2020年湖南省长沙市雨花区广益实验中学中考数学二模试卷（含答案解析）

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1、2020 年湖南省长沙市雨花区广益实验中学中考数学二模试卷年湖南省长沙市雨花区广益实验中学中考数学二模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 27 分）分） 1 （3 分）已知，则的值为（ ） A B C D 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A2x+3y5xy B （m+2）2m2+4 C （xy2）3xy6 Da10a5a5 3 （3 分）下列防疫的图标中是轴对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）若正多边形的一个外角是 36，则该正多边形为（ ） A正八边形 B正九边形 C正十边形 D正十一边形 5 （3 分）下列命题中，逆命题为真命题的是（ ） A实

2、数 a、b，若 ab，则|a|b| B两直线平行，同位角相等 C对顶角相等 D若 ac2bc2，则 ab 6 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 4x24x+c0 有两个相等实数根，则 c 的值是（ ） A1 B1 C4 D4 7 （3 分）如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 A，B 在同一水平面上） 为了测量 A、B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角 为 30，则 A，B 两地之间的距离为（ ） A400 米 B米 C1600 米 D800米 8 （3 分）温州市为美化城市环境，计划种植树木

3、 30 万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多 0.2 万棵，结果提前 5 天完成任务，设原计划每天植树 x 万棵，根据题意可列方程（ ） A5 B C5 D 9 （3 分）如图，AB 为O 的直径，AB30，点 C 在O 上，A24，则的长为（ ） A9 B10 C11 D12 10 （3 分）在一个不透明的盒子中装有 8 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中 随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（ ） A16 B12 C8 D4 11 （ 3分 ） 下 列3个 图 形 中 ， 阴 影 部 分 的 面 积 为1的 个 数 为 （ A3 个 B2 个 C1

4、个 D0 个 12 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（2，9a） ，下列结论： abc0；4a+2b+c0；9ab+c0；若方程 a（x+5） （x1）1 有两个根 x1和 x2，且 x1 x2，则5x1x21；若方程|ax2+bx+c|1 有四个根，则这四个根的和为8其中正确的结论有 （ ）个 A2 B3 C4 D5 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13 （3 分）分解因式：ax26axy+9ay2 14 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（m2+1，3）关于原点对称点在第 象限 15 （3 分）计

5、算的结果是 16（3分） 如图， 在ABC中， ACB90， CD是ABC的中线， 若DCB40， 则A的度数为 17 （3 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，BEO 的周长是 8，则BCD 的周长为 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，A 的圆心为（3，0） ，半径为，若直线 l：ykx1 与A 相 切，则 k 的值是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题，共个小题，共 66 分）分） 19 （6 分）计算3tan30+（3.14）0+（） 1 20 （6 分）解不等式组，并写出它的整数解 21 （8 分）某校七、八年级各有

6、10 名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分） ： 七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98 八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98 整理得到如下统计表 年级 最高分 平均分 中位数 众数 方差 七年级 98 94 a m 7.6 八年级 98 n 94 93 6.6 根据以上信息，完成下列问题 （1）填空：a ；m ；n ； （2）两个年级中， 年级成绩更稳定； （3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为 B1，B2，现从这四 人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出

7、这两人分别来自不同年级的概率 22 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别是 A（2，2） ，B（4，0） ，C（4， 4） （1）请在图中，画出ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的A1B1C1； （2） 以点 O 为位似中心， 将ABC 缩小为原来的， 得到A2B2C2， 请在图中 y 轴右侧， 画出A2B2C2， 并求出A2C2B2的正弦值 23 （9 分）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有 的养老床位及养老建筑不断增加 （1）该市的养老床位数从 2017 年底的 2 万个增长到 2019 年底的 2.88 万

8、个，求该市这两年（从 2017 年 底到 2019 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； （2）该市某社区今年准备新建一养老中心，如果计划赡养 200 名老人，建筑投入平均 5 万元/人，且计 划赡养的老人每增加 5 人，建筑投入平均减少 1000 元/人，那么新建该养老中心需申报的最高建筑投入 是多少？ 24 （9 分）如图，直线 l：yx+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，C 为线段 OA 的一个动点，以 A 为圆心，AC 长为半径作A，A 交 AB 于点 D，连接 OD 并延长交A 于点 E，连接 CD （1）当 AC2 时，证明：OBD 是等边三角形； （2）当OCDO

9、DA 时，求A 的半径 r； （3）当点 C 在线段 OA 上运动时，求 ODDE 的最大值 25 （10 分）如图，已知函数 y（k0，x0）的图象与一次函数 ymx+5（m0）的图象相交于不同 的两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，过点 A 作 ADx 轴于点 D，连接 AO，AOD 的面积为 2 （1）求 k 的值及 x14 时 m 的值； （2）记x表示为不超过 x 的最大整数，例如：1.91，22，设 tODDC，若m，求 m2t值 （3）已知线段 AB 的垂直平分线经过点 O，P（x0，y0）是函数 y（k0，x0）的图象上一动点， 令 zmy0+9；当 x2x0 x1时

10、，不等式n+1004z23mz+2015+9mn2 总是成立的，求 n 的取值 范围 26 （10 分）如图，点 A 是直线 ykx（k0）上一点，且在第一象限，点 B，C 分别是 x，y 正半轴上的点， 且满足BAC90 （1）如图 1，当 k1 时，求证：ABAC； （2）如图 2，记AOB， 根据所学，不难得到 tan ， （用含 k 的式子表示） ； 若 k，求的值； （3）如图 3，若 k，连接 BC，OABC，已知抛物线 yax2+bx+c 经过 O，A，B 三点，与直线 BC 相交于点 B，D，连接 OD，OBD 的面积为，求抛物线的函数表达式 参考答案与试题解析参考答案与试题解

