2020年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷（含答案解析）

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1、2020 年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，每小题只有一个选项是正确的，不分，每小题只有一个选项是正确的，不 选、多选、错选，均不得分）选、多选、错选，均不得分） 1 （4 分）的值等于（ ） A B C D 2 （4 分）下面每个图形都是由 6 个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的 是（ ） A B C D 3 （4 分）下列结论正确的是（ ） A如果 ab，cd，那么 acbd B如果 ab，那么 C如果 ab，那么 D如果，那么 ab 4

2、 （4 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点，连结 OE若ABC50，BAC80，则1 的度数为（ ） A60 B50 C40 D25 5 （4 分）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵，每棵产 量的平均数 （单位：千克）及方差 s2（单位：千克 2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 23 23 24 24 s2 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植， 应选的品种是 （ ） A甲 B乙 C丙 D丁 6 （4 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则在同一直

3、角坐标系中，一次函数 yax+b 和反比例函数的图象大致是（ ） A B C D 7 （4 分）使用科学计算器进行计算，其按键顺序如图所示，输出结果应为（ ） A14 B3.94 C1.06 D3.7 8 （4 分）已知 ， 是方程 x2+2020 x+10 的两个根，则（1+2022+2） （+2）的值为 （ ） A4040 B4044 C2022 D2020 9 （4 分）如图，正方形 ABCD 中，AB6，将ADE 沿 AE 对折至AEF，延长 EF 交 BC 于点 G，G 刚好是 BC 边的中点，则 ED 的长是（ ） A1 B1.5 C2 D2.5 10（4 分） 某数学小组在研究了

4、函数 y1x 与性质的基础上， 进一步探究函数 yy1+y2 的性质，经过讨论得到以下几个结论： 函数 yy1+y2的图象与直线 y3 没有交点； 函数 yy1+y2的图象与直线 ya 只有一个交点，则 a4； 点（a，b）在函数 yy1+y2的图象上，则点（a，b）也在函数 yy1+y2的图象上 以上结论正确的是（ ） A B C D 11 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC10，P 是 AD 边上一动点（不含端点 A， D） ，连接 PC，E 是 AB 边上一点，设 BEa，若存在唯一点 P，使EPC90，则 a 的值是（ ） A B C3 D6 12 （4 分）对于二次函

5、数 yax2（2a1）x+a1（a0） ，有下列结论：其图象与 x 轴一定相交；其图象与直线 yx1 有且只有一个公共点；无论 a 取何值，抛物线 的顶点始终在同一条直线上；无论 a 取何值，函数图象都经过同一个点其中正确结 论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （4 分）若 am8，an2，则 am 2n 的值是 14 （4 分）如果 x2+mx+6（x2） （xn） ，那么 m+n 的值为 15 （4 分）如图，菱形 ABCD，B60，AB4，O 内切于菱形 ABCD，则O 的半 径

6、为 16 （4 分）如图，已知矩形 ABCD，AB8，AD4，E 为 CD 边上一点，CE5，点 P 从 B 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 BA 边向终点 A 运动，连接 PE，设点 P 运动的时 间为 t 秒，则当 t 的值为 时，PAE 是以 PE 为腰的等腰三角形 17 （4 分）如图，二次函数 yx4 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，其对称轴与 x 轴交于点 D，若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则PC+PD 的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，满分小题，满分 52 分）分） 18 （5 分）计算

7、： 19 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，延长 CE，与 BA 的延长线交于点 F， 连接 AC，DF请判断四边形 ACDF 的形状，并说明理由 20 （8 分）某校创建“环保示范学校” ，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随 机抽取了 50 名学生进行问卷调查问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的 爱好选择一个社团， 也可以不选） ， 对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计， 如下表： 社团名称 A 酵素制作社 团 B 回收材料小 制作社团 C 垃圾分类社 团 D 环保义工社 团 E 绿植养护社 团 人数 10 15 5 10 5 （1）根据以上信息

8、填空：这 5 个数的中位数是 ；扇形图中没选择的百分比 为 ； （2）补全条形统计图；若该校有 1400 名学生，根据调查统计情况，请估计全校有 多少学生愿意参加环保义工社团； （3）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用 树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率 21 （8 分）某水果店 5 月份购进甲、乙两种水果共花费 1700 元，其中甲种水果 8 元/千克， 乙种水果 18 元/千克6 月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果 10 元/千克，乙种水 果 20 元/千克 （1）若该店 6 月份购进这两种水果的数量与 5 月份都相同，将多支付

