2020-2021学年人教版七年级数学上册期中考点专题05：有理数的乘方

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1、2020-2021 学年人教版初一数学上册期中考点专题学年人教版初一数学上册期中考点专题 05 有理数的乘方有理数的乘方 重点突破重点突破 知识点一知识点一 乘方（重点）乘方（重点） 乘方的概念：乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，即 个 ，记作 n a ，读作a的n次方。求n个相同因 数的积的运算，叫做乘方乘方，乘方的结果叫做幂幂。 在 n a 中，a叫做底数底数，n叫做指数指数。 n a 读作a的n次方，也可以读作a的n次幂。 读作读作:a:a 的的 n n 次方次方, ,或者或者 a a 的的 n n 次幂次幂 负数的幂的正负的规律：负数的幂的正负的规律： （易错）（易错） 负数的

2、奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0. 知识点二知识点二 科学记数法科学记数法 把一个大于 10 的数记成10 n a 的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即1 10a ） ，n是正整数， 这样的记数方法叫科学记数法科学记数法。 （用科学记数法表示一个数时，10 的指数比原数的整数位数少 1.） 把10 n a 还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 （易错）（易错） 知识点三知识点三 近似数和有效数字近似数和有效数字 近似数概念：近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数近似数。 （近似数小数点后的末位

3、数是 0 的，不能去掉 0.） 【识别近似数与准确数的方法】【识别近似数与准确数的方法】 语句中带有“约” “左右”等词语，里面出现的数据是近似数。 描述“温度” “身高” “体重”的数据是近似数。 准确数字与实际相符 有效数字概念：有效数字概念：一个近似数从左边第一位非 0 的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字有效数字。一个 近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 精确度精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 （难（难 点）点） 考查题型考查题型 考查题型一考查题型一 有理数幂的概念理解有理数幂的概念

4、理解 典例典例 1 （2018 遵义市期中）对于(2) 4与24，下列说法正确的是( ) A它们的意义相同 B它的结果相等 C它的意义不同，结果相等 D它的意义不同，结果不等 【答案】D 【解析】试题提示： 4 ( 2)的底数是2，指数是 4，结果是 16； 4 2 的底数是 2，指数是 4，它的意思是 2 的四次 方的相反数，结果是16故选 D 变式变式 1-1 （2019 石家庄市期中）下列对于34，叙述正确的是（ ） A读作3的 4 次幂 B底数是3，指数是 4 C表示 4个 3相乘的积的相反数 D表示 4个3 相乘的积 【答案】C 【提示】根据有理数的乘方的含义，以及各部分的名称，逐一

5、判断即可 【详解】因为34读作：负的 3的 4 次幂，所以选项 A不正确； 因为34的底数是 3，指数是 4，所以选项 B不正确； 因为34表示 4个 3 相乘的积的相反数，所以选项 C正确； 因为34表示 4个 3 相乘的积的相反数，所以选项 D不正确 故选 C 【名师点拨】此题主要考查了有理数的乘方的含义，以及各部分的名称，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 乘方的结果叫做幂，在 an中，a 叫做底数，n 叫做指数an读作 a的 n次方 变式变式 1-2 （2019 惠来县期中）下列说法正确的是（ ） A23表示 2 3 B32与（3）2互为相反数 C （4）2中4是底数，2是幂 Da

6、3=（a）3 【答案】B 【提示】根据有理数的乘方的定义对各选项提示判断后利用排除法求解 【详解】A、23表示 2 2 2，故本选项错误； B、-32=-9， （-3）2=9，-9与 9互为相反数，故本选项正确； C、 （-4）2中-4 是底数，2是指数，故本选项错误； D、a3=-（-a）3，故本选项错误 故选 B 【名师点拨】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键 变式变式 1-3 （2019 宝鸡市期中）若 2 a与 2b互为相反数，则a的倒数是（ ） A2 B 1 2 C0 D没有倒数 【答案】D 【提示】根据互为相反数的两个数的和等于 0 列出方程，再根据非负数的性质

7、列方程求出 a、b的值，然后代入代数 式进行计算即可得解 【详解】 2 a与|b-2|互为相反数， 2 a+|b-2|=0， 2 a=0，b-2=0， 解得 a=0，b=2， 则a没有倒数 故选 D 【名师点拨】此题考查非负数的性质，解题关键在于几个非负数的和为 0时，这几个非负数都为 0 考查题型二考查题型二 有理数乘方运算有理数乘方运算 典例典例 2 （2019 赣州市期中）13 世纪数学家斐波那契的计算书中有这样一个问题：“在罗马有 7位老妇人，每人 赶着 7 头毛驴，每头驴驮着 7只口袋，每只口袋里装着 7 个面包，每个面包附有 7 把餐刀，每把餐刀有 7 只刀鞘”， 则刀鞘数为( )

