【BSD版春季课程初三数学】第10讲:二次函数与一元二次方程学案(教师版)
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1、 二次函数与一元二次方程 第10讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长(分钟) 120 知识点 1. 二次函数与一元二次方程 2. 二次函数与不等式 3. 二次函数与方程和不等式综合 教学目标 1.掌握二次函数与一元二次方程的联系 2.掌握二次函数与不等式的联系 3.掌握利用函数图像解决实际问题 教学重点 能熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系 教学难点 能熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系 【教学建议】【教学建议】 本节课的内容在二次函数中占有着重要的地位,也是中考中的必考内容。函数是方程和不等式的高级 形式,借助图象,可以用函数的观点去统领一元二次方
2、程和一元二次不等式,在实际问题中有着重要的应 用。在教学中要让学生充分体会到处理函数问题的方法:“胸中有图,见数想图”。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难: 1. 二次函数与 x 轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的根; 2. 由图象判别函数值的情况。 3.对 hcbxax 2 的不同理解方式。 【知识导图】【知识导图】 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 二次函数与不等式 二次函数与方程和不等式综合 概述 【教学建议】【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一,对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容,函 数是方程和不等式的高级形式,本节课主要是用函
3、数的观点去统领对应的一元二次方程和一元二次不等式, 可以全面考察学生的读图识图能力,在中考数学试卷中,也是必考题,一般不单独设题,常与其它知识融 合在一起考。 二次函数 y=ax 2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的关系. (1)一般地,二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根;当二次 函数 y=ax 2+bx+c 的函数值为 0 时,相应的自变量的值即是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根; (2)若抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交点坐标分别为( 1,0 x ), 2 (,0)x ,那么
4、对应方程 ax 2+bx+c=0 的两个根 即为 12 ,x x,结合一元二次方程根与系数关系可知 12 , b xx a 12 c xx a (3)二次函数与 x 轴的交点情况和一元二次方程根的情况的关系具体见下表: 二次函数 y=ax 2+bx+c 与 x 轴交点情况 a0 两个交点 一个交点 没有交点 a0 两个交点 一个交点 没有交点 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 二次函数与一元二次方程 2 4bac的值 2 40bac 2 40bac 2 40bac 一元二次方程 ax 2+ bx+c=0 根的情 况 有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实根 二次函数与一元二次
5、不等式解集的关系二次函数与一元二次不等式解集的关系 (1)从“形”的方面看二次函数 y=ax 2+bx+c 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标,即为 ax2+bx+c0 的解集, 在 x 轴下方的图象上的点的横坐标,即为 ax 2+bx+c0 的解集;从“数”的方面看,当二次函数 y=ax2+bx+c 的函数值大于 0 时,相应的自变量的值即为不等式 ax 2+bx+c0 的解集,当二次函数 y=ax2+bx+c 的函数值小 于 0 时,相应的自变量的值即为不等式 ax 2+bx+c0 b 2-4ac=0 b 2-4acy2,求实数 n 的取值范围。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(
6、1)y=x 2+2x+m=(x+1)2+m1,对称轴为直线 x=1, 与 x 轴有且只有一个公共点,顶点的纵坐标为 0,C1的顶点坐标为(1,0); (2)设 C2的函数关系式为 y=(x+1)2+k, 把 A(3,0)代入上式得(3+1)2+k=0,得 k=4,C2的函数关系式为 y=(x+1) 24. 抛物线的对称轴为直线 x=1,与 x 轴的一个交点为 A(3,0),由对称性可知,它与 x 轴的另一个 交点坐标为(1,0); (3)当 x 1 时,y 随 x 的增大而增大,当 n 1 时, y1y2,n2. 知识点 3 二次函数与方程和不等式综合 三、例题精析 例题 1 例题 2 当 n
7、1, y1y2,2n2,n2 或 n0 的解集是 ; (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围是 。 (4)若方程 ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)由图象可得 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴两交点坐标分别为(1,0)和(3,0), 抛物线的对称轴为直线 x=2, 方程 ax 2+bx+c=0 的两个根是:x 1=1,x2=3; (2)由图象可得:不等式 ax 2+bx+c0 的解集为 1x2 时,y 随 x 的增大而减小; (4)方程 ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根可以看做
8、y=ax2+bx+c 与 y=k 的交点有两个 如图所示: 例题 3 根据图象可得:当 k2 时,方程 ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根。 【题干】【题干】在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yx 22(k1)xk25 2 k(k 为常数) (1)若抛物线经过点(1,k 2),求 k 的值 (2)若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2),且 y1y2,求 k 的取值范围 (3)若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线,当 1x2 时,新抛物线对应的函数有最小值 3 2 ,求 k 的值 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)抛物线 yx 22(k1)xk25
9、2 k(k 为常数)经过点(1,k 2), 12(k1)k 25 2 kk 2解得 k2 3 (2)抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2), y1(2k) 24k (k1)k25 2 kk 23 2 k,y244(k1)k 25 2 kk 213 2 k8; 又y1y2,k 23 2 kk 213 2 k8,k1 (3)抛物线 yx 22(k1)xk25 2 k(xk1) 21 2 k1, 平移后的解析式为 y(xk) 21 2 k1该抛物线的对称轴为直线 xk 若 k1,则当 x1 时,y 有最小值 3 2 (1k) 21 2 k1 3 2 ,解得11,2 3 2 k1,11,2 3 2
10、 都不符合题意,舍去 若 1k2,则当 xk 时,y 有最小值 3 2 1 2 k1 3 2 ,解得1 若 k2,则当 x2 时,y 有最小值 3 2 (2k) 21 2 k1 3 2 ,解得13,2 3 2 例题 4 k1,3 综上,k 的值为 1 或 3 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中,教师可以以中考真题入手,重点放在用二次函数的观点去看对应的一元二次方程和一元二 次不等式,教师在教学中,先把例题讲解清晰,帮助学生形成相应的知识结构图;再给学生做针对性的练 习,抓住它们三者之间的内在逻辑联系。 1.一元二次方程 ax 2+bx+c=h 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 的图像
11、与直线 交点的 坐标。 【答案】【答案】y=h,横 【解析】【解析】根据二次函数与一元二次方程之间的关系易得。 2.在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)的关系满足 y= 1 5 x 2+1Ox. (1)经过多长时间,炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少? (2)经过多长时间,炮弹落在地上爆炸? 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)y= 1 5 x 2+1Ox. y= 1 5 (x 250 x), y= 1 5 (x25) 2+125. a=150,x=50 四 、课堂运用 基础 3. “如果二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴有两
12、个公共点,那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实 数根。”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若 m、n(mn)是关于 x 的方程 1(xa)(xb)=0 的两根, 且 ab,则 a、b、m、n 的大小关系是( ) A. mabn B.amnb C.ambn D.manb 【答案】【答案】A 【解析】【解析】依题意,画出函数 y=(xa)(xb)的图象,如图所示。 函数图象为抛物线,开口向上,与 x 轴两个交点的横坐标分别为 a,b(ab). 方程 1(xa)(xb)=0 转化为(xa)(xb)=1, 方程的两根是抛物线 y=(xa)(xb)与直线 y=1 的两个交点。 由
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