【BSD版春季课程初三数学】第4讲：三角函数的应用及利用三角函数测高学案（教师版）

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1、 三角函数的应用及利用三角函数测高 第4讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.三角函数的一般应用 2.用三角函数解方位角、视角问题 3.利用三角函数测高 教学目标 1.掌握三角函数的应用 2.掌握利用三角函数解决实际问题 教学重点 能熟练掌握利用三角函数解决实际问题 教学难点 能熟练掌握利用三角函数解决实际问题 【教学建议】【教学建议】 本节是解直角三角形的进一步深化，探究解直角三角形在实际问题中的应用。在授课过程中，教师要 注重解题思路的点拨，做好书写格式方面的示范。通过典型试题的练习，增加学生一些重要的解题经验， 积累一些

2、典型的解直角三角形的模型。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1. 在复杂图形中，如何找各个量之间的关系。 2. 如何选择合适的三角函数。 3.如何把实际问题抽象成相应的数学模型。 【知识导图】【知识导图】 三角函数的应用及利用三角函数测高 三角函数的一般应用 用三角函数解方位角、视角问题 利用三角函数测高 概述 教学过程 【教学建议】【教学建议】 解直角三角形为中考必考内容，至少有一道是解答题，常是利用解直角三角形的相关知识来解决实际问题。 在解直角三角形的综合题中，常与非特殊角结合在一起考，这种题几乎是中考数学的必考题。在教学中， 一要注意强调书写格式问题；二是交给学生常用的找

3、等量关系的方法；三是要给学生储备典型的解直角三 角形得模型（如：背靠背型和母子型等）。 和学生一起回忆解直角三角形的方法和三种类型，进一步巩固相关知识，温故而知新。 提问： 1. 什么是方位角，请画图说明； 2. 什么是视角，请画图说明。 请学生总结书上是如何利用三角函数测高的，用到了哪些三角函数，具体如何实施的？你还能想到其它的 解决办法吗？ 【题干】如图，某河的两岸 PQ、MN 互相平行，河岸 PQ 上的点 A 处和点 B 处各有一棵大树，AB=30 米， 某人在河岸 MN 上选一点 C，ACMN，在直线 MN 上从点 C 前进一段路程到达点 D，测得ADC=30， BDC=60，求这条河

4、的宽度（31.732，结果保留到 0.1） 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 三角函数的一般应用 知识点 2 用三角函数解方位角、视角问题 知识点 3 利用三角函数测高 三、例题精析 例题 1 【答案】【答案】26.0m 【解析】【解析】解：过点 B 作 BEMN 于点 E， 则 CE=AB=30 米，CD=CE+ED，AC=BE。 设河的宽度为 x， 在 RtACD 中，ACMN，CE=AB=30 米，ADC=30， AC CEDE =tanADC，即 x3 = 30DE3 ，即DE= 3x30。 在 RtBED 中， BE ED =tanBDC，即 x = 3 ED ，即， 3 ED=x

5、 3 。 3 3x30=x 3 ，解得x=15 326.0。 答：这条河的宽度为 26.0 米。 【题干】【题干】如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30，朝物体 AB 方向前进 20 米，到 达点 C，再次测得点 A 的仰角为 60，则物体 AB 的高度为（ ） 例题 2 A103米 B10 米 C203米 D 20 3 3 米 【答案】【答案】A 【解析】【解析】在直角三角形 ADB 中，D=30， AB BD =tan30BD= tan30 AB =3AB 在直角三角形 ABC 中，ACB=60，BC= tan60 AB = 3 3 AB CD=20CD=B

6、DBC=3AB 3 3 AB=20,解得：AB=103 故选 A 【题干】【题干】如图，线段 AB、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，ABBC，DCBC，两建筑物间距离 BC=30 米，若甲建筑物高 AB=28 米，在点 A 测得 D 点的仰角=45，则乙建筑物高 DC= 米 【答案】【答案】58 【解析】【解析】过点 A 作 AECD 于点 E 根据题意，得DAE=45，AE=DE=BC=30 DC=DE+EC=DE+AB=30+28=58 米 故答案为：58 例题 3 【题干】【题干】如图，甲楼 AB 的高度为 123m，自甲楼楼顶 A 处，测得乙楼顶端 C 处的仰角为 45 0，测得乙楼

7、底 部 D 处的俯角为 30 0，求乙楼 CD 的高度（结果精确到 0.1m， 3取 1.73） 【答案】【答案】335.8m 【解析】【解析】 解：如图，过点 A 作 AECD 于点 E， 根据题意，CAE=45，DAE=30。 ABBD，CDBD，四边形 ABDE 为矩形。 DE=AB=123。 在 RtADE 中， DE tan DAE AE ， DE123123 AE=123 3 tan DAEtan303 3 。 在 RtACE 中，由CAE=45，得 CE=AE=123 3。 CD=CE+DE= 1233+1335.8。 答：乙楼 CD 的高度约为 335.8m。 例题 4 四 、

