【BSD版春季课程初三数学】第14讲：垂径定理及圆周角与圆心角的关系学案（教师版）

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1、 垂径定理及圆周角和圆心角的关系 第14讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.垂径定理及其推论 2.圆周角定理及其推论 教学目标 1.掌握垂径定理及推论 2.掌握圆周角与圆心角的关系 教学重点 能熟练掌握垂径定理及圆周角圆心角的关系 教学难点 能熟练掌握垂径定理及圆周角圆心角的关系 【教学建议】【教学建议】 本节课的内容是中考中的常考内容，有时单独考，但常在综合题中出现。教师在教学中要把垂径定理 及其推论的由来和推论讲解清楚，对于圆周角定理及其推论要求学生会使用，这对以后的做题很有帮助。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到

2、困难： 1. 垂径定理及其的推论的应用问题。 2. 圆周角定理的灵活使用。 【知识导图】【知识导图】 【教学建议】【教学建议】 垂径定理及圆周角和圆心角的关系 垂径定理 圆周角和圆心角的关系 垂径定理 垂径定理的推论 圆周角定理 圆周角定理的推论 概述 教学过程 一、导入 垂径定理及圆周角和圆心角的关系是圆中最重要的内容之一，在中考试题中也常出现。在圆中可以融合三 角形、四边形的相关知识，可以全面考察学生几何方面的知识和能力，本节在圆这一章的教学中，地位非 常重要，在教学中，教师要给学生讲解典型模型，常用辅助线的加法等，增加学生的解题经验。 垂径定理及推论 示意图 垂径定理 推论 垂直于弦的直

3、径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧 如图,AA是O的弦,CD是O 的 直 径 ,AACD 于 点M, 则 MAAM,AD=AD, AC=AC 平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦,并且平分弦所对的两 条弧 如图,AA是O的弦,CD是 O的直径,CDAA,AA与 CD交于点M,MAAM,则 AACD , AD= AD, AC =AC 圆是 图形,它有 对称轴,每一条过 的直线都是它的对称轴 定理 垂直于弦的直径_这条弦,并且平分弦所对的_ 推论 推论 1 平分弦(不是直径)的直径_于弦,并且_弦所对的两条 弧 弦的垂直平分线经过_,并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的_垂直平分弦,并且平分

4、弦所对的另一条 弧 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧_ 推论 3 过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧, 若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项 二、知识讲解 知识点 1 垂径定理及其推论 圆周角定理及其推论 示意图 圆周角的定义 圆周角定理 推论 1 推论 2 顶点在圆上, 并且两边都与 圆相交,我们 把这样的角叫 做圆周角 在同圆或等 圆 中 , 同 弧 或等弧所对 的圆周角相 等 , 都 等 于 这条弧所对 的圆心角的 一半 在同圆或等 圆中,如果 两个圆周角 相等,那么 它们所对的 弧 长 也 相 等 半圆（或直 径） 所对的圆 周角是直 角,90的圆

5、 周角所对的 弦是直径 同一条弧所对的圆周角有 个如上图,我们可以得到：AOB ACB 【题干】如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是 她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的(即圆心到地面的距离等于半径)， ABCD20 cm，BD200 cm，且 AB，CD 与水平地面都是垂直的根据以上数据，请你帮助黄红同学计 算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】如下图，连接 AC，作 AC 的垂直平分线交 AC 于点 G，交 BD 于点 N，交圆的另一点为 M，则 MN 为圆弧形所在圆的

6、直径，取 MN 的中点 O，则点 O 为圆心，连接 OA，OC. A B C O 知识点 2 圆周角定理及其推论 三、例题精析 例题 1 ABBD，CDBD，ABCD. ABCD，四边形 ABDC 为矩形， ACBD200 cm，GNABCD20 cm， AGGC1 2AC100 cm. 设O 的半径为 R cm，由勾股定理，得 OA 2OG2AG2，即 R2(R20)21002， 解得 R260， MN2R520 cm. 答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度是 520 cm. 【题干】【题干】九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就,他的算法体系 至今仍在推动着计

