2019届河北省中考数学系统复习:第四单元图形的初步认识与三角形第19讲锐角三角函数(8年真题训练)
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1、1第 19 讲 锐角三角函数命题点 解直角三角形1(2017承德模拟)如图,在 RtABC 中,C90,BC8,tanB ,点 D 在 BC 上,且 BDAD,求 AC 的长12和 cosADC 的值解:在 RtABC 中,BC8,tanB ,ACBCtanB4.ACBC 12设 ADx,则 BDx,CD8x,在 RtADC 中,(8x) 24 2x 2,解得 x5.AD5,CD853,cosADC .DCAD 352(2017河北模拟)如图,AD 是ABC 的中线,tanB ,cosC ,AC .求:13 22 2(1)BC 的长;(2)sinADC 的值解:(1)过点 A 作 AEBC 于
2、点 E.cosC ,C45.22在 RtACE 中,CEACcosC1,AECE1.在 RtABE 中,tanB ,即 ,13 AEBE 13BE3AE3.BCBECE4.(2)AD 是ABC 的中线,CD BC2.12DECDCE1.AEBC,DEAE,ADC45.sinADC .22重难点 1 解直角三角形2(2018河北模拟)已知,在ABC 中,ACB90,tanB ,AB5,D 在 AB 上43(1)求 BC 的长;(2)如图 1,若CDBB,求 sinDCB 的值;(3)如图 2,过点 B 作 BECD 所在的直线,垂足为 E,BE 的延长线交直线 AC 于点 F.当 tanBCD2
3、 时,求 SCBF ;当 AF 时,求线段 AD 的长54【思路点拨】 (1)由正切的定义可知ABC 是一个勾 3,股 4,弦 5 的直角三角形;(2)可通过过点 D 作 DEBC,利用 tanB 找到 DE,BE 的数量关系,再解直角DCE,求得 sinDCB 的值;(3)因为BCDCFB:利用tanCFB 的值,求 CF,进而求 SCBF ;可通过过点 A 作 BC 的平行线交 CD 延长线于点 G,先求 AG,再利用相似求 AD 的长【自主解答】 解:(1)在ABC 中,ACB90,tanB ,43tanB ,AC BC.ACBC 43 43AC 2BC 2AB 2,( BC)2BC 2
4、5 2,BC3.43(2)过点 D 作 DEBC,则 tanB ,43 DEBEBE DE,CEBCBE3 DE.34 34CDBB,CDCB3.CD 2CE 2DE 2,3 2DE 2(3 DE)2,解得 DE .34 7225sinDCB .DEDC 2425(3)BCDFCE90,CFBFCE90,BCDCFB.tanBCDtanCFB2.tanCFB 2,BC3,CF .BCCF 32S CBF .94当点 F 在线段 AC 上时,如图 3,过点 A 作 AGBC 交 CD 延长线于点 G,tanACGtanCBF ,AC4,AG .AGAC CFBC 1112 113AGBC, .A
5、GBC ADBD ,AD .119 AD5 AD 1143图 3 图 4当点 F 在线段 CA 的延长线上,如图 4,过点 A 作 AGBC 交 CD 延长线于点 G.tanACGtanCBF ,AC4,AG7.AGAC CFBC 74AGBC, . .AD .AGBC ADBD 73 AD5 AD 72方 法 指 导1解直角三角形,需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边),可求得其余的边或角2在求解时,一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形,通过锐角三角函数的定义或勾股定理,建构已知或未知之间的桥梁;从而实现求解3若所求的线段(或角)不能直接求解,可以通过作出点到直线的
6、距离或三角形高线,进而转化成直角三角形求解4解直角三角形和相似三角形的性质,是几何求解中的重要工具,【变式训练 1】 如图是由一个角为 60且边长为 1 的菱形组成的网格,每个菱形的顶点称为格点,点 A,B,C都在格点上,则 tanBAC 233【变式训练 2】(2018上海)如图,已知在ABC 中,ABBC5,tanABC .34(1)求边 AC 的长;(2)设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D,求 的值ADDB解:(1)过点 A 作 AEBC,在 RtABE 中,tanABC ,AB5,AEBE 34AE3,BE4.CEBCBE541.在 RtAEC 中,根据勾股定理,得 AC
7、 .32 12 10(2)如图,DF 垂直平分 BC,BDCD,BFCF .524tanDBF ,DF .DFBF 34 158在 RtBFD 中,根据勾股定理,得 BD , AD5 ,则 .( 52) 2 ( 158) 2 258 258 158 ADDB 35重难点 2 解直角三角形的应用(1)如图 1,为了游客的安全,某景点将原坡角为 60的斜坡 AB 改为坡度为 1 的斜坡 AC,已知3AB100 米,BC 在同一水平线上,求改造后斜坡的坡脚向前移动距离 BC 的长;(2)(2018郴州)小亮在某桥附近试飞无人机,如图 2,为了测量无人机飞行的高度 AD,小亮通过操控器指令无人机测得桥
8、头 B,C 的俯角分别为EAB60,EAC30,且 D,B,C 在同一水平线上已知桥 BC30 米,求无人机飞行的高度 AD;(精确到 0.01 米,参考数据: 1.414, 1.732)2 3(3)(2018湘西)如图 3,某市郊外景区内一条笔直的公路 l 经过 A,B 两个景点,景区管委会又开发了风景优美的景点 C.经测量,C 位于 A 的北偏东 60的方向上,C 位于 B 的北偏东 30的方向上,且 AB10 km.求景点 B 与 C 的距离;为了方便游客到景点 C 游玩,景区管委会准备由景点 C 向公路 l 修一条距离最短的公路,不考虑其他因素,求出这条最短公路的长(结果保留根号)【思
9、路点拨】这三个问题均可以通过过点 A 作直线 BC 的垂线,垂足为 D,再利用解直角三角形 ABD 和直角三角形ACD 来解决【自主解答】解:(1)过点 A 作 ADBC 于点 D,在 RtABD 中,ABD60,BDABcosABD100cos6050(米),ADABsinABD50 米3AC 的坡度为 1 ,3ADCD1 .3CD150,BCCDBD15050100(米)改造后斜坡的坡脚向前移动距离 BC 的长是 100 m.(2)由题意,得EAC30,EAB60,AEBC,EACACB30,EABABD60.ABDACBBAC,BACACB30.ABBC30.在 RtABD 中,ADAB
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