8、课堂运用 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在解直角三角形在实际问题中的应用，先把例题讲解清 晰，再给学生做针对性的练习，注意基本模型的总结和积累。 1. 为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道 AB，如图，在山外一点 C 测得 BC 距离为 200m，CAB=54，CBA=30，求隧道 AB 的长 （参考数据：sin540.81，cos54 0.59，tan541.38，31.73，精确到个位） 【答案】【答案】247m 【解析】【解析】 解：过点 C 作 CDAB 于 D， BC=200m，CBA=30， 在 RtBCD 中

9、，CD= 1 2 BC=100m， BD=BCcos30=200 3 2 =1003173.0（m）。 CAB=54， 在 RtACD 中， 0 CDCD100 AD=73.5 tanCAB1.36tan54 （m）。 AB=AD+BD173.0+73.5=246.5247（m）。 答：隧道 AB 的长为 247m。 2.如图，小明同学在东西走向的文一路 A 处，测得一处公共自行车租用服务点 P 在北偏东 60方向上，在 A 处往东 90 米的 B 处，又测得该服务点 P 在北偏东 30方向上，则该服务点 P 到文一路的距离 PC 为（ ） 基础 A603米 B453米 C303米 D45 米

10、 【答案】【答案】B 【解析】【解析】在 RtPBC 中，tan PC PBC BC ， BC= tan60 PC = 3 3 PC， 在 RtPAC 中，tan PC PAC AC ， AC= tan30 PC =3PC， AB=ACBC=90， 3PC 3 3 PC=90， 解得：PC=453 故选 B 3.为庆祝重庆市获得“中国温泉之都”的称号，我区某温泉城在中心大楼上挂出宣传条幅 AB（如图），小 明站点 C 处，看条幅顶端 A，测得仰角ACB=50，此时 CB=10 米，ABBC，则宣传条幅 AB 的长为（ ） A10sin50米 B10tan50米 C 10 cos50 米 D 1

11、0 tan50 米 【答案】【答案】B 【解析】【解析】ABBC， ABC 为直角三角形， ACB=50，CB=10 米， tan AB ACB BC AB=BCtan50=10tan50 故选 B 1.在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A 处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C 处）和湖东岸的山峰 老君岭 （D 处） 的仰角都是 45 游船向东航行 100 米后 （B 处） ， 测得太婆尖， 老君岭的仰角分别为 30， 60试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？ 【答案】【答案】237 米 【解析】【解析】解：过点 C 作 CEAB 于 E 和过点 D 作 DFAB 于 F， 设太婆尖高 h1米

12、，老君岭高 h2米， 则根据 BEAE=AB 和 AFBF=AB 得： 11 22 100 tan30tan45 100 tan45tan60 hh hh h1= 100 tan60tan45 =50（3+1）=50（1.732+1）=136.6137（米） h2= 100 tan45tan30 = 100 3 1 3 = 3 100 1 3 33 11 33 =503（3+1）=50（3+1.732）=236.6237（米） 答：太婆尖高度为 137 米，老君岭高度为 237 米 巩固 2.在一次数学活动课上，胡老师带领九（3）班的同学去测一条南北流向的河宽。如图所示，张一凡同学在 河东岸点

13、 A 出测到河对岸边有一点 C，测得 C 在 A 的北偏西 31的方向上，沿河岸向北前进 21m 到达 B 处，测得 C 在 B 的北偏西 45的方向上。 请你根据以上的数据，帮助该同学计算出这条河的宽度。（tan31= 5 3 ） 【答案】【答案】31.5 米 【解析】【解析】过点 C 作 CDAB，垂足为 D， 设 CD=x 米， 在 RtBCD 中，CBD=45， BD=CD=x 米 在 RtACD 中，DAC=31， AD=AB+BD=（21+x）米，CD=x 米， CD tan DAC AD ， x3 21x5 ， 解得 x=31.5 答：这条河的宽度为 31.5 米 3.如图，海中

14、有一小岛 B，它的周围 15 海里内有暗礁有一货轮以 30 海里/时的速度向正北航行，当它航 行到 A 处时，发现 B 岛在它的北偏东 30方向，当货轮继续向北航行半小时后到达 C 处，发现 B 岛在它的 东北方向问货轮继续向北航行有无触礁的危险？（参考数据：31.7，21.4） 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解：作 BDAC 于点 D 设 BD=x 海里，则在 RtABD 中，tan30= x AD ，AD=3x 在 RtCBD 中，tan45= x CD ，CD=xAC=ADCD=3xx AC=30 1 2 =15，3xx=15，x20.5 20.5 海里15 海里答：没有触礁的