7、算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,锯口深一寸,锯 道长一尺.问径几何？” 译为：“今有一圆柱形木材埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯木料,锯口深一寸 （ED=1 寸） ,锯道长一尺 （AB=1 尺=10 寸）.问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示,请根据所学知识计算：圆形木材的直径是 （ ） A.13 寸 B. 20 寸 C.26 寸 D. 28 寸 【答案】【答案】C 【解析】【解析】如图，根据题意可知，ED=1 寸，AB=1 尺=10 寸，ODAB，AD=BD=5 寸，不妨设O 的半径 为 r，在AOD 中， 2 22 51rr，解得13r ，圆形木材的直

8、径 AC 的长为 26 寸，故答案为 C. 例题 2 【题干】【题干】如图，O 的半径 OAOB，弦 ACBD.求证：ADBC. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：AOB 与ADB 分别是所对的圆心角和圆周角， ADB1 2AOB 1 29045. 同理可证ACB1 2AOB45. 由 ACBD，ADB45，可知DAC45，即DACACB，ADBC. 【 题 干 】【 题 干 】 已知 ： 如 图，AB为O的 直 径 ，ABACBC，交O于 点D，AC交于 点 45EBAC， （1）求EBC的度数； （2）求证：BDCD 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解:A=45，AB

9、是直径，AEB=90，ABE=45， AB=AC，ABC=ACB=675，EBC=675-45=225 连接 AD， AB 是直径，ADB=90， AB=AC，BD=CD O 例题 3 例题 4 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习，注意把握试题 的难度。 1.如图，在半径为 5cm 的O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，则弦 AB 的长是 （ ） A4cm B6cm C8cm D10cm 【答案】【答案】C 【解析】【解析】连半径，解直角三角形即可得。 2.如图，AB 是的直径，弦 CDAB，垂足为 M，下列结论

10、不成立的是（ ） A.CM=DM B. C.ACD=ADC D.OM=MD 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据垂径定理易得。 3.如图，A、B、C、D 是O 上的三点，BAC=30，则BOC 的大小是( ) A、60 B、45 C、30 D、15 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由圆周角定理易得。 CBBD 四 、课堂运用 基础 1.下列命题中正确的有（ ） 垂直于弦的直径平分这条弦； 与弦垂直的直线必过圆心； 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】【答案】D 【解析】

11、【解析】根据垂径定理的逆定理易得。 2.如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，若BCD=110，则BAD 为（ ） A140 B110 C90 D70 【答案】【答案】D 【解析】【解析】提示：圆内接四边形对角互补。 3.一条弦把圆分成 1：3 两部分，则弦所对的圆周角为 【答案】【答案】45或 135 【解析】【解析】注意考虑两种情况。 1.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离 为 8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm. 巩固 拔高 【答案】【答案】8 【解析】【解析】根据垂径定理易得。 2.某窗户由矩形

12、和弓形组成，已知弓形的跨度 AB3 m，弓形的高 EF1 m，现计划安装玻璃，请帮工程 师求出弧 AB 所在圆 O 的半径 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】由垂径定理得 BF1 2AB1.5 m，OEAB， 设圆 O 的半径为 x m，则 OF(x1) m. 在 RtOBF 中，根据勾股定理得 x 21.52(x1)2，解得 x1.625. 即圆 O 的半径是 1.625 m. 3.如图所示，O 的弦 AB，CD 的延长线相交于点 M，AD 与 CB 交于点 E.若AC 所对的圆心角为 72，BD所 对的圆心角为 18，求MAEC 的度数 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】根据题

13、意，得AC9，ABC36。 AECAABC， AEC93645. 又ABCCM， MABCC36927， MAEC274572。 1.垂径定理及其推论 2.圆周角定理及其推论 1. 如图，已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为点 C，若 AB=8cm，CD=3cm，则圆 O 的半径为（ ） A cm B 5cm C 4cm D cm 【答案】【答案】A 【解析】【解析】连半径，根据勾股定理易得。 2. 如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽为 8cm，水面最深地方的高度 为 2cm，则该输水管的半径为（ ） A3cm B4cm C5cm D6cm 课堂小结