9、货款 300 元，求该 店 5 月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ （2）若 6 月份将这两种水果进货总量减少到 120 千克，且甲种水果不超过乙种水果的 3 倍，则 6 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？ 22 （8 分）如图，一次函数 y1k1x+b，与反比例函数交于点 A（3，1） 、B（1， n） ，y1交 y 轴于点 C，交 x 轴于点 D （1）求反比例函数及一次函数的解析式； （2）求OBD 的面积； （3）根据图象直接写出 k1x+b的解集 23 （9 分）如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E， 过点 D 作

10、 FGAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G （1）求证：GD 为O 切线； （2）求证：DE2EFAC； （3）若 tanC2，AB5，求 AE 的长 24 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+2x+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B （3，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线 yax2+2x+c 的解析式； （2）点 D 为抛物线上对称轴右侧、x 轴上方一点，DEx 轴于点 E，DFAC 交抛物线 对称轴于点 F，求 DE+DF 的最大值； （3）在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点的三角形，是以 AC 为直角边 的直角三角形？若存在，请

11、求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； 点 Q 在抛物线对称轴上，其纵坐标为 t，请直接写出ACQ 为锐角三角形时 t 的取值 范围 2020 年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，每小题只有一个选项是正确的，不分，每小题只有一个选项是正确的，不 选、多选、错选，均不得分）选、多选、错选，均不得分） 1 （4 分）的值等于（ ） A B C D 【分析】根据算术平方根解答即可 【解答】解：， 故选：A 2 （4

12、 分）下面每个图形都是由 6 个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的 是（ ） A B C D 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题能组成正方体的“一，四，一” “三， 三” “二，二，二” “一，三，二”的基本形态要记牢 【解答】解：能折叠成正方体的是 故选：C 3 （4 分）下列结论正确的是（ ） A如果 ab，cd，那么 acbd B如果 ab，那么 C如果 ab，那么 D如果，那么 ab 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可 【解答】解：cd， cd， 如果 ab，cd，那么 acbd 不一定成立， 选项 A 不符合题意； b0 时，无意义， 选项 B 不符合题意；

13、 a0b 时， 选项 C 不符合题意； 如果，那么 ab， 选项 D 符合题意 故选：D 4 （4 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点，连结 OE若ABC50，BAC80，则1 的度数为（ ） A60 B50 C40 D25 【分析】直接利用三角形内角和定理得出BCA 的度数，再利用三角形中位线定理结合 平行线的性质得出答案 【解答】解：ABC50，BAC80， BCA180508050， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 是边 CD 的中点， EO 是DBC 的中位线， EOBC， 1ACB50 故选：B 5 （4 分）去年某果园随

14、机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵，每棵产 量的平均数 （单位：千克）及方差 s2（单位：千克 2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 23 23 24 24 s2 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植， 应选的品种是 （ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】先比较平均数得到丙组和丁组产量较好，然后比较方差得到丁组的状态稳定 【解答】解：因为甲组、乙组的平均数比丙组、丁组小， 而丁组的方差比丙组的小， 所以丁组的产量比较稳定， 所以产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是丁； 故选：D 6 （4 分）已知二次函数 yax2+bx

15、+c 的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数 yax+b 和反比例函数的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据二次函数的图象，确定 a、b、c 的符号，再根据 a、b、c 的符号判断一次 函数 yax+b 和反比例函数 y的图象大致位置 【解答】解：由二次函数图象可知 a0，c0， 由对称轴 x0，可知 b0， 一次函数 yax+b 的图象经过一、三、四象限， 反比例函数 y的图象在一、三象限 故选：B 7 （4 分）使用科学计算器进行计算，其按键顺序如图所示，输出结果应为（ ） A14 B3.94 C1.06 D3.7 【分析】根据如图所示的按键顺序，列出算式 3（）1.22

16、，再计算可得 【解答】解：根据如图所示的按键顺序，输出结果应为 3（）1.222.51.44 3.94， 故选：B 8 （4 分）已知 ， 是方程 x2+2020 x+10 的两个根，则（1+2022+2） （+2）的值为 （ ） A4040 B4044 C2022 D2020 【分析】由 ， 是方程 x2+2020 x+10 的两个根，根据根与系数的关系，可得 1， 由一元二次方程的根的定义，可得 2+2020+10，2+2020+10，继而求得答案 【解答】解：， 是方程 x2+2020 x+10 的两个根， 2+2020+10，2+2020+10，1， （1+2022+2） （+2）2（