8、 A42 B49 C76 D77 【答案】C 【解析】试题提示：有理数乘方的定义：求 n 个相同因数积的运算，叫做乘方依此即可求解依题意有，刀鞘数 为 76 变式变式 2-1 （2019 马鞍山市期中）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（ ） A23和 32 B33和（3）3 C22和（2）2 D 3 2 3 和 3 2 3 【答案】B 【解析】A选项中，因为 32 28 ? 39，所以 A 中两个数运算结果不等； B选项中，因为 33 327 ? ( 3)27 ，所以 B中两个数的运算结果相等； C选项中，因为 22 24 ? ( 2)4 ，所以 C中两个数的运算结果不相等； D选项中，

9、因为 3 2 2428 ()? 3933 ，所以 D中两个数的运算结果不相等； 故选 B. 变式变式 2-2 （2018 赤峰市 ）计算( 5 3 )2017 (0.6)2018的结果是( ) A 5 3 B 5 3 C0.6 D0.6 【答案】D 【提示】逆用积的乘方解答即可 【详解】 2017 20185 0.6 3 ， = 20172018 53 35 ， = 20172017 533 ( )()() 355 ， = 2017 533 ()() 355 ， =-1 3 () 5 ， = 3 5 . 故选 D. 【名师点拨】此题幂的乘方与积的乘方，关键是根据积的乘方的逆运算解答 考查题型三

10、考查题型三 乘方运算的符号规律乘方运算的符号规律 典例典例 3 （2019 兴仁市期中）在（1）5、 （1）4、23， （3）2这四个数中，负数有几个（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【答案】C 【提示】根据有理数的乘方：“负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数”即可解答. 【详解】 （1）5 = -5，负数的奇次幂是负数； （1）4 = 4，负数的偶次幂是正数； 23 = -8，表示 2 的 3 次方的相反数； （3）2 = 9，负数的偶次幂是正数； 故负数有 2 个，故选 C. 【名师点拨】本题考查了有理数的乘方，注意“负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数”. 变式变式 3

11、-1 （2017 马鞍山期末）计算(1)2016+ (1)2017的结果是（ ） A0 B1 C2 D2 【答案】A 【解析】 （-1）2016+（-1）2017=1+（-1）=0，故选 A. 变式变式 3-2 （2019 大庆市期末）a，b互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（ ） Aa2与 b2 Ba3与 b5 Ca2n与 b2n （n 为正整数） Da2n+1与 b2n+1（n为正整数） 【答案】D 【提示】依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判断即可 【详解】解：A选项：a，b 互为相反数，则 a2=b2，故 A 错误； B选项：a，b 互为相反数，则 a3=-b3，故 a3

12、与 b5不是互为相反数，故 B错误； C选项：a，b 互为相反数，则 a2n=b2n，故 C错误； D选项：a，b互为相反数，由于 2n+1是奇数，则 a2n+1与 b2n+1互为相反数，故 D正确； 故选 D 【名师点拨】考查了相反数和乘方的意义，明确只有符号不同的两个数叫做互为相反数，还要熟练掌握互为相反数 的两个数的偶数次方相等，奇次方还是互为相反数 考查题型四考查题型四 乘方的应用乘方的应用 典例典例 4 （2020 衡水市期中）一根 1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后 剩下的绳子长度为（ ） A 3 1 2 米 B 5 1 2 米 C 6 1 2

13、米 D 12 1 2 米 【答案】C 【提示】根据乘方的意义和题意可知：第 2次后剩下的绳子的长度为( 1 2 )2米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳 子的长度为( 1 2 )6米 【详解】1- 1 2 = 1 2 ， 第 2 次后剩下的绳子的长度为( 1 2 )2米； 依此类推第六次后剩下的绳子的长度为( 1 2 )6米 故选 C 【名师点拨】此题主要考查了乘方的意义其中解题是正确理解题意是解题的关键，能够根据题意列出代数式是解 题主要步骤 变式变式 4-1 （2018 张家口市期末）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个） ，若这种细菌由 1 个分裂为 64 个，则这个

