2019届河北省中考数学系统复习:第五单元四边形第22讲特殊的平行四边形(8年真题训练)
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1、1第 22 讲 特殊的平行四边形命题点 1 矩形的性质与判定1(2013河北 T123 分)如图,已知线段 AB,BC,ABC90.求作:矩形 ABCD.以下是甲、乙两同学的作业:甲:(1)以点 C 为圆心,AB 长为半径画弧;(2)以点 A 为圆心,BC 长为半径画弧;(3)两弧在 BC 上方交于点D,连接 AD,CD,四边形 ABCD 即为所求(如图 1)乙:(1)连接 AC,作线段 AC 的垂直平分线,交 AC 于点 M;(2)连接 BM 并延长,在延长线上取一点 D,使MDMB,连接 AD,CD,四边形 ABCD 即为所求(如图 2)图 1 图 2对于两人的作业,下列说法正确的是(A)
2、A两人都对 B两人都不对C甲对,乙不对 D甲不对,乙对命题点 2 菱形的性质与判定2(2017河北 T93 分)求证:菱形的两条对角线互相垂直已知:如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC,BD 交于点 O.求证:ACBD.以下是排乱的证明过程:又 BODO;AOBD,即 ACBD;四边形 ABCD 是菱形;ABAD.证明步骤正确的顺序是(B)A BC D3(2013河北 T113 分)如图,菱形 ABCD 中,点 M,N 在 AC 上,MEAD, NFAB.若 NFNM2,ME3,则AN(B)A3 B4 C5 D64(2011河北 T143 分)如图,已知菱形 ABCD,其顶点 A,B
3、在数轴上对应的数分别为4 和 1,则 BC5命题点 3 正方形的性质与判定5(2011河北 T239 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,点 E,K 分别在 BC,AB 上,点 G 在 BA 的延长线上,且CEBKAG.(1)求证:DEDG;DEDG;2(2)尺规作图:以线段 DE,DG 为边作出正方形 DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法和证明);(3)连接(2)中的 KF,猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想;(4)当 时,请直接写出 的值CECB 1n S正 方 形 ABCDS正 方 形 DEFG解:(1)证明:四边形 ABCD 是正方形,DCDA,DCE
4、DAG90.又CEAG,DCEDAG(SAS)DEDG,EDCGDA.又ADEEDC90,ADEGDA90,即GDE90.DEDG.(2)如图(3)猜想:四边形 CEFK 为平行四边形证明:设 CK,DE 相交于 M 点四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形,ABCD,ABCD,EFDG,EFDG.BKAG,KGABCD.四边形 CKGD 是平行四边形CKDGEF,CKDGEF.四边形 CEFK 为平行四边形(4) .S正 方 形 ABCDS正 方 形 DEFG n2n2 1命题点 4 矩形的分割与正方形的拼接6(2014河北 T82 分)如图,将长为 2,宽为 1 的矩形纸片分割成
5、 n 个三角形后,拼成面积为 2 的正方形,则n(A)A2 B3 C4 D57(2015河北 T162 分)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则(A)A甲、乙都可以 B甲、乙都不可以C甲不可以、乙可以 D甲可以、乙不可以命题点 5 特殊四边形之间的联系8(2016河北 T63 分)关于平行四边形 ABCD 的叙述,正确的是(C)A若 ABBC,则平行四边形 ABCD 是菱形3B若 ACBD,则平行四边形 ABCD 是正方形C若 ACBD,则平行四边形 ABCD 是矩形D若 ABAD,则平行四边形 ABCD 是正方形重难点 1 矩形的性
6、质与判定如图,O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,E,F,G,H 分别是 OA,OB,OC,OD 上的点(1)若 AEBFCGDH.求证:四边形 EFGH 是矩形;(2)若 E,F,G,H 分别是 OA,OB,OC,OD 的中点,且 DGAC,OF2,求矩形 ABCD 的面积【思路点拨】(1)在矩形 ABCD 对角线上有条件,同时还在四边形 EFGH 对角线上有条件,所以可通过对角线判定矩形;(2)求矩形 ABCD 的面积可转化成求 AC 与 DG 的积或转化成 AD 与 CD 的积【自主解答】解:(1)证明:四边形 ABCD 是矩形,OAOBOCOD.AEBFCGDH,OEOFOGOH.四