17、1+2）2（2020）40404040 故选：A 9 （4 分）如图，正方形 ABCD 中，AB6，将ADE 沿 AE 对折至AEF，延长 EF 交 BC 于点 G，G 刚好是 BC 边的中点，则 ED 的长是（ ） A1 B1.5 C2 D2.5 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明ABGAFG，进而得到 BG GF，由 G 是 BC 的中点，AB6，得到 GFCG3，在 RtECG 中有勾股定理建立方 程求解即可 【解答】解：连接 AG，由已知 ADAFAB，且AFGABGD90， AGAG， ABGAFG （HL） ， BGBF ABBCCDDA6，G 是 BC 的中点， B

18、GBF3， 设 DEx，则 EFx，EC6x， 在 RtECG 中，由勾股定理得： （x+3）232+（6x）2， 解得 x2，即 DE2 故选：C 10（4 分） 某数学小组在研究了函数 y1x 与性质的基础上， 进一步探究函数 yy1+y2 的性质，经过讨论得到以下几个结论： 函数 yy1+y2的图象与直线 y3 没有交点； 函数 yy1+y2的图象与直线 ya 只有一个交点，则 a4； 点（a，b）在函数 yy1+y2的图象上，则点（a，b）也在函数 yy1+y2的图象上 以上结论正确的是（ ） A B C D 【分析】根据题意得出 y 与 x 的函数关系式，当 y3 时，解得 x，若方

19、程无解，说明 两个函数图象无交点， 当 ya 时，得出一个一元二次方程，两个函数的图象只有一个交点，说明方程有一个 解，或由两个相同的实数根，让根的判别式为 0 即可， 将点（a，b）代入函数关系式中，得出 ba+，再将 xa 代入函数关系式中，得 出结论，和b 判断，即可得出结论 【解答】解：由 题意得，yx+， 当 y3 时，即：3x+， 也就是 x23x+40， 9160， 此方程无实数根， 故，yx+与 y3 无交点，因此正确， 由得， 当 ya 时，即：ax+， 也就是 x2ax+40， 当a2160 时，函数 yy1+y2的图象与直线 ya 只有一个交点， 此时，a4，因此正确，

20、将点（a，b）代入函数关系式中，得出 ba+，将 xa 代入函数关系式中，得出 a（a+）b， 则点（a，b）也在函数 yy1+y2的图象上 因此正确， 故选：B 11 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC10，P 是 AD 边上一动点（不含端点 A， D） ，连接 PC，E 是 AB 边上一点，设 BEa，若存在唯一点 P，使EPC90，则 a 的值是（ ） A B C3 D6 【分析】设 APx，AEy，证明APEDCP，根据相似三角形的性质得到比例式， 转化为一元二次方程，利用判别式0，构建方程解决问题 【解答】解：PEPC， APE+DPC90， D90， DCP+DPC

21、90， APEDCP，又AD90， APEDCP， ， 设 APx，AEy， 可得 x（10 x）6y， x210 x+6y0， 由题意0， 10024y0， y， BEABAE6， 故选：B 12 （4 分）对于二次函数 yax2（2a1）x+a1（a0） ，有下列结论：其图象与 x 轴一定相交；其图象与直线 yx1 有且只有一个公共点；无论 a 取何值，抛物线 的顶点始终在同一条直线上；无论 a 取何值，函数图象都经过同一个点其中正确结 论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用函数的图象和性质逐一求解即可 【解答】解：当 y0，ax2（2a1）x+a10， 解得 x11，x2

22、， 则二次函数 yax2（2a1）x+a1 的图象与 x 轴的交点坐标为（1，0） 、 （，0） ， 故正确，符合题意； 由题意得：ax2（2a1）x+a1x1，化简得：x22x+10， 2240，故抛物线图象与直线 yx1 有且只有一个公共点， 故正确，符合题意； 该抛物线对称轴为 x1，顶点的纵坐标为 y， 则 y（1），即无论 a 取何值，抛物线的顶点始终在直线 yx上， 所以正确，符合题意； 由知， 二次函数 yax2 （2a1） x+a1 的图象与 x 轴的交点坐标为 （1， 0） 、（， 0） ， 故无论 a 取何值，函数图象都经过同一个点（1，0） ，故正确，符合题意 故选：D

