【BSD版春季课程初三数学】第9讲:二次的函数的应用学案(教师版)
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1、 二次的函数的应用 第9讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长(分钟) 120 知识点 1.利用二次函数求图形的最大面积 2.销售中的最大利润 3.二次函数中的实际应用综合 教学目标 1.掌握二次函数的实际应用 2.掌握建立二次函数模型的方法 教学重点 能熟练掌握二次函数的实际应用 教学难点 能熟练掌握二次函数的实际应用 【教学建议】【教学建议】 本节是中考数学的必考内容,教师要选取典型例题,帮助学生分析如何从实际问题中寻找等量关系, 建立函数模型,如何确定实际问题背景中自变量的取值范围,如何取最值等等。可以先分项训练,最后再 合练。 学生学习本节时可能会
2、在以下三个方面感到困难: 1. 找不到等量关系,从而列不出函数关系式; 2. 部分学生不会把二次函数的一般式配成顶点式; 3.容易忘掉实际问题中自变量是有取值范围的; 【知识导图】【知识导图】 二次的函数的应用 利用二次函数求图形的最大面积 销售中的最大利润 二次函数中的实际应用综合 概述 教学过程 【教学建议】【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一,属于中考数学的必考内容,也是难点内容,我们可以利用二次 函数的模型解决很多实际问题(比如:长度、面积和周长等的最值问题、商品利润问题等等)。实际生活 中的很多问题都可以借助建立二次函数的模型来解决,这属于中考必考题。 1.矩形的一边长
3、为 l m,则另一边长为?矩形的面积 S 怎样表示? 2. 本题中有几个变量?分别是?S 是 l 的函数吗?l 的取值范围是什么? 3. 利用什么知识来确定 l 是多少时 S 的值最大? 4.不规则图形的面积如何求:割补法、铅垂线法、等积法等。 复习回顾一下商品销售中的各个相关量以及它们之间的数量关系 利润售价进价进价利润率 利润率 -售价进价 进价 100% 利润 进价 100% 打折销售中的售价标价(定价)打折数0.1 售价成本利润成本(1利润率) 利息本金利率 复习回顾: 1. 二次函数如何配成顶点式? 2. 如何根据实际问题情境确定自变量的取值范围? 一、导入 二、知识讲解 知识点 1
4、 利用二次函数求图形的最大面积 知识点 2 销售中的最大利润 知识点 3 二次函数中的实际应用综合 三、例题精析 【题干】如图,利用一面长为 34 米的墙,用铁栅栏围成一个矩形自行车场地 ABCD,在 AB 和 BC 边各有 一个 2 米宽的小门(不用铁栅栏)设矩形 ABCD 的边 AD 长为 x 米,AB 长为 y 米,矩形的面积为 S 平方 米,且 xy (1)若所用铁栅栏的长为 40 米,求 y 与 x 的函数关系式,并直接写出自变量 x 的取值范围; (2)在(1)的条件下,求 S 与 x 的函数关系式,并求出怎样围才能使矩形场地的面积为 192 平方米? 【答案】【答案】(1) 44
5、 244,5 3 yxx ; (2) 2 244Sxx ,AD=6 米,AB=32 米 【解析】【解析】(1)由 34 米的墙,及 2 米宽的小门,得到平行与墙的边,以及垂直于墙的两条边之和,由 AD=x, AB=y,所用铁栅栏的长为 40 米,根据求出的之和表示出 y 与 x 的关系式; (2)由(1)表示出的 y 与 x 的关系式,列出 S 与 x 的函数关系式,根据矩形场地的面积为 192 平方米,求 出 AD 与 AB 的长即可 试题解析:解:(1)y+2x-22=40, y=-2x+44, 5x 44 3 ; (2)y=-2x+44, S=xy=x(-2x+44)=-2x 2+44x
6、; 矩形场地的面积为 192 平方米, -2x 2+44x=192, x=6 或 x=16(不合题意), AB=y=-2x+44=-26+44=32 答:AD=6 米,AB=32 米才能使矩形场地的面积为 192 平方米 例题 1 例题 2 【题干】【题干】如图,在矩形 ABCD 中,AB=2AD,线段 EF=10.在 EF 上取一点 M,分别以 EM、MF 为一边作矩形 EMNH、 矩形 MFGN,使矩形 MFGN矩形 ABCD.令 MN=x, 当 x 为何值时, 矩形 EMNH 的面积 S 有最大值, 最大值是多少? 【答案】【答案】252 【解析】【解析】矩形 MFGN矩形 ABCD,
7、MNAD=MFAB. AB=2AD,MN=x, MF=2x.(2 分) EM=EFMF=102x(0x5). S=x(102x)(5 分)=2x 2+10 x=2(x5 2 ) 2+252 当 x= 5 2 时,S 有最大值为 252。 【题干】【题干】某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利 10 元,每天可售出 400 千克经市场调查发现, 在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克 (1)当每千克涨价为多少元时,每天的盈利最多?最多是多少? (2)若商场只要求保证每天的盈利为 4420 元,同时又可使顾客得到实惠,每千克应涨价为多少元? 【答案】【答案】见解
8、析 【解析】【解析】(1)设涨价 x 元时总利润为 y, 则 y=(10+x)(40020 x)=20 x 2+400 x+4000=20(x5)2+4500 答:当每千克涨价 5 元时,每天的盈利最多,最多为 4500 元 当 x=5 时,y 取得最大值,最大值为 4500 (2)设每千克应涨价 x 元,则(10+x)(40020 x)=4420 解得 x=3 或 x=7, 为了使顾客得到实惠,所以 x=3 例题 3 答:每千克应涨价 3 元 【题干】【题干】如图 1,地面 BD 上两根等长立柱 AB,CD 之间悬挂一根近似成抛物线 y=x 2x+3 的绳子 (1)求绳子最低点离地面的距离;