14、过程要经过（ ） A1 小时 B2 小时 C3 小时 D4 小时 【答案】C 【提示】根据已知可知 1个细胞从第 1次到第 3 次所分裂的细胞个数分别为 21个,22个,23个,从而得出第 n次细胞分 裂后的细胞个数. 【详解】解:根据已知可知： 一个细胞第一次分裂成 21个， 第二次分裂成 22个， 第三次分裂成 23个， 由上述规律可知， 第 n次时细胞分裂的个数为 2n个， 设第 x 次分裂成 64 个， 由题意得 2x=64， 解得 x=6， 即第 6 次分裂细菌分裂成 64 个， 答:由每半小时分裂一次，此细菌由 1 个分裂成 64 个，共花费了 3个小时. 故答案选C. 【名师点拨

15、】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方的相关知识点. 变式变式 4-2 （2018 郑州市期末）远古时期，人们通过在绳子上打结来的记录数量，即“结绳计数”，如图，一位母亲 在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 （ ） A336 B510 C1326 D3603 【答案】B 【提示】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数 73+百位上的数 72+十位上 的数 7+个位上的数 【详解】解：孩子自出生后的天数是 1 73+3 72+2 7+6=510. 故选 B. 【名师点拨】本题是

16、以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据 图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力 考查题型五考查题型五 含乘方的有理数加减乘除混合运算含乘方的有理数加减乘除混合运算 典例典例 5 （2019 乌海市期中）计算: （1） 2016 3351 ()()( 1) 461212 （2） 222 1 ( 2)2( 10) 4 （3） 432 211 2(0.5)( 3)( 3) 0.5 338 【答案】 （1） 1 4 ； （2）-25； （3） 7 3 8 【解析】试题提示： (1) 易知在本小题式子

17、最后的乘方运算得 1，整个算式转化为有理数的加减混合运算. 运算时，可以将分母相同的分 数结合在一起运算，也可以将符号不同的数结合在一起运算，不难得到最终结果. (2) 先处理乘方运算和绝对值，再按照有理数的四则运算法则进行运算. (3) 先将小数形式化为分数形式并将除法转化为相应的乘法运算，然后按照有理数的四则运算法则进行运算. 试题解析： (1) 20163351 1 461212 = 3351 1 461212 = 3151 1 421212 = 311 1 422 = 311 1 422 = 3 1 4 = 1 4 (2) 22 2 1 2210 4 = 1 44100 4 =-25

18、(3) 3 42 211 20.5330.5 338 = 1211 163327 2384 = 121 163324 238 = 31 16224 28 = 11 1624 28 = 1 16 12 8 = 7 3 8 变式变式 5-1 （2019 武汉市期中）计算 （1）（35）+32 （13） （2）32 3 122 ( 1 ) 293 【答案】 （1）16； （2）8 11 12 【提示】 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （2）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减即即可. 【详解】解： （1）（35）+32 （13） =（2）+9 （2） =2+（18） =16； （2）3

19、2 3 122 1 293 =9（ 27 8 ）2 9 2 3 =9+ 3 4 2 3 =8 11 12 【名师点拨】本题考查有理数的混合运算，解题关键是运算顺序、乘方、绝对值化简. 考查题型六考查题型六 用科学记数法表示绝对值大于用科学记数法表示绝对值大于 1 1 的数的数 典例典例 6 （2020 黄石市期末）我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一 带一路”地区覆盖总 人口为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为( ) A4.410 8 B4.4010 8 C4.410 9 D4.410 10 【答案】C 【提示】科学记数法的表示形式为 a

20、10 n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是负数 【详解】解：4 400 000 000=4.410 9， 故选 C 变式变式 6-1 （2019 鹤壁市期末）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达 214.7亿元，数据“214.7亿” 用科学记数法表示为（ ） A2.147 102 B0.2147 103 C2.147 1010 D0.2147 1011 【答案】C 【解析】提示：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式

21、，其中 1|a|10，n为整数确定 n 的值时，要看把原数变 成 a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n是正数；当原数的绝 对值1时，n 是负数 详解：214.7亿，用科学记数法表示为 2.147 1010， 故选 C 变式变式 6-2 （2020 周口市期末） 一个整数 8155500 用科学记数法表示为 8.1555 1010， 则原数中“0”的个数为 （ ） A4 B6 C7 D10 【答案】B 【提示】把 8.1555 1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得 【详解】8.1555 1010表示的原数为 81555000000， 原数