23、二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （4 分）若 am8，an2，则 am 2n 的值是 2 【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减逆用同底数幂的除法法则以及积 的乘方法则，即可得到结果 【解答】解：am8，an2， am 2nama2nam（an）28222， 故答案为：2 14 （4 分）如果 x2+mx+6（x2） （xn） ，那么 m+n 的值为 2 【分析】把（x2） （xn）展开得到 x2（2+n）x+2n，利用恒等变形得到 m2+n，2n 6，然后求出 m、n 后计算 m+n 的值 【解答】解：（x2）

24、（xn）x2（2+n）x+2n， m（2+n） ，2n6， n3，m5， m+n5+32 故答案为2 15 （4 分）如图，菱形 ABCD，B60，AB4，O 内切于菱形 ABCD，则O 的半 径为 【分析】作辅助线，构建直角AOB，分别计算 OA、OB 的长，根据面积法可得 OE 的 长 【解答】解：设 AB 和 BC 上的切点分别为 E、F，连接 OA、OE、OB、OF，则 OEAB， OFBC， O 内切于菱形 ABCD， OEOF， OB 平分ABC， ABC60， ABO30， 同理得BAO60， AOB90， AOAB2，OB2， SAOBABOEAOOB， 4OE2， OE， 故

25、答案为： 16 （4 分）如图，已知矩形 ABCD，AB8，AD4，E 为 CD 边上一点，CE5，点 P 从 B 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 BA 边向终点 A 运动，连接 PE，设点 P 运动的时 间为 t 秒，则当 t 的值为 2 或 时，PAE 是以 PE 为腰的等腰三角形 【分析】根据矩形的性质得出 CDAB8，BCAD4，求出 AP8t，DE3，由勾 股定理求出 AE5，PE2EF2+PF242+（5t）2，分为两种情况：当 AEPE 时， 当 APPE 时，求出即可 【解答】解：根据题意得：BPt， 四边形 ABCD 是矩形，AB8，AD4， CDAB8，BCAD4，

26、AP8t，DEDCCE853， 由勾股定理得：AE5， 过 E 作 EFAB 于 F， 则EFAEFB90， CB90， 四边形 BCEF 是矩形， BFCE5，BCEF4， PF5t， 由勾股定理得：PE2EF2+PF242+（5t）2， 当 AEPE 时，5242+（5t）2， 解得：t2，t8， t8 不符合题意，舍去； 当 APPE 时， （8t）242+（5t）2， 解得：t， 即当 t 的值为 2 或时，PAE 是以 PE 为腰的等腰三角形， 故答案为：2 或 17 （4 分）如图，二次函数 yx4 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点

27、 C，其对称轴与 x 轴交于点 D，若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则PC+PD 的最小值为 【分析】连接 AC，作点 D 关于 y 轴的对称点 D，作点 A 关于 y 轴的对称点 A，过点 D 作 DECA交于点 E，则 DE 为所求；由对称性可知 A（3，0） ，D（1，0） ，CO4， AO3，CA5，由AAC 的正弦值可得，即可求出 DE； 【解答】解：连接 AC yx4 与 x 轴交点 A（3，0） 、B（5，0） ，点 C（0，4） ， sinACO， 作点 D 关于 y 轴的对称点 D， 作点 A 关于 y 轴的对称点 A， 过点 D作 DECA交于点 E， 则 DE

28、 为所求； 由对称性可知，ACOOCA， sinOCA， PCPE， 再由 DPDP， PC+PD 的最小值为 DE， A（3，0） ，D（1，0） ， AD4，CO4，AO3， CA5， DE； 故答案为； 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，满分小题，满分 52 分）分） 18 （5 分）计算： 【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得 出答案 【解答】解：原式2+2+0 19 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，延长 CE，与 BA 的延长线交于点 F， 连接 AC，DF请判断四边形 ACDF 的形状，并说明理由 【分析】 证

29、明FAECDE （ASA） ， 得出 CDFA， 由 CDAF， 即可得出四边形 ACDF 是平行四边形 【解答】解：四边形 ACDF 是平行四边形，理由如下： 四边形 ABCD 是矩形， ABCD， FAECDE， E 是 AD 的中点， AEDE， 在FAE 和CDE 中， FAECDE（ASA） ， CDFA， 又CDAF， 四边形 ACDF 是平行四边形 20 （8 分）某校创建“环保示范学校” ，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随 机抽取了 50 名学生进行问卷调查问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的 爱好选择一个社团， 也可以不选） ， 对选择了社团的学生的问卷

