【BSD版春季课程初三数学】第16讲:切线长定理及圆内接正多边形学案(教师版)
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1、 切线长定理及圆内接正多边形 第16讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长(分钟) 120 知识点 1.切线长定理 2.圆内接正多边形 教学目标 1.掌握切线长定理的内容 2.掌握圆内接正多边形的画法及相关的性质 教学重点 能熟练掌握切线长定理 教学难点 能熟练掌握切线长定理 【教学建议】【教学建议】 切线长定理在中考数学中考察的频次较高,与圆内接多边形相关的计算问题常在小题中单独考察。教 师在教学中要把主要精力放在切线长定理上,帮助学生多总结,多反思。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难: 1. 切线长定理的应用问题。 2. 与圆内接多边形相关的
2、计算。 【知识导图】【知识导图】 【教学建议】【教学建议】 切线长定理及圆内接正多边形 切线长定理 圆内接正多边形 切线长定理 利用切线长定理证明 正多边形及有关概念 正多边形的有关计算 正多边形有关的证明 概述 教学过程 一、导入 切线长定理在中考数学中考察的频次较高,多以综合题的形式出现,而且难度不低,教师在教学中要给予 重视,加大训练的力度。与圆内接多边形相关的计算问题常在小题中单独考察,知识点较单一,属于容易 题,教师在教学中不必在这个知识点上深挖。 切线长与切线长定理 切线长与切线长定理 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段长叫做点到圆的切线长如图,PA 是O 的切线,切
3、点为 A,则 PA 是点 P 到O 的切线长 切线长定理:从圆外一点可引圆的两条切线,他们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角 示意图 切线长定理的证明 如图,连接 OA 和 OB PA 和 PB 是O 的两条切线, OAAP,OBBP 又 OAOB,OPOP, RtAOPRtBOP PAPB,APOBPO 把圆分成 n(n3)等份: (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形; (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 二、知识讲解 知识点 1 切线长定理 知识点 2 圆内接正多边形 三、例题精析 【题干】1.下列说
4、法正确的是( ) A 过任意一点总可以作圆的两条切线 B 圆的切线长就是圆的切线的长度 C 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D 过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据切线长定理即可得。 【题干】【题干】 如图, I 为ABC的内切圆, 点D E,分别为边ABAC,上的点, 且DE为I 的切线, 若ABC 的周长为 21,BC边的长为 6,则ADE的周长为( ) A15 B8 C9 D75 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据切线长定理即可得。 【题干】【题干】已知:以 RtABC 的直角边 AB 为直径作O,与斜边 AC 交于点 D,过点
5、D 作O 的切线交 BC 边于点 E. 如图,求证:EB=EC=ED; 例题 1 例题 2 例题 3 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明:连接 BD. 由于 ED、EB 是O 的切线,由切线长定理,得 ED=EB,DEO=BEO, OE 垂直平分 BD. 又AB 是O 的直径,ADBD.ADOE.即 OEAC. 又 O 为 AB 的中点, OE 为ABC 的中位线,BE=EC, EB=EC=ED. 【题干】【题干】如图,在正五边形 ABCDE 中,对角线 AD CE 相交于 F,求证 (1)三角形 AEF 是等腰三角形 (2)四边形 ABCE 是等腰梯形 (3)四边形 ABCF 是菱
6、形 例题 4 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明:(1)AE = DE = CD EAD、DCE 都是等腰三角形,且顶角都是 108,所以每个底角都是 36,即EAF = CED = 36 AEF = AED - CED = 180 - 36 = 72 AFE = 180 - EAF - AEF = 180 - 36 - 72 = 72 即AEF = AFE, AEF 是等腰三角形 (2)BAD = BAE - EAF = 108 - 36 = 72 B + BAD = 180, BCAD, 又AB = CD, 四边形 ABCE 是等腰梯形 (3)根据 1,可知 AF = AE, A
7、F = BC, 四边形 ABCF 是平行四边形(一对边平行且相等) 又临边 AB = BC, 四边形 ABCF 是菱形。 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中,教师可以以中考真题入手,先把例题讲解清晰,再给学生做针对性的练习。 1.如图,PA 切O 于 A,PB 切O 于 B,连接 OP,AB,下列结论不一定正确的是( ) 四 、课堂运用 基础 A PA=PB B.OP 垂直平分 AB C.OPA=OPB D.PA =AB 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据切线长定理即可得。 2.如图,PA,PB 是O 的切线,切点为 AB,BC 是O 的直径,连接 AB,AC,OP (1)APB2A
8、BC (2)ACOP 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 (1)连接 AO.易知APB+AOB=180 AOC+AOB=180 APB=AOC,AOC=2ABC(圆心角与圆周角) APB2ABC (2)证明:连接 OA,OB ,AB PA,PB 是O 的切线 OAP=OBP=90 OA=OB,OP=OP OAPOBP PA=PB,APO=BPO ABPO BC 是直径 BAC=90 即 ABACACPO 3.如图,正六边形 ABCDEF 内接于圆 O,半径为 4,则这个正六边形的圆心 O 到 BC 的距离 OM 和弧 BC 的长分别为( ) A2、 3 B32、 4 3 C3、 2 3
9、D32、 【答案】【答案】B 【解析】【解析】正六边形的中心角是 60,解直角三角形即可得。 4.已知:如图,ABC 是O 的内接等腰三角形,顶角BAC=36,弦 BD、CE 分别平分ABC、ACB. 求证:五边形 AEBCD 是正五边形。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明:AB=AC, ABC=ACB, 又BAC=36 , ABC=ACB=72 . 又BD、CE 平分ABC、ACB. BAC=BCE=ACE=ABD=DBC=36 易证五边形 AEBCD 为正五边形 1.如图,半圆 O 与等腰直角三角形两腰 CA、CB 分别切于点 D、E,直径 FG 在 AB 上,若 BG= 2-
10、1,则 ABC 的周长是 【答案】【答案】4+22 【解析】【解析】提示:切线长定理。 2.如图,由 7 个形状,大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,已知每个正六边 形的边长为 1,ABC 的顶点都在格点上,则ABC 的面积是( ) A. 3 B.23 C.2 D.33 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据圆内接多边形的中心角度数,结合解直角三角形即可得。 3.如图,一圆内切四边形 ABCD,且 AB=16,CD=10,则四边形的周长为 巩固 【答案】【答案】52 【解析】【解析】根据切线长定理即可得。 4.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA PB,切点分别为A
11、 B,如果APB=60,PA=8,那么 弦 AB 的长是 . 【答案】【答案】8 【解析】【解析】根据切线长定理,构造直角三角形,解之即可。 1.如图,PA 和 PB 是O 的切线,点 A 和 B 是切点,AC 是O 的直径,已知P=40 ,则ACB 的大小 是( )。 A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 【答案】【答案】C 【解析】【解析】可根据切线长定理一步步推导出来;因为是选择题也可直接根据弦切角定理直接写出答案。 2.ABC 外切于O,切点分别为点 D、E、F,A=60,BC=7,O 的半径为 拔高 (1)求 BF+CE 的值; (2)求ABC 的周长 【答案】【答案】见解
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