14、拓展延伸 基础 【答案答案】C 【解析解析】作垂直，连半径，根据勾股定理易得。 3.如图，O 的直径 AB 与弦 CD 的延长线交于点 E，若 DE=OB， AOC=84，则E 等于（ ） A42 B28 C21 D20 【答案答案】B 【解析解析】连 OD，根据等边对等角，三角形内角和是 180易求。 1.如图，已知O 的半径为 2，ABC 内接于O，ACB135，则 AB 【答案答案】2 2 【解析】在优弧)AmB上任取一点 D，ACB135，则ADB45，AOB90，OAB 为等腰 直角三角形，OAOB2，AB2 2 巩固 2.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O

15、、A、B、C 在格点（两条网格线的交点叫 格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为_ 【答案答案】(1，2) 【解析】根据垂径定理，借助网格，找到两条弦 AC,AB 的垂直平分线的交点，即为圆心,其坐标为（-1， -2） 3.如图，AC 为O 的直径，点 B 在圆上，ODAC 交O 于点 D，连接 BD，BDO15，则ACB _ 【答案答案】60 【解析】连接 ADAC 为O 的直径，点 D 在圆上，ODAC，AOD 是等腰直角三角形，ADO 45，又BDO15，ADB60，ACB 与ADB 所对的弧都是 AB 弧，ACBADB 60 1. 如图，量角器

16、的 O 度刻度线为 AB将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C， 直尺另一边交量角器于点 A、D，量得 AD10cm，点 D 在量角器上的读数为 60则该直尺的宽度为 x y C B A O 拔高 cm 【答案答案】 5 3 3 【解析】根据题意，抽象出数学图形 根据题意可知：AD10，AOD120，由 OAOD，DAO30，设 OEx，则 OA2x，OE AD，AEDE5，在 RtAOE 中，x 2+52（2x）2，解得： 5 3 3 x ，CEOE 5 3 3 2.如图所示，点 I 是ABC 的内心，AI 的延长线交 BC 于点 D，交ABC 的外接圆于点 E. (1

17、)求证：CE=BE=IE； (2)若，AE=4，求 DE 的长. 【答案答案】见解析 D B O A C 10 20 30 40 50 60 70 80 170 160 150 140 130 120 110 100 10 20 30 40 50 60 70 80 170 160 150 140 130 120 110 100 0 0 90 180 180 E C D O AB 【解析解析】(1)连接 BI. 点 I 是内心， BAI=EAC，ABI=IBC. EBC=EAC，BCE=BAI， EBC=BCE. CE=BE. BIE=BAI+ABI，IBE=IBC+EBC， BIE=IBE.

18、BE=IE. CE=BE=IE. (2)BAE=EBC，BEA=DEB， EBDEAB. . ，AE=4，.DE=2. 3.如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是弧 AC 的中点，DEAB 于点 E 且 DE 交 AC 于点 F, DB 交 AC 于点 G，若EF AE = 3 4, 则 CG GB = F G E D C O AB 【答案答案】 5 5 【解析解析】EF AE = 3 4,设 EF=3k ，AE=4k，AF= 22 345kkk，连结 AD、OD、BC，设 OD 与 AC 交于点 H， AB 是半圆的直径， ADB=ACB=90， ABD=90-DAE， DEAB， AED=90， ADE=90-DAE，ADE=ABD，D 是弧 AC 的中点，CAD=ABD，CAD=ADF， AF=DF， D 是弧 AC 的中点， ODAC， FHD=90， FHD=AEF=90， 又DFH=AFE， DHF AEF ， HF=EF=3k， DH=AE=4k， AH=AF+FH=3k+5k=8k， 22 844 5ADkkk， 45 sin 54 5 DHk DAH ADk ， DAH= DBC ， 5 s i ns i n 5 D A HD B C，在 RtBCG 中，CG GB= 5 sin 5 DBC. 教学反思