【BSD版春季课程初三数学】第8讲:确定二次的函数的表达式学案(教师版)
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1、 确定二次的函数的表达式 第8讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长(分钟) 120 知识点 1.用一般式确定二次函数表达式 2.用顶点式确定二次函数表达式 3.用交点式确定二次函数表达式 教学目标 1.掌握二次函数的表达式的确定方法 2.掌握用不同的表达式形式来求解. 教学重点 能熟练掌握二次函数的表达式的确定方法 教学难点 能熟练掌握二次函数的表达式的确定方法 【教学建议】【教学建议】 二次函数表达式的确定是中考中的必考内容,一般是作为二次函数压轴题的第一问来考的。在教学中, 教师要把确定二次函数解析式的三种常见形式(一般式、顶点式、交点式)给学生讲清
2、来龙去脉,要让学 生知其然知其所以然,这样在实际做题中才能避免不知如何选择,套用哪种形式的问题。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难: 1. 三种解析式的由来; 2. 设哪种解析式; 【知识导图】【知识导图】 【教学建议】【教学建议】 确定二次的函数的表达式 用一般式确定二次函数表达式 用顶点式确定二次函数表达式 用交点式确定二次函数表达式 概述 教学过程 一、导入 二次函数是中考数学中最重要的内容之一,属于中考数学的必考内容,也是难点内容,而要想研究二次函 数,必须首先知道二次函数的解析式,所以有关二次函数的压轴题的第一问往往都是要根据题意来求二次 函数的解析式。教师在教学中一定要重
3、视这块内容,大家都知道,如果二次函数的解析式求错了的话,就 没有必要往下做了,做了也得不到分。这就要求我们老师要强调,求二次函数解析式后,一定要用原有的 点的坐标代入你所求的二次函数的解析式,以检验所求的二次函数的解析式是否正确。 1.已知抛物线上的三点坐标,可以设函数解析式为) 0( 2 acbxaxy,代入后得到一个三元一次方程,解之 即可得到cba,的值,从而求出函数解析式,这种解析式叫一般式. 2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤: 步骤一:设含有待定系数的二次函数表达式 y=ax 2+bx+c(a0); 步骤二:将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式,得到关于待定系数 a
4、、b、c 的方程组; 步骤三:解这个方程组,得到待定系数 a、b、c 的值; 步骤四:将待定系数的值代入表达式,得到所求函数表达式. 已知二次函数的顶点坐标为(h,k)的话,可以设成顶点式:y=a(x-h) 2+k(a、h、k 为常数且 a0) 然后再找一点带入二次函数的顶点式,即可求得 a 的值,最后回代到顶点式即可(提示:最后一般要把二 次函数的解析式化成一般式)。 如果知道抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别为 A(x1,0)和 B(x2,0)两点,这时可以设二次函数的解析式 是)( 21 xxxxay,这种形式,我们称为二次函数的交点式。 设出交点式后,只需再找出二次函数图象上的一点,把
5、它带入二次函数的交点式,解方程即可求得 a 的值, 最后回代到交点式即可(提示:最后一般要把二次函数的解析式化成一般式)。 二、知识讲解 知识点 1 用一般式确定二次函数表达式 知识点 2 用顶点式确定二次函数表达式 知识点 3 用交点式确定二次函数表达式 【题干】已知二次函数的图象经过点(0,3),(3,0),(2,5),且与 x 轴交于 A、B 两点。 (1)试确定此二次函数的解析式; (2)求出抛物线的顶点 C 的坐标; (3)判断点 P(2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在,请求出PAB 的面积;如果不在,试说明理由。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)设二次函数的解
6、析式为 y=ax 2+bx+c, 二次函数的图象经过点(0,3),(3,0),(2,5), 所以 524 039 3 cba cba c ,解得: 3 2 1 c b a 二次函数的解析式为:y=x 22x+3, (2) C(1,4), (3) SPAB=1243=6. 【题干】【题干】已知抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象顶点为(2,3),且过(1,5),则抛物线的表达式为_. 【答案】【答案】y=2x 2+8x+11 【解析】【解析】设函数的解析式是:y=a(x+2) 2+3,把(1,5),代入解析式得到 a=2, 因而解析式是:y=2(x+2) 2+3 即 y=2x2+8x+11.