7、边形 EFGH 是矩形(2)四边形 ABCD 是矩形,OAOBOCOD.OE OA,OF OB,OG OC,OH OD,OEOFOGOH.12 12 12 12四边形 EFGH 是矩形DGAC,OG2,OD4.DG2 .3又AC4OF8,S ADC ACDG8 .12 3S 矩形 ABCD2S ADC 16 .3【变式训练 1】如图,四边形 ABCD 是矩形, AH,BH,CN,DN 分别平分DAB,ABC,BCD,CDA.求证:四边形 MNGH 是矩形证明:四边形 ABCD 是矩形,DABABCBCDADC90.AH,BH,CN,DN 分别平分DAB,ABC,BCD,CDA,HABHBADC
8、NCDNMDAMAD 45.HMNAHBCND90.四边形 MNGH 是矩形方 法 指 导1判定矩形的一般思路:首先判定该四边形是平行四边形,然后找角或对角线上的特殊关系若角度易求,则证明一内角为 90即可;若对角线易找,则证明对角线相等即可2利用矩形的性质计算的一般思路:矩形四个内角均为直角,所以常借助勾股定理计算,又因为矩形对角线相等且互相平分,因此常把这一条件转化到同一个三角形中求解注:矩形可以看作两个全等的直角三角形以斜边为重合边拼接而成重难点 2 菱形的性质与判定在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O.4(1)如图 1,若点 E,F 分别为边 AB,AD 的中点,
9、连接 EF,OE,OF,求证:四边形 AEOF 是菱形;图 1 图 2(2)如图 2,若 E,F 分别在射线 DB 和射线 BD 上,且 BEDF.求证:四边形 AECF 是菱形;若AEC60,AE6,ABBE,求 AB 的长【思路点拨】(1)利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半,结合四条边相等的四边形是菱形证明;(2)对于可利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形进行证明,对于可利用菱形的性质,转化到 RtABO 中进行求解【自主解答】解:(1)证明:点 E,F 分别为 AB,AD 的中点,AE AB,AF AD.12 12又四边形 ABCD 是菱形,ABAD,ACBD.E,F 是 AB,A
10、D 的中点,AEAFOFOE.四边形 AEOF 是菱形(2)证明:四边形 ABCD 是菱形,ODOB,OAOC,BDAC.BEDF,OBBEODDF,即 OEOF.四边形 AECF 是菱形四边形 AECF 是菱形,AECE,AOEF,AEOCEO.AEC60,AEO30.AE6,AO3.ABBE,BAEAEB30.ABOAEBBAE60.在 RtAOB 中,AB 2 .AOsin ABO 3sin60 3【变式训练 2】(2018淮安)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 的长分别为 6 和 8,则这个菱形的周长是(A)A20 B24 C40 D48【变式训练 3】如图,在ABCD 中,
11、添加一个条件 ABBC 或 ACBD 使平行四边形 ABCD 是菱形方 法 指 导1判定菱形的一般思路:首先判定该四边形是平行四边形,然后找边或对角线上的特殊关系,若边易找,则证明一组邻边相等即可;若对角线易找,则证明对角线互相垂直即可2利用菱形的性质计算的一般思路:菱形对角线互相垂直平分,所以常借助勾股定理计算,又因为菱形四条边都相等,因此常把这一条件转化同一个三角形中求解注:菱形可以看作两个全等的等腰三角形以底为重合边拼接在一起重难点 3 正方形的性质与判定5已知:在边长为 8 的正方形 ABCD 的各边上截取 AEBFCGDH.(1)如图 1,连接 AF,BG,CH,DE,依次相交于点
12、N,P,Q,M,求证:四边形 MNPQ 是正方形;(2)如图 2,若连接 EF,FG,GH,HE.求证:四边形 EFGH 是正方形;当四边形 EFGH 的面积为 50 cm2时,求 tanFEB 的值图 1 图 2【思路点拨】(1)先证明四边形 MNPQ 是矩形,再证明一组邻边相等;(2)先证明四边形 EFGH 是菱形,再证明它是矩形;利用勾股定理,求 BE,BF,再利用正切三角函数定义求值【自主解答】解:(1)证明:四边形 ABCD 是正方形,ABBCCDDA,BADABCBCDCDA90.在ABF 和BCG 中, AB BC, ABC BCD,BF CG, )ABFBCG(SAS)BAFG
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