【BSD版春季课程初三数学】第8讲：确定二次的函数的表达式学案（学生版）

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1、 确定二次的函数的表达式 第8讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.用一般式确定二次函数表达式 2.用顶点式确定二次函数表达式 3.用交点式确定二次函数表达式 教学目标 1.掌握二次函数的表达式的确定方法 2.掌握用不同的表达式形式来求解. 教学重点 能熟练掌握二次函数的表达式的确定方法 教学难点 能熟练掌握二次函数的表达式的确定方法 【教学建议】【教学建议】 二次函数表达式的确定是中考中的必考内容，一般是作为二次函数压轴题的第一问来考的。在教学中， 教师要把确定二次函数解析式的三种常见形式（一般式、顶点式、交点式）给学生讲清

2、来龙去脉，要让学 生知其然知其所以然，这样在实际做题中才能避免不知如何选择，套用哪种形式的问题。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难： 1. 三种解析式的由来； 2. 设哪种解析式； 【知识导图】【知识导图】 【教学建议】【教学建议】 确定二次的函数的表达式 用一般式确定二次函数表达式 用顶点式确定二次函数表达式 用交点式确定二次函数表达式 概述 教学过程 一、导入 二次函数是中考数学中最重要的内容之一，属于中考数学的必考内容，也是难点内容，而要想研究二次函 数，必须首先知道二次函数的解析式，所以有关二次函数的压轴题的第一问往往都是要根据题意来求二次 函数的解析式。教师在教学中一定要重

3、视这块内容，大家都知道，如果二次函数的解析式求错了的话，就 没有必要往下做了，做了也得不到分。这就要求我们老师要强调，求二次函数解析式后，一定要用原有的 点的坐标代入你所求的二次函数的解析式，以检验所求的二次函数的解析式是否正确。 1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为) 0( 2 acbxaxy，代入后得到一个三元一次方程，解之 即可得到cba,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式. 2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤： 步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式 y=ax 2+bx+c(a0)； 步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数 a

4、、b、c 的方程组； 步骤三：解这个方程组，得到待定系数 a、b、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式. 已知二次函数的顶点坐标为（h,k）的话，可以设成顶点式：y=a(x-h) 2+k（a、h、k 为常数且 a0） 然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得 a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二 次函数的解析式化成一般式）。 如果知道抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别为 A（x1,0）和 B（x2,0）两点，这时可以设二次函数的解析式 是)( 21 xxxxay，这种形式，我们称为二次函数的交点式。 设出交点式后，只需再找出二次函数图象上的一点，把

5、它带入二次函数的交点式，解方程即可求得 a 的值， 最后回代到交点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。 二、知识讲解 知识点 1 用一般式确定二次函数表达式 知识点 2 用顶点式确定二次函数表达式 知识点 3 用交点式确定二次函数表达式 【题干】已知二次函数的图象经过点(0,3)，(3,0)，(2,5)，且与 x 轴交于 A、B 两点。 (1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点 C 的坐标； (3)判断点 P(2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出PAB 的面积；如果不在，试说明理由。 【题干】【题干】已知抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象顶

6、点为(2,3)，且过(1,5)，则抛物线的表达式为_. 【题干】【题干】抛物线 yax 2bxc 过(-3，0)，(1，0)两点，与 y 轴的交点为(0，4)，则该抛物线的表达式 为 【题干】【题干】已知二次函数 y=ax 2+bx+c，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 4 y 8 3 0 -1 0 3 （1）求该二次函数表达式； （2）求 y 的最值； 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在二次函数解析式的三种求法上，先把这三种解析式设 法的原理讲清楚，然后再配以典型的例题，把例题讲透，再给学生做针对性的练习。 三、例题

7、精析 例题 1 例题 2 例题 3 例题 4 四 、课堂运用 1.已知抛物线 yax 2bxc，当 x=2 时，y 有最大值 4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 . 2.有一个二次函数，当 x-1 时，y 随 x 的增大而增大；当 x-1 时，y 随 x 的增大而减小；且当 x=-1 时， y=3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式. 3.有一个二次函数，当 x-1 时，y 随 x 的增大而增大；当 x-1 时，y 随 x 的增大而减小；且当 x=-1 时， y=3，它的图象经过点（2，0），请用交点式求这个二次函数的表达式. 1.由表格中的信息可知，若设 yax

