2020年苏科版七年级上数学全册知识点总结归纳
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1、 1 共 11 页 知识点总结归纳知识点总结归纳 代数初步知识代数初步知识 1. 代数式:用运算符号“ ”连接数及表示数的字母的式子称为 代数式(字母所取得数应保证它所在的式子有意义,其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义; 单独一个数或一个字母也是代数式) 2.列代数式的几个注意事项: (1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“ ” 乘,或省略不写; (2)数与数相乘,仍应使用“”乘,不用“ ”乘,也不能省略乘号; (3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如 a5 应写成 5a; (4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式,如 a 2 1 1应写成 2 3 a;
2、(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如 3a 写成 a 3 的形式; (6)a 与 b 的差写作 a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为 a、b 时,则应分类, 写做 a-b 和 b-a . 3.几个重要的代数式: (m、n 表示整数) (1)a 与 b 的平方差是: a 2-b2 ; a 与 b 差的平方是: (a-b)2 ; (2)若 a、b、c 是正整数,则两位整数是: 10a+b ,则三位整数是:100a+10b+c; (3)若 m、n 是整数,则被 5 除商 m 余 n 的数是: 5m+n ;偶数是:2n ,奇数是:2n+1;三个连 续整数
3、是: n-1、n、n+1 ; (4)若 b0,则正数是:a 2+b ,负数是: -a2-b ,非负数是: a2 ,非正数是:-a2 . 正数和负数正数和负数正数和负数的概念 负数:比 0 小的数 正数:比 0 大的数 0 既不是正数,也不是负数 注意注意:字母 a 可以表示任意数,当 a 表示正数时,-a 是负数;当 a 表示负数时,-a 是正数;当 a 表 示 0 时,-a 仍是 0。 (如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的, 例如+a,-a 就不能做出简单判断) 正数有时也可以在前面加“+” ,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有
4、相反意义的量 若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如: 零上 8表示为:+8;零下 8表示为:-8 3.0 表示的意义 0 表示“ 没有” ,如教室里有 0 个人,就是说教室里没有人; 0 是正数和负数的分界线,0 既不是正数,也不是负数。不是有理数; 有理数有理数 1.1.有理数的概念 正整数、0、负整数统称为整数(0 和正整数统称为自然数) 正分数和负分数统称为分数 正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。 理解理解:只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。 有限小数和无限循环小数都可化
5、成分数,都是有理数。 注意注意: 引入负数以后, 奇数和偶数的范围也扩大了, 像-2,-4,-6,-8也是偶数, -1,-3,-5也是奇数。 2 共 11 页 1.有理数的分类 按有理数的意义分类 按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 (0 不能忽视) 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结:正整数、0 统称为非负整数(也叫自然数) 负整数、0 统称为非正整数 正有理数、0 统称为非负有理数 负有理数、0 统称为非正有理数 数轴数轴数轴的概念 规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。 注意注意:数轴是一条向两端无限延伸的直线;原
6、点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不 可;同一数轴上的单位长度要统一;数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示, 正有理数可用原点右边的点表示, 负有理数可用原点左边 的点表示,0 用原点表示。 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数 轴上的点不是一一对应关系。 (如,数轴上的点不是有理数) 3.利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大; 正数都大于 0,负数都小于 0,正数大于负数; 两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。 4.数轴上
7、特殊的最大(小)数 最小的自然数是 0,无最大的自然数;最小的正整数是 1,无最大的正整数; 最大的负整数是-1,无最小的负整数 5.a 可以表示什么数 a0 表示 a 是正数;反之,a 是正数,则 a0;a0 表示 a 是负数;反之,a 是负数,则 a0 时,-a0(正数的相反数是负数) 当 a0(负数的相反数是正数) 当 a=0 时,-a=0, (0 的相反数是 0) 6.多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略; “-”号的个数决定最后化简结 果;即: “-”的个数是奇数时,结果为负, “-”的个数是偶数时,结果为正。 绝对值绝对值绝对值的几何定义
8、 一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值,记作|a|。 2.绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身; 一个负数的绝对值是它的相反数; 0 的绝对值是 0. 可用字母表示为: 如果 a0,那么|a|=a; 如果 a0,那么|a|=-a; 如果 a=0,那么|a|=0。 可归纳为:a0, |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。 ) a0, |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。 ) 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a 取任何有理数,都有|a| 0。即0 的
9、绝对值是 0;绝对值是 0 的数是 0.即:a=0 |a|=0; 一个数的绝对值是非负数, |a|0;注意:|a|b|=|ab|, b a b a 任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|a; 绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a0) ,则 x=a; 互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若 a+b=0,则|a|=|b|; 绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; 若几个数的绝对值的和等于 0,则这几个数就同时为 0。即|a|+|b|=0,则 a=0 且 b=0。 (非负数的常用性质:若几个非负数的和为 0,则有且