9、 (2)因实际需要,在离 AB 为 3 米的位置处用一根立柱 MN 撑起绳子(如图 2),使左边抛物线 F1的最低 点距 MN 为 1 米,离地面 1.8 米,求 MN 的长; (3)将立柱 MN 的长度提升为 3 米,通过调整 MN 的位置,使抛物线 F2对应函数的二次项系数始终为,设 MN 离 AB 的距离为 m,抛物线 F2的顶点离地面距离为 k,当 2k2.5 时,求 m 的取值范围。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解:(1)a=0,抛物线顶点为最低点, y=x 2x+3= (x4) 2+,绳子最低点离地面的距离为: m; (2)由(1)可知,BD=8,令 x=0 得 y=3
10、,A(0,3),C(8,3), 由题意可得:抛物线 F1的顶点坐标为:(2,1.8),设 F1的解析式为:y=a(x2)2+1.8, 将(0,3)代入得:4a+1.8=3,解得:a=0.3, 抛物线 F1为:y=0.3(x2)2+1.8, 当 x=3 时,y=0.31+1.8=2.1,MN 的长度为:2.1m; (3)MN=DC=3, 根据抛物线的对称性可知抛物线 F2的顶点在 ND 的垂直平分线上, 抛物线 F2的顶点坐标为:( m+4,k), 抛物线 F2的解析式为:y=(xm4)2+k, 例题 4 把 C(8,3)代入得:(4m4) 2+k=3,解得:k= 4 1 (4m) 2+3, k
11、=(m8) 2+3,k 是关于 m 的二次函数, 又由已知 m8,在对称轴的左侧,k 随 m 的增大而增大, 当 k=2 时,(m8) 2+3=2,解得:m 1=4,m2=12(不符合题意,舍去), 当 k=2.5 时,(m8) 2+3=2.5,解得:m 1824,m2=8+2(不符合题意,舍去), m 的取值范围是:4m82 【题干】【题干】东坡商贸公司购进某种水果的成本为 20 元/kg,经过市场调研发现,这种水果在未来 48 天的销售 单价 p(元/kg)与时间 t(天)之间的函数关系式为 )4825(48 2 1 - )241 (30 4 1 为整数, 为整数, ttt ttt p ,
12、且其日销售量 y(kg)与时间 t(天)的关系如下表: 时间 t(天) 1 3 6 10 20 30 日销售量 y(kg) 118 114 108 100 80 40 (1)已知 y 与 t 之间的变化规律符合一次函数关系,试求在第 30 天的日销售量是多少? (2)问哪一天的销售利润最大?最大日销售利润为多少? (3)在实际销售的前 24 天中,公司决定每销售 1kg 水果就捐赠 n 元利润(n9)给“精准扶贫”对象。 现发现:在前 24 天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大,求 n 的取值范围。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解:(1)依题意,设 y=kt+b
13、, 将(10,100),(20,80)代入 y=kt+b, 得 8020 10010 bk bk 解之得 120 2 b k 例题 5 日销售量 y(kg)与时间 t(天)的关系 y=120-2t, 当 t=30 时,y=120-60=60. 答:在第 30 天的日销售量为 60 千克. (2)设日销售利润为 W 元,则 W=(p-20)y. 当 1t24 时,W=(t+30-20)(120-t)=t 2+10t+1200 =(t-10) 2+1250 当 t=10 时,W最大=1250. 当 25t48 时,W=(t+48-20)(120-2t)=t 2-116t+5760 =(t-58)
14、2-4 由二次函数的图像及性质知: 当 t=25 时,W最大=1085 12501085,在第 10 天的销售利润最大,最大利润为 1250 元. (3)依题意,得 W=(t+30-20-n)(120-2t)= t 2+2(n+5)t+1200-n 其对称轴为 y=2n+10,要使 W 随 t 的增大而增大,由二次函数的图像及性质知: 2n+1024, 解得 n7. 又n0,7n9. 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中,教师可以以中考真题入手,重点放在二次函数在实际问题中的应用上,配以典型的例题, 把例题讲透,再给学生做针对性的练习。 1.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角
15、墙角(两边足够长),用 28m 长的篱笆围成一个矩 形花园 ABCD(篱笆只围 AB,BC 两边),设 AB=xm. (1)若花园的面积为 192m2,求 x 的值; 四 、课堂运用 基础 (2)若在 P 处有一棵树与墙 CD,AD 的距离分别是 15m 和 6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗 细),求花园面积 S 的最大值。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)AB=xm,则 BC=(28x)m, x(28x)=192, 解得:x1=12,x2=16, 答:x 的值为 12m 或 16m; (2)AB=xm, BC=28x, S=x(28x)=x2+28x=(x14)
16、 2+196, 在 P 处有一棵树与墙 CD,AD 的距离分别是 15m 和 6m, 2815=13, 6 x 13, 当 x=13 时,S 取到最大值为:S=(1314)2+196=195, 答:花园面积 S 的最大值为 195 平方米。 2.某商店购进一批单价为 20 元的日用商品,如果以单价 30 元销售那么半月内可售出 400 件,根据销售经 验,推广销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高 1 元,销售量相应减少 20 件。 (1)销售单价提高多少元,可获利 4480 元。 (2)如何提高售价,才能在半月内获得最大利润? 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)设销售单价为