30、情况进行了统计， 如下表： 社团名称 A 酵素制作社 团 B 回收材料小 制作社团 C 垃圾分类社 团 D 环保义工社 团 E 绿植养护社 团 人数 10 15 5 10 5 （1）根据以上信息填空：这 5 个数的中位数是 10 ；扇形图中没选择的百分比为 10% ； （2）补全条形统计图；若该校有 1400 名学生，根据调查统计情况，请估计全校有 多少学生愿意参加环保义工社团； （3）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用 树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率 【分析】 （1）根据中位数的意义，排序、找出第 3 个数即可，求出没选择的人数，

31、进而 求出百分比， （2）各组人数都求出，补全条形统计图，参加义工社团的占 20%，求出 1400 人的 20% 即可， （3）用树状图表示所有可能出现的结果数，根据概率的意义求解 【解答】解： （1）将这五个数从小到大排列，处在第 3 位的数是 10，因此中位数是 10， （510155105）5010%， 故答案为：10，10% （2）补全条形图如图所示： 140020%280 名， 答：全校约有 280 名学生愿意参加环保义工社团 （3）酵素制作社团、绿植养护社团分别用 A、B 表示，画树状图如下： 由树状图知共有 4 种等可能结果，其中两人同时选择绿植养护社团只有一种情况， 两人同时选

32、择绿植养护社团的概率为 21 （8 分）某水果店 5 月份购进甲、乙两种水果共花费 1700 元，其中甲种水果 8 元/千克， 乙种水果 18 元/千克6 月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果 10 元/千克，乙种水 果 20 元/千克 （1）若该店 6 月份购进这两种水果的数量与 5 月份都相同，将多支付货款 300 元，求该 店 5 月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ （2）若 6 月份将这两种水果进货总量减少到 120 千克，且甲种水果不超过乙种水果的 3 倍，则 6 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？ 【分析】 （1）设该店 5 月份购进甲种水果 x 千克，购进乙种

33、水果 y 千克，根据总价单 价购进数量，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2） 设购进甲种水果 a 千克， 需要支付的货款为 w 元， 则购进乙种水果 （120a） 千克， 根据总价单价购进数量，即可得出 w 关于 a 的函数关系式，由甲种水果不超过乙种 水果的 3 倍，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之即可得出 a 的取值范围，再利用 一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设该店 5 月份购进甲种水果 x 千克，购进乙种水果 y 千克， 根据题意得：， 解得： 答：该店 5 月份购进甲种水果 100 千克，购进乙种水果 50 千克 （2） 设购

34、进甲种水果 a 千克， 需要支付的货款为 w 元， 则购进乙种水果 （120a） 千克， 根据题意得：w10a+20（120a）10a+2400 甲种水果不超过乙种水果的 3 倍， a3（120a） ， 解得：a90 k100， w 随 a 值的增大而减小， 当 a90 时，w 取最小值，最小值1090+24001500 月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是 1500 元 22 （8 分）如图，一次函数 y1k1x+b，与反比例函数交于点 A（3，1） 、B（1， n） ，y1交 y 轴于点 C，交 x 轴于点 D （1）求反比例函数及一次函数的解析式； （2）求OBD 的面积； （3）根

35、据图象直接写出 k1x+b的解集 【分析】 （1）将点 A 的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式，然 后求出点 B 的坐标，将 A、B 的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的解析式； （2）求出点 D 的坐标，然后根据 B、D 的坐标结合三角形的面积公式即可求出OBD 的面积； （3）根据图象找出一次函数在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值即可 【解答】解： （1）反比例函数的图象经过 A（3，1） ， k313， 反比例函数的解析式为； 把 B（1，n）代入反比例函数解析式，可得 n3， B（1，3） ， 把 A（3，1） ，B（1，3）代入一次函数 y1k1x+b

36、， 可得，解得， 一次函数的解析式为 y1x2； （2）令 y10，有 0 x2，即 x2， D（2，0） ，OD2， 如图，过 B 作 BEx 轴于点 E， B（1，3） ， BE3， SBODODBE233； （3）由图象可知，当1x0 或 x3 时，一次函数图象落在反比例函数图象的上方， 所以 k1x+b的解集是1x0 或 x3 23 （9 分）如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E， 过点 D 作 FGAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G （1）求证：GD 为O 切线； （2）求证：DE2EFAC； （3）若 tanC2，AB5，