10、只有这几个非负数同时为 0) 4.有理数大小的比较 利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小; 利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数 大于负数。 5.绝对值的化简 当 a0 时, |a|=a ; 当 a0 时, |a|=-a 6.已知一个数的绝对值,求这个数 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离, 一般地, 绝对值为同一个正数的有理数有两 个,它们互为相反数,绝对值为 0 的数是 0,没有绝对值为负数的数。 有理数的加减法有理数的加减法 1.有理数的加法法则 4 共 11 页 同号两数相加,取相
11、同的符号,并把绝对值相加; 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; 互为相反数的两数相加,和为零;一个数与零相加,仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律: 互为相反数的两个数先相加“相反数结合法” ;符号相同的两个数先相加“同号结合法” ; 分母相同的数先相加“同分母结合法” ;几个数相加得到整数,先相加“凑整法” ; 整数与整数、小数与小数相加“同形结合法” 。 3.加法性质 一个数加正数后的和比原数
12、大;加负数后的和比原数小;加 0 后的和等于原数。即: 当 b0 时,a+ba 当 b0 时,a+ba 当 b=0 时,a+b=a 4.有理数减法法则 减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。 5.有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可将减法转化成加法后,再按加法法则进行计算。 在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如: (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法:按这个式子表示的意义读作“负 8、负 7、负 6、正 5 的和” 按运算意义读作“负 8 减
13、 7 减 6 加 5” 6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧: .把符号相同的加数相结合(同号结合法) (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) (将减法转换成加法) =-33+18-15-1+23 (省略加号和括号) =(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合) =-49+41 (运用加法法则一进行运算) =-8 (运用加法法则二进行运算) .把和为整数的加数相结合 (凑整法) (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式=(+6.6)+(-5.2)+(+
14、3.8)+(-2.6)+(-4.8) (将减法转换成加法) =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 (省略加号和括号) =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 (把和为整数的加数相结合) =4-10+3.8 (运用加法法则进行运算) =7.8-10 (把符号相同的加数相结合,并进行运算) =-2.2 (得出结论) .把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法) - 5 3 - 2 1 + 4 3 - 5 2 + 2 1 - 8 7 原式=(- 5 3 - 5 2 )+(- 2 1 + 2 1 )+(+ 4 3 - 8 7 ) =-1+0- 8 1 5 共 11 页 =-1 8
15、 1 .既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合) (+0.125)-(-3 4 3 )+(-3 8 1 )-(-10 3 2 )-(+1.25) 原式=(+ 8 1 )+(+3 4 3 )+(-3 8 1 )+(+10 3 2 )+(-1 4 1 ) = 8 1 +3 4 3 -3 8 1 +10 3 2 -1 4 1 =(3 4 3 -1 4 1 )+( 8 1 -3 8 1 )+10 3 2 =2 2 1 -3+10 3 2 =-3+13 6 1 =10 6 1 .把带分数拆分后再结合(先拆分后结合) -3 5 1 +10 11 6 -12 22 1 +4 15 7 原式=(-
16、3+10-12+4)+(- 5 1 + 15 7 )+( 11 6 - 22 1 ) =-1+ 15 4 + 22 11 =-1+ 30 8 + 30 15 - 30 7 .分组结合 2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0 .先拆项后结合 (1+3+5+7+99)-(2+4+6+8+100) 有理数的乘除法有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则 法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘; ( “同号得正,异号得负”专指“两数相乘” 的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三) 法则二:任何数
17、同 0 相乘,都得 0; 法则三: 几个不是 0 的数相乘, 负因数的个数是偶数时, 积是正数; 负因数的个数是奇数时, 积是负数; 法则四:几个数相乘,如果其中有因数为 0,则积等于 0. 2.倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为 a a 1 =1(a0) ,就是 说 a 和 a 1 互为倒数,即 a 是 a 1 的倒数, a 1 是 a 的倒数。 注意注意:0 没有倒数; 6 共 11 页 求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把 带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置; 正数的倒数是正数,负数的倒
18、数是负数。 (求一个数的倒数,不改变这个数的性质) ; 倒数等于它本身的数是 1 或-1,不包括 0。 3.有理数的乘法运算律 乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即 ab=ba 乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc). 乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。 即 a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则 (1)除以一个不等 0 的数,等于乘以这个数的倒数。 (2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数,都得
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