7、【题干】【题干】抛物线 yax 2bxc 过(-3,0),(1,0)两点,与 y 轴的交点为(0,4),则该抛物线的表达式 为 【答案】【答案】4 3 8 3 4 2 xxy 三、例题精析 例题 1 例题 2 例题 3 【解析】【解析】采用待定系数法,将三点分别代入 yax 2bxc 中得: 4 0 039 c cba cba ,解得 4 3 8 3 4 c b a 所以此抛物线的表达式为4 3 8 3 4 2 xxy. 【题干】【题干】已知二次函数 y=ax 2+bx+c,函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表: x -1 0 1 2 3 4 y 8 3 0 -1 0 3 (1)求该二次
8、函数表达式; (2)求 y 的最值; 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)解法一:由于二次函数表达式为:y=ax 2+bx+c,根据其表中信息,选取三点坐标代入构成方 程组为: 0 3 8 cba c cba ,解得:a=1,b=-4,c=3. 所以该二次函数表达式为:y=x 2-4x+3. 解法二:观察图表数据,可知当 x=2 时,y 取最小值为-1,故 x=2 为该二次函数图象的对称轴,且(2,-1) 为该抛物线的顶点,因此可根据顶点式设抛物线为 y=a(x-2) 2-1,然后将任意一个非顶点坐标(0,3)代入 表达式中求得 a=1,求得二次函数表达式 y=(x-2) 2-1 (
9、2)y=x 2-4x+3=(x-2)2-1,故当 x=2 时,y 最小值为-1. 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中,教师可以以中考真题入手,重点放在二次函数解析式的三种求法上,先把这三种解析式设 法的原理讲清楚,然后再配以典型的例题,把例题讲透,再给学生做针对性的练习。 例题 4 四 、课堂运用 1.已知抛物线 yax 2bxc,当 x=2 时,y 有最大值 4,且过(1,2)点,此抛物线的表达式为 . 【答案】【答案】482 2 xxy 【解析】【解析】因为当 x=2 时,y 有最大值 4,所以此抛物线的顶点坐标为(2,4),即可采用顶点式来求此抛物线 的表达式, 设此抛物线的表达式为
10、4)2( 2 xay, 因为它过(1, 2)点, 所以24)21 ( 2 a, 解得 a=-2, 则所求抛物线的表达式4)2(2 2 xy,即482 2 xxy. 2.有一个二次函数,当 x-1 时,y 随 x 的增大而增大;当 x-1 时,y 随 x 的增大而减小;且当 x=-1 时, y=3,它的图象经过点(2,0),请用顶点式求这个二次函数的表达式. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】由题意根据抛物线的增减性可知其对称轴为 x=-1,而当 x=-1 时,y=3,故可知二次函数的顶点坐 标为(-1,3),设抛物线的表达式为 y=a(x+1) 2+3,又抛物线过点(2,0), 将其代入
11、表达式中得:0=9a+3,即 a= 3 1 .该二次函数的表达式为:y= 3 1 (x+1) 2+3= 3 1 x 2- 3 2 x+ 3 8 . 3.有一个二次函数,当 x-1 时,y 随 x 的增大而增大;当 x-1 时,y 随 x 的增大而减小;且当 x=-1 时, y=3,它的图象经过点(2,0),请用交点式求这个二次函数的表达式. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】根据二次函数的增减性可知抛物线的对称轴为 x=-1, 而抛物线过点(2,0),根据其图象对称性,可知抛物线过点(-4,0), 故可根据交点式设抛物线的表达式为 y=a(x-2)(x+4).又抛物线过(-1,3), 3
12、=a(-1-2)(-1+4).解得:a= 3 1 . 该二次函数的表达式为:y= 3 1 (x-2)(x+4)= 3 1 x 2- 3 2 x+ 3 8 . 1.由表格中的信息可知,若设 yax 2bxc,则下列 y 与 x 之间的函数表达式正确的( ) x 1 0 1 基础 巩固 ax 2 1 ax 2bxc 4 6 A. yx 2x4 B. yx2x6 C. yx 2x4 D. yx2x6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】当 x=1 时,(1) 2a=1,解得 a=1;当 x=0 时,c=4;当 x=1 时,a+b+c=6,把 a=1,c=4 代入解得 b=1; 所求表达式为 yx 2
13、x4. 2.抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点为(-1,0), (3,0),其形状与抛物线 y=-2x2相同,则 y=ax2+bx+c 的函数表达式为_. 【答案】【答案】y=-2x 2+4x+6 【解析】【解析】根据题意 a=-2,所以设所求抛物线表达式为 y=-2(x-x1)(x-x2),所求表达式为 y=-2(x+1) (x-3),化为一般式为:y=-2x 2+4x+6 3.已知二次函数 y=x 2+bx+c 的图象经过点 A(-1,0),B(1,-2),该图象与 x 轴的另一个交点为 C,则 AC 长为_. 【答案】【答案】3 【解析】【解析】二次函数 y=x 2+b
14、x+c 的图象经过点(-1,0),(1,-2),1b+c0,1+b+c2,解得 b1, c2,抛物线的表达式为 y=x 2-x-2,对称轴为 x= 2 1 12 1 2 a b 由函数的对称性可得 C(2,0), AC=2-(-1)=3 1.抛物线nmxxmy6)1 ( 2 经过点 A(1,0),B(5,0). (1)求这个抛物线对应的函数表达式; 拔高 (2)记抛物线的顶点为 C,设 D 为抛物线上一点,求使 S ABD =3S ABC 时点 D 的坐标. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 (1)因为抛物线nmxxmy6)1 ( 2 经过点 A(1,0), B (5,0) , 所以
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