15、危险 1.如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架 OA、OB 的长均为 108cm，支架 OA 与水 平晾衣杆 OC 的夹角AOC 为 59，求支架两个着地点之间的距离 AB（结果精确到 0.1cm）(参考数据： sin59=0.86，cos59=0.52，tan59=1.66) 【答案】【答案】112.3cm 【解析】【解析】解：作 ODAB 于点 D， OA=OB，AD=BD。 OCAB，OAB=AOC =59。 在 RtAOD 中，AD=OAcos59，AB=2AD=2OAcos59=21080.52112.3。 答：支架两个着地点之间的距离 AB 约为 112.3cm。

16、 2.如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭 A 处 测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东 65方向， 然后， 他从凉亭 A 处沿湖岸向东方向走了 100 米到 B 处， 测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东 45方向（点 A、B、C 在同一平面上），请你利用小明测得的相关 数据，求湖心岛上的迎宾槐 C 处与湖岸上的凉亭 A 处之间的距离（结果精确到 1 米）（参考数据 sin25 0.4226，cos250.9063，tan250.4663，sin650.5563，cos650.4226，tan652.1445） 拔高 【答案】【答案】20

17、7 米 【解析】【解析】解：如图作 CDAB 交 AB 的延长线于点 D， 则BCD=45，ACD=65， 在 RtACD 和 RtBCD 中，设 AC=x，则 AD=xsin65，BD=CD=xcos65， 100+xcos65=xsin65 x= 100 sin65cos65 207（米）， 湖心岛上迎宾槐 C 处与凉亭 A 处之间的距离约为 207 米 3.某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话： 小明：我站在此处看树顶仰角为45。 小华：我站在此处看树顶仰角为30。 小明：我们的身高都是 1.6m. 小华：我们相距 20m。 请你根据这两

18、位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度。 （参考数据：21.414，31.732，结果精确到 0.1） 【答案】【答案】28.9 米 【解析】【解析】解：如图所示，延长 BC 交 DA 于 E。 设 AE 的长为 x m， 在 RtACE 中，ACE=45，AEB=90， CAE=45， AE=CE=x。 在 RtABE 中，B=30，AE=x， AE tanB BE ，即： 0 x BE= 3x tan30 。 BECE=BC，BC=20， 3xx20，解得 x=103+10。 AD=AEDE=103+10+1.628.9（m）。 答：这棵汉柏树的高度约为 28.9 米。 1你今天学到了哪些解直

19、角三角形的方法； 2.什么是方位角、视角； 3.如何利用三角函数测高。 课堂小结 1. 水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形 ABCD如图所示，已知 迎水坡面 AB 的长为 16 米， B=60， 背水坡面 CD 的长为16 3米， 加固后大坝的横截面积为梯形 ABED， CE 的长为 8 米 （1）已知需加固的大坝长为 150 米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后的大坝背水坡面 DE 的坡度 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）分别过 A、D 作 AFBC，DGBC，垂点分别为 F、G，如图所示 在 RtABF 中，AB=16 米，B=60

20、， sinB= AF AB ， 在矩形 AFGD 中，AF=16 3 2 =83，DG=83米 SDCE= 1 2 CEDG= 1 2 883=323 需要填方：150323=48003（立方米）； （2）在直角三角形 DGC 中，DC=163米， GC= 22 DCDG=24 米， GE=GC+CE=32 米， 坡度 i= DG GE = 8 3 32 = 3 4 拓展延伸 基础 2. 如图，在塔 AB 前的平地上选择一点 C，测出看塔顶的仰角为 30，从 C 点向塔底走 100 米到达 D 点， 测出看塔顶的仰角为 45，则塔 AB 的高为（ ） A503米 B1003米 C 100 31

21、 米 D 100 3 1 米 【答案答案】D 【解析解析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设 AB=x（米），再利用 CD=BCBD=100 的关系，进而可解即可求出答案 解：在 RtABD 中，ADB=45，BD=AB 在 RtABC 中，ACB=30， AB BC =tan30= 3 3 ，BC=3AB 设 AB=x（米），CD=100，BC=x+100 x+100=3x x= 100 3 1 米 故选 D 3.小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差如图，他利用测角仪站在 C 处测得 ACB=68，再沿 BC 方向走 80m 到达 D 处，测得ADC=34，

22、求落差 AB（测角仪高度忽略不计，结果 精确到 1m） 【答案答案】74m 【解析解析】ACB=68，D=34，ACB 是ACD 的外角， CAD=ACBD=6834=34。CAD=D。AC=CD=80。 在 RtABC 中，AB=ACsin68800.92774（m）。 答：落差 AB 为 74m。 1.某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC 垂直于地面，AB 表示楼梯，AE 为舞台面，楼梯的坡角 ABC=45，坡长 AB=2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯 AD，使 ADC=30 （1）求舞台的高 AC（结果保留根号）； （2） 在楼梯口 B 左侧正前方距离舞