8、 2bxc,则下列 y 与 x 之间的函数表达式正确的（ ） x 1 0 1 ax 2 1 ax 2bxc 4 6 A. yx 2x4 B. yx2x6 C. yx 2x4 D. yx2x6 2.抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点为（-1，0）， （3，0），其形状与抛物线 y=-2x2相同，则 y=ax2+bx+c 的函数表达式为_. 3.已知二次函数 y=x 2+bx+c 的图象经过点 A（-1，0），B（1，-2），该图象与 x 轴的另一个交点为 C，则 AC 长为_. 基础 巩固 1.抛物线nmxxmy6)1 ( 2 经过点 A(1,0)，B（5,0）. （1）求这个

9、抛物线对应的函数表达式； （2）记抛物线的顶点为 C,设 D 为抛物线上一点，求使 S ABD =3S ABC 时点 D 的坐标. 2.如图所示，二次函数 y=x 2+bx+c 的图象经过点 M（1，-2），N（-1，6） （1）求二次函数 y=x 2+bx+c 的表达式； （2）把 RtABC 放在坐标系内，其中CAB=90点 A、B 的坐标分别为（1，0）,（4，0）BC=5,将ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在抛物线上时，求ABC 平移的距离. 3.如图所示，抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点为 M（-2，-4），与 x 轴交于 A、B 两点，且 A（-6，0），与 y 轴

10、交于点 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）求ABC 的面积。 拔高 1. 用一般式确定二次函数表达式的方法 一般式：y=ax 2+bx+c（a、b、c 为常数且 a0） 2. 用顶点式确定二次函数表达式的方法 顶点式：y=a(x-h) 2+k（a、h、k 为常数且 a0），点（h,k）为顶点坐标 3.用交点式确定二次函数表达式的方法 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a、x1、x2为常数且 a0） 1. 抛物线 yax 2bxc 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 . 2. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式

11、。 3.如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为(1，4)，抛物线与 x 轴相交于 B、C 两点，与 y 轴交于点 E(0，3) （1）求抛物线的表达式； （2）已知点 F(0，3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EGFG 最小，如果存在，求出 点 G 的坐标；如果不存在，请说明理由。 课堂小结 拓展延伸 基础 1.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)，如图，直线 y=1 4x 与抛物线 交于 A、B 两点，直线 l 为 y= 1. (1) 求抛物线的解析式； (2) 在 l 上是否存在一点 P，使 PA+PB 取得最小值？若存在，求出点

12、P 的坐标;若不存在，请说明理由。 2.已知二次函数y 2 3 16 xbxc的图象经过 A（0，3），B（4， 9 2 ）两点 （1）求b，c的值； （2）二次函数y 2 3 16 xbxc的图象与x轴是否存在公共点？若有求公共点的坐标；若没有，请说 明理由 3.如图，经过点 A(0，-6)的抛物线 y= 2 1 x 2+bx+c 与 x 轴相交于 B(-2，0)，C 两点 （1）求此抛物线的函数表达式和顶点 D 的坐标； 巩固 （2）将（1）中求得的抛物线向左平移 1 个单位长度，再向上平移 m(m0)个单位长度得到新抛物线 y1， 若新抛物线 y1的顶点 P 在ABC 内，求 m 的取值

13、范围； 1.如图，已知二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴相交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴相交于点 C（0，3） （1）求这个二次函数的表达式； （2）若 P 是第四象限内这个二次函数图象上任意一点，PHx 轴于点 H，与 BC 交于点 M，连接 PC 求线段 PM 的最大值； 当PCM 是以 PM 为一腰的等腰三角形时，求点 P 的坐标 2.抛物线 2 1 3 yxbxc 经过点 A(3 3， 0)和点 B(0， 3)， 且这个抛物线的对称轴为直线 l， 顶点为 C （1）求抛物线的解析式； （2）连接 AB、AC、BC，求ABC 的面积 x y M H B A C O P 拔高 3.在平面直角坐标系xOy中，直线44yx与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线 2 3yaxbxa经过 点A，将点B向右平移 5 个单位长度，得到点C （1）求点C的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围