22、中“0”的个数为 6， 故选 B 【名师点拨】 本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数， 科学记数法的表示的数 a 10n还成成原数时， n0时，小数点就向右移动 n位得到原数；n0 时，小数点则向左移动|n|位得到原数. 考查题型七考查题型七 将用科学记数法表示的数变回原数将用科学记数法表示的数变回原数 典例典例 7 （2019 周口市期中）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程截止去年 9 月底，各 地已累计完成投资 11 1.002 10 元数据 11 1.002 10 可以表示为（ ） A10.02 亿 B100.2 亿 C1002 亿 D10020 亿 【答案】C

23、【提示】科学记数法的标准形式为 a10n(1|a|10，n为整数)，本题数据“1.0021011”中的 a=1.002，指数 n等 于 11，所以，需要把 1.002 的小数点向右移动 11 位，得到原数，继而根据数位进行表示即可 【详解】1.0021011 =1.002100000000000 =100200000000 =1002亿， 故选 C 【名师点拨】本题考查写出用科学记数法表示的原数将科学记数法 a10n表示的数，“还原”成通常表示的数， 就是把 a的小数点向右移动 n位所得到的数把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的 过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一

24、个数是否正确的方法 变式变式 7-1 （2018 朝阳区期中）长江三峡工程电站的总装机容量用科学记数法表示为 7 1.82 10千瓦，把它写成原数 是（ ） A182000千瓦 B182000000 千瓦 C18200000 千瓦 D1820000千瓦 【答案】C 【提示】把数据 1.82 107写成原数，就是把 1.82的小数点向右移动 7位 【详解】把数据 1.82 107中 1.82 的小数点向右移动 7 位就可以得到，为 18 200 000 故选 C 【名师点拨】用科学记数法 a 10n表示的数还原成原数时，n 是几，小数点就向后移几位 变式变式 7-2 （2020 保定市期末）用科

25、学记数法表示的数 3.61 108它的原数是（ ） A36100000000 B3610000000 C361000000 D36100000 【答案】C 【提示】科学记数法的标准形式为 a 10n（1|a|10，n为整数） 本题把数据“3.61 108中 3.61 的小数点向左移动 8 位就可以得到 【详解】解：3.61 108=3.61100000000=361000000， 故选 C 【名师点拨】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n0 时，n 是几，小数点就向右移几 位 考查题型八考查题型八 求一个数的近似数求一个数的近似数 典例典例 8 （2020 嘉峪关市期末）

26、用四舍五入法按要求对 0.050 19 分别取近似值，其中错误 的是（ ） A0.1（精确到 0.1） B0.05（精确到百分位） C0.05（精确到千分位） D0.050 2（精确到 0.000 1） 【答案】C 【提示】一个近似数的有效数字是从左边第一个不为 0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字，精确到 哪位，就是对它后边一位进行四舍五入. 【详解】A：0.05019精确到 0.1 是 0.1，正确； B：0.05019精确到百分位是 0.05，正确； C：0.05019精确到千分位是 0.050，错误； D：0.05019精确到 0.0001是 0.0502，正确 本题要选择错

27、误的，故答案选择 C. 【名师点拨】 本题考查的是近似数， 近似数和精确数的接近程度可以用精确度表示 一个近似数四舍五入到哪一位， 就称这个数精确到哪一位，精确度就是精确程度. 变式变式 8-1 （2020 河池市期末）用四舍五入法按要求对 0.05049 分别取近似值，其中错误的是（ ） A0.1（精确到 0.1） B0.05（精确到百分位） C0.05（精确到千分位） D0.050（精确到 0.001） 【答案】C 【解析】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一提示即可 解答：解：A、0.05049 精确到 0.1 应保留一个有效数字，故是 0.1，故本选项正确； B、0.05049

28、 精确到百分位应保留一个有效数字，故是 0.05，故本选项正确； C、0.05049 精确到千分位应是 0.050，故本选项错误； D、0.05049 精确到 0.001 应是 0.050，故本选项正确 故选 C 变式变式 8-2 （2019 武汉市期末）用四舍五入法对 2.098176取近似值，其中正确的是（ ） A2.09（精确到 0.01） B2.098（精确到千分位） C2.0（精确到十分位） D2.0981（精确到 0.0001） 【答案】B 【解析】试题解析：A、2.0981762.10（精确到 0.01） ，所以 A 选项错误； B、2.0981762.098（精确到千分位） ，所以 B 选项正确； C、2.0981762.0（精确到十分位） ，所以 C选项错误； D、2.0981762.0982（精确到 0.0001） ，所以 D选项错误 故选 B