23、台底部 C 点 3m 处有一株大树， 修新楼梯 AD 时底端 D 是否会触到大树？ 并说明理由 【答案答案】见解析 【解析】（1）已知 AB=2m，ABC=45， AC=BC=ABsin45=2 2 2 =2， 答：舞台的高为2米； （2）已知ADC=30 巩固 AD=2AC=22 CD=ADcos30=22 3 2 =63 答：修新楼梯 AD 时底端 D 不会触到大树 2.如图，王强同学在甲楼楼顶 A 处测得对面乙楼楼顶 D 处的仰角为 30，在甲楼楼底 B 处测得乙楼楼顶 D 处的仰角为 45，已知甲楼高 26 米，求乙楼的高度（31.7） 【答案答案】61.1米 【解析】解：作 AEDC

24、 于点 E， AED=90。 ABC=BCD=CEA=90， 四边形 ABCE 是矩形。AE=BC， AB=EC。 设 DC=x，AB=26，DE=x26。 在 RtAED 中，tan30= DE AE ，即 3x26 3x 。 解得：x61.1。 答：乙楼高为 61.1 米。 3.如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔 BD 的高度，他们先在 A 处测得古塔顶端 点D的仰角为45，再沿着BA的方向后退 20m 至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30，求该古塔 BD 的高度(31.732，结果保留一位小数) 【答案答案】627.3m 【解析】先根据题意得出：BAD、BCD 的度数

25、及 AC 的长，再在 RtABD 中可得出 AB=BD，利用锐角 三角函数的定义可得出 BD 的长 1.1.某厂家新开发一种摩托车如图所示， 它的大灯 A 射出的光线 AB、 AC 与地面 MN 的夹角分别为 8和 10， 大灯 A 与地面距离 1 m （1）该车大灯照亮地面的宽度 BC 约是多少？ （2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是 0.2 s，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的 距离叫做最小安全距离，某人以 60kmh 的速度驾驶该车，突然遇到危险情况，立即刹车直到摩托车停止， 在这过程中刹车距离是 3 14 m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求，请说明理

26、由（参 考数据： 25 4 8sin ， 7 1 8tan ， 50 9 10sin ， 28 5 10tan ） 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）CN= 28 tan105 AD BN=7 tan8 AD BC=1.4 米 拔高 （2）速度化为 50 3 m/s ,最小安全距离 50 3 0.2+14 3 =8 米7 米 该车大灯设计不能满足最小安全距离的要求. 2.如图，一艘货轮在 A 处发现其北偏东 45方向有一海盗船，立即向位于正东方向 B 处的海警舰发出求救 信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮 200 海里，并测得海盗船位 于海警舰北偏西 60

27、方向的 C 处 （1）求海盗船所在 C 处距货轮航线 AB 的距离 （2）若货轮以 45 海里/时的速度在 A 处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以 50 海里/时的速度由 C 处沿正南方 向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？（结果保留根号） 【答案答案】见解析 【解析解析】解：（1）作 CDAB 于点 D， 在直角三角形 ADC 中，CAD=45，AD=CD 在直角三角形 CDB 中，CBD=30， DC BD =tan30，BD=3CD AD+BD=CD+3CD=200， CD=100（31）； （2）海盗以 50 海里/时的速度由 C 处沿正南方向对货轮进行拦截

28、， 海盗到达 D 处用的时间为 100（31）50=2（31）， 警舰的速度应为200100（31）2（31）=503海里/时 3.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图 1 所示）： （1）在测点 A 处安置测倾器，测得旗杆顶部 M 的仰角MCE； （2）量出测点 A 到旗杆底部 N 的水平距离 ANm； （3）量出测倾器的高度 ACh。 根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度 MN。 如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图 2） （1）在图 2 中，画出你测量小山高度 MN 的示意图（标上适当的字母） （2）写出你的设计方案。 【答案答案】 见解析 【解析解析】分析：（1）根据题意要求，可作出示意图； （2）根据（1）中，所给的测量工具，可先测得MCE=，山顶 M 的仰角MDE=根据测点 A、B 之 间的距离 AB=m 构造两个直角三角形，可得设计方法 解：（1）如图所示； （2）在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角MCE=； 在测点 A 与小山之间的 B 处安置测倾器（A、B 与 N 在同一条直线上），测得此时山顶 M 的仰角MDE= ； 量出测倾器的高度 AC=BD=h，以及测点 A、B 之间的距离 AB=m根据上述测量数据，即可求出小山的高 度 MN 教学反思