37、求 AE 的长 【分析】 （1）连接 OD，证明 ODAC，由 DGAC，可得 ODDF，则结论得证； （2）连接 AD，先证明 DECD，证明 RtCDFRtCAD，则结论得证； （3）求出 BDDC，求出 EF，CE 长，则 AE 长可求 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OD， ODOB， ODBOBD， ABAC， ABCC， ODBC， ODAC， DGAC， ODDF， GD 为O 切线； （2）证明：如图 2，连接 AD， AB 为直径， ADB90，即 ADBC， ABAC， CDBD，EADBAD， BDDECD， DFAC， CFEF， CFDCDA90，FCDACD，

38、 RtCDFRtCAD， ， 即 CD2CFAC， DE2EFAC； （3）解：如图 2， ABAC， ABCC，tanABCtanC，AB5， BDDC， 在 RtCDF 中，tanC2， CF1，由（2）知，EFCF， EFCF1，CE2， AEACCEABCE523 24 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+2x+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B （3，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线 yax2+2x+c 的解析式； （2）点 D 为抛物线上对称轴右侧、x 轴上方一点，DEx 轴于点 E，DFAC 交抛物线 对称轴于点 F，求 DE+DF 的最大值；

39、 （3）在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点的三角形，是以 AC 为直角边 的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； 点 Q 在抛物线对称轴上，其纵坐标为 t，请直接写出ACQ 为锐角三角形时 t 的取值 范围 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）如图 1，过 D 作 DG 垂直抛物线对称轴于点 G，设 D（x，x2+2x+3） ，则 DGx 1，DF（x1） ，故 DE+DFx2+2x+3+（x1） ，即可求解； （3）存在；如图 2，过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于点 P1，可得到直线 AC 的解析式 为 y3x+3，即直线

40、 AC 倾斜角的正切值为 3，则直线 P1C 倾斜角的正切值为，进而求 出直线 P1C 的解析式为 yx+3，即可求解；同理可得点 P2的坐标； AQC90时，AQ2+CQ2AC2，则（11）2+t2+（10）2+（t3）2（） 2，解得：t11，t22，当 1t2 时，AQC90，因为ACQ 为锐角三角形，点 Q （1，t）必须在线段 Q1Q2上（不含端点 Q1、Q2） ，即可求解 【解答】解： （1）设抛物线解析式为 ya（x+1） （x3） ， 即 yax22ax3a， 2a2，解得 a1， 抛物线解析式为 yx2+2x+3； （2）当 x0 时，yx2+2x+33，则 C（0，3） ，

41、 设直线 AC 的解析式为 ypx+q，把 A（1，0） ， C（0，3）代入得，解得， 直线 AC 的解析式为 y3x+3， 如图 1，过 D 作 DG 垂直抛物线对称轴于点 G，设 D（x，x2+2x+3） ， DFAC， DFGACO， 而抛物线对称轴为 x1， DGx1，DF（x1） ， DE+DFx2+2x+3+（x1）x2+（2+）x+3（x） 2+ ， 10， 当 x，DE+DF 有最大值为； （3）存在； 如图 2，过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于点 P1， 直线 AC 的解析式为 y3x+3， 则直线 AC 倾斜角的正切值为 3，则直线 P1C 倾斜角的正切值为， 直线

42、P1C 的解析式可设为 yx+m，把 C（0，3）代入得 m3， 直线 P1C 的解析式为 yx+3，解方程组， 解得， 则此时 P1点坐标为（，） ； 过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于 P2， 同理可设直线 AP2的解析式可设为 yx+n， 把 A（1，0）代入上式并解得 n， 直线 PC 的解析式为 yx， 解方程组，解得， 则此时 P2点坐标为（，） ， 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（，）或（，） ； 答：t1 或 2t 如图 3，抛物线 yx2+2x+3 对称轴为直线 x1，过点 C 作 CQ1AC 交对称轴于 Q1， 过点 A 作 AQ2AC 交对称轴于 Q2， A（1，0） ，C（0，3） ， 直线 AC 解析式为 y3x+3， CQ1AC， 直线 CQ1解析式为 yx+3， 令 x1，得 y1+3， Q1（1，） ； AQ2AC， 直线 AQ2解析式为 yx，令 x1，得 y1， AQC90时，AQ2+CQ2AC2， （11）2+t2+（10）2+（t3）2（）2，解得：t11，t22， 当 1t2 时，AQC90， ACQ 为锐角三角形，点 Q（1，t）必须在线段 Q1Q2上（不含端点 Q1、Q2） ， t1 或 2t