17、 x 元时,可获利 4480 元, 根据题意得出:4480=(x20)40020(x30) 整理得出:4480=20 x 2+1400 x20000, 即:x 270 x+1224=0,解得:x 1=34,x2=36, 34304(元),3630=6(元), 答:销售单价提高 4 元或 6 元; (2)设销售单价为 x 元,销售利润为 y 元。 根据题意,得:y=(x20)40020(x30)=(x20)(100020 x)=20 x 2+1400 x20000, 当 x= 1400 2 ( 20) =35 时,y最大= 2 4 ( 20) 1400 4 ( 20) =4500,这时,x30=
18、3530=5. 3.如图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在 l 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2m,水面 宽 4m如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是什么? 【答案】【答案】y=- 2 1 x 2 【解析】【解析】设出抛物线方程 y=ax 2(a0), 由图象可知该图象经过(-2,-2)点, 故-2=4a, a= 2 1 -,故 y=- 2 1 x 2 1.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台,空调的采购单价 y1(元/台)与采购数量 x1(台)满足 y1=20 x1+1500(0x1 20,x1为整数);冰箱的采购单价 y2(元/台)与采购数量 x2
19、(台)满足 y2= 10 x2+1300(09 时,W 随 x 的增大而增大, 11 x 15,当 x=15 时,W 最大值=30(159) 2+9570=10650(元) 答:采购空调 15 台时,获得总利润最大,最大利润值为 10650 元。 2.某人定制了一批地砖,每块地砖(如图(1)所示)是边长为 0.4 米的正方形 ABCD,点 E. F 分别在边 BC 和 CD 上,CFE、ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成,制成CFE、ABE 和四边形 AEFD 的三种材料 的每平方米价格依次为 30 元、20 元、10 元,若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设,且能使中间的阴影部 分
20、组成四边形 EFGH. (1)判断图(2)中四边形 EFGH 是何形状,并说明理由; (2)E、F 在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省? 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)四边形 EFGH 是正方形. 图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕 C 点按顺(逆)时针方向旋转 90 后得到的, 故 CE=CF=CG. CEF 是等腰直角三角形。 四边形 EFGH 是正方形. (2)设 CE=x,则 BE=0.4x,每块地砖的费用为 y,那么 y= 1 2 x 230+1 2 0.4(0.4x)20+0.16 1 2 x 21 2 0.4(0.4x)10 =10(x 20.2
21、x+0.24)=10(x0.1)2+0.23(0x0.4)。 当 x=0.1 时,y 有最小值,即费用为最省,此时 CE=CF=0.1. 答:当 CE=CF=0.1 米时,总费用最省。 3.某公园要建造一个如图 1 的圆形喷水池, 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA, O 恰在水面中心, OA=0.81 米,安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且 在过 OA 的任一平面上抛物线路径如图 2 所示。为使水流形状较为漂亮,设计成水流在与 OA 距离为 1 米处 达到距水面最大高度 2.25 米,如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能
22、使喷出的水流不致 落到池外? 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】首先构建直角坐标系,如图所示,建立平面直角坐标系 根据题意可得二次函数的顶点坐标为 (1,2.25),且图象过(0,0.81)点, y=a(x1) 2+2.25,0.81=a+2.25,a=1.44, y=1.44(x1) 2+2.25, 当 y=0 时1.44(x1) 2+2.25=0,即(x1)2=225144, 解得 x1=2.25,x2=0.250(舍去). 答:水池半径至少为 2.25 米。 1.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近,州委州政府又出台了一系列“三农” 优惠政策,使农民收入大幅度
23、增加。某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为 20 元/千克。 市场调查发现,该产品每天的销售量 w(千克)与销售价 x(元/千克)有如下关系:w=2x+80.设这种产品每天 的销售利润为 y(元). (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元/千克,该农户想要每天获得 150 元的销售利润,销 售价应定为多少元? 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)y=(x20)w=(x20)(2x+80)=2x 2+120 x1600, y 与 x 的函数关系式为
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