D、 BC DE AB AD 5.如图， 在平行四边形 ABCD 中， 点 E 是边 AD 的中点， EC 交对角线 BD 于点 F， 则 SDEF： SBCF = （ ） A4：9 B1：4 C1：2 D1：1 四 、课堂运用 基础 巩固 1.在一矩形 ABCD 的花

8、坛与花坛四周修筑小路， 使得相对两条小路的宽均相等 如果花坛 AB=20 米， AD=30 米，试问小路的宽 x 与 y 的比值为_能使小路四周所围成的矩形 ABCD与矩形 ABCD 相似 2.已知：P 是正方形 ABCD 的边 BC 上的点，且 BP=3PC，M 是 CD 的中点，试说明：ADMMCP 1.已知： 如图,在梯形ABCD中,ADBC,DCB=90 ,E是 AD 的中点,点 P是BC边上的动点(不与点 B重合)， EP 与 BD 相交于点 O. (1)当 P 点在 BC 边上运动时,求证： BOP DOE； (2)设(1)中的相似比为 k,若 AD:BC=2:3.请探究：当 k

9、为下列三种情况时,四边形 ABPE 是什么四边形? 当 k=1 时,是_; 当 k=2 时,是_; 拔高 当 k=3 时，是_.并证明 k=2 时的结论。 2.如果一个矩形 ABCD(ABBC)中， 2 15 BC AB 0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以 美感.在黄金矩形 ABCD 内作正方形 CDEF，得到一个小矩形 ABFE(如图 1)，请问矩形 ABFE 是否是黄金矩 形？请说明你的结论的正确性. 本节的重要内容：相似多边形及相似三角形的判定. 相似多边形：对应边成比例，对应角相等. 相似三角形：三边成比例；两边成比例且夹角相等；两角相等；A 型，X 型. 1.给出下

10、列几何图形： 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 两个圆； 两个正方形； 两个矩形； 两个正六边形； 两个等腰三角形； 两个直角三角形； 四个角对应相等的两个等腰梯形； 有一个角为 40的菱形 其中，一定相似的有（ ）个. A2 B. 3 C. 4 D. 5 2.下列结论中正确的是（ ） A.两个正方形一定相似 B.两个菱形一定相似 C.两个等腰梯形一定相似 D.两个直角梯形一定相似 3.如图， 正方形 ABCD 中， E、F 分别为 AB、 BC 的中点， AF 与 DE 相交于点 O，则 DO AO 的值是（ ） A 3 1 B 2 1 C 2 3 D 5 52 4.有以下命题: 如果线

11、段 d 是线段 a,b,c 的第四比例项，则有 d c b a 如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB、BC 的比例中项 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，ACBC，且 AB=2，则 AC=51 其中正确的判断有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.已知点 M 将线段 AB 黄金分割(AMBM)，则下列各式中不正确的是( ) A.AMBM=ABAM B.AM= 2 15 AB C.BM= 2 15 AB D.AM0.618AB 1.已知，如图，在边长为

12、a 的正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，能否在边 AB 上找一点 N（不含 A、B） ， 使得CDM 与MAN 相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由 2.如图设 M 为线段 AB 中点，AE 与 BD 交于点 CDME=A=B=，且 DM 交 AC 于 F，EM 交 BD 于 G. (1)写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明； (2)连接 FG,设 =450,AB=24，AF=3，求 FG 长。 巩固 3.如图，将矩形 ABCD 沿着对角线 AC 分割，得到 ABC 和 ACD，将 ACD 绕点 A 按逆时针方向旋转 度，使 D，A，B 三点在同一直线上，得到图，再把图

13、中的 ADE 沿着 AB 方向平移 s 格，使点 D 与点 A 重合，得到图，设 EF 与 AC 相交于点 G. 请解答以下问题： (1)上述过程中，=_度，s=_格； (2)在图中,除了 ABC EAF 以外，还能找出对相似三角形； (3)请写一对你在图中找出的相似三角形，并加以证明。 1.在 Rt ABC 中,C=90，BC=8cm，AB=10cm，点 P 从 B 点出发，沿 BC 方向以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 点出发，沿 CA 方向以 1cm/s 的速度移动，若点 P、Q 从 B. C 两点同时出发，设运动时间为 ts，当 t 为 何值时， CPQ 与 CBA 相似?

14、2.如图，在 ABC 中，BAC=90 ，AD 是 BC 边上的高，E 是 BC 边上的一个动点（不与 B，C 重合）， EFAB，EGAC，垂足分别为 F，G （1）求证：EGAD=CGCD； （2）FD 与 DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； 拔高 （3）当 AB=AC 时， FDG 为等腰直角三角形吗？并说明理由 3.如图，先把一矩形 ABCD 纸片对折，设折痕为 MN，再把 B 点叠在折痕线上，得到 ABE，过 B 点折纸片 使 D 点叠在直线 AD 上，得折痕 PQ. (1)求证： PBE QAB； (2)你认为 PBE 和 BAE 相似吗?如果相似给出证明，

15、如不相似请说明理由； (3)如果沿直线 EB 折叠纸片，点 A 是否能叠在直线 EC 上?为什么? 4.如图，在平面直角坐标系中，已知 RtAOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 y 轴和 x 轴上，并且 OA、OB 的长分别是方程长分别是方程 x27x+12=0 的两根(OA0B)， 动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 l 个单 位长度的速度向点 O 运动； 同时， 动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动， 设点 P、Q 运动的时间为 t 秒 (1)求 A、B 两点的坐标。 (2)求当 t 为何值时，APQ 与AOB 相似 (3)当 t=2 时，在坐标平面内，是否存在点 M，使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在， 请直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由