11、析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 27 分）分） 1 （3 分）已知，则的值为（ ） A B C D 【分析】根据比例的性质解答即可 【解答】解：由，可得：2y5（x2y） ， 解得：5x12y， 所以的值为， 故选：D 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A2x+3y5xy B （m+2）2m2+4 C （xy2）3xy6 Da10a5a5 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式m2+4m+4，不符合题意； C、原式x3y6，不符合题意； D、原式a5，符合题意 故选：D 3 （3 分）下列防疫的图标中是轴对称

12、图形的是（ ） A B C D 【分析】直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案 【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意 故选：C 4 （3 分）若正多边形的一个外角是 36，则该正多边形为（ ） A正八边形 B正九边形 C正十边形 D正十一边形 【分析】多边形的外角和等于 360，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成 36n，列方程 可求解 【解答】解：设所求正多边形边数为 n， 则 36n360， 解得 n10 故正多边形的边数是 10 故选：C 5 （3 分）下列命题中，逆命题为真命题

13、的是（ ） A实数 a、b，若 ab，则|a|b| B两直线平行，同位角相等 C对顶角相等 D若 ac2bc2，则 ab 【分析】写出各个命题的逆命题，判断即可 【解答】解：A、实数 a、b，若 ab，则|a|b|逆命题是若|a|b|，则 ab，是假命题； B、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题； C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题； D、若 ac2bc2，则 ab 的逆命题是若 ab，则 ac2bc2，是假命题； 故选：B 6 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 4x24x+c0 有两个相等实数根，则 c 的值是（ ） A1 B1 C4

14、D4 【分析】根据判别式的意义得到4244c0，然后解一次方程即可 【解答】解：一元二次方程 4x24x+c0 有两个相等实数根， 4244c0， c1， 故选：B 7 （3 分）如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 A，B 在同一水平面上） 为了测量 A、B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角 为 30，则 A，B 两地之间的距离为（ ） A400 米 B米 C1600 米 D800米 【分析】根据题意可得，CAAB，AC800，B30，进而可求 A，B 两地之间的距离 【解答】解：根据题意可知：

15、 CAAB，AC800，B30， AB800（米） 答：A，B 两地之间的距离为 800米 故选：D 8 （3 分）温州市为美化城市环境，计划种植树木 30 万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多 0.2 万棵，结果提前 5 天完成任务，设原计划每天植树 x 万棵，根据题意可列方程（ ） A5 B C5 D 【分析】根据“原计划所用时间实际所用时间5 天”可列方程 【解答】解：设原计划每天植树 x 万棵，根据题意可列方程5， 故选：A 9 （3 分）如图，AB 为O 的直径，AB30，点 C 在O 上，A24，则的长为（ ） A9 B10 C11 D12 【分析】连接 OC，根据等腰三

16、角形的性质求出OCA，根据三角形内角和定理求出AOC，根据弧长 公式计算，得到答案 【解答】解：连接 OC， OAOC， OCAA24， AOC180242132， 的长11， 故选：C 10 （3 分）在一个不透明的盒子中装有 8 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中 随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（ ） A16 B12 C8 D4 【分析】首先设黄球的个数为 x 个，根据题意，利用概率公式即可得方程：，解此方程即可求 得答案 【解答】解：设黄球的个数为 x 个， 根据题意得：， 解得：x4 故选：D 11 （ 3分 ） 下 列3个 图 形 中 ， 阴 影

17、部 分 的 面 积 为1的 个 数 为 （ A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 【分析】分别求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解； 把 x2 分别代入两个函数解析式求出对应的 y，然后利用三角形的面积公式即可求解； 首先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解 【解答】解：yx， 当 x0，y， 当 y0，x， yx+1， 当 x0，y1， S阴影部分（1+）1； 当 x2，y，y S阴影部分（）21； yx21， 当 x0，y1， 当 y0，x1， S阴影部分121； 故阴影部分的面积为 1 的有 故选：A 12 （3 分）二次函数 yax2

18、+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（2，9a） ，下列结论： abc0；4a+2b+c0；9ab+c0；若方程 a（x+5） （x1）1 有两个根 x1和 x2，且 x1 x2，则5x1x21；若方程|ax2+bx+c|1 有四个根，则这四个根的和为8其中正确的结论有 （ ）个 A2 B3 C4 D5 【分析】根据二次函数的性质一一判断即可 【解答】 解： 抛物线的开口向上， 则 a0， 对称轴在 y 轴的左侧， 则 b0， 交 y 轴的负半轴， 则 c0， abc0，所以结论错误； 抛物线的顶点坐标（2，9a） ， 2，9a， b4a，c5a， 抛物线的解析式为 yax2+4a

19、x5a， 4a+2b+c4a+8a5a7a0，所以结论正确， 9ab+c9a4a5a0，故结论正确， 抛物线 yax2+4ax5a 交 x 轴于（5，0） ， （1，0） ， 若方程 a （x+5） （x1） 1 有两个根 x1和 x2， 且 x1x2， 则5x1x21， 正确， 故结论正确， 若方程|ax2+bx+c|1 有四个根，设方程 ax2+bx+c1 的两根分别为 x1，x2，则2，可得 x1+x2 4， 设方程 ax2+bx+c1 的两根分别为 x3，x4，则2，可得 x3+x44， 所以这四个根的和为8，故结论正确， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，

20、共小题，共 18 分）分） 13 （3 分）分解因式：ax26axy+9ay2 a（x3y）2 【分析】首先提公因式 a，然后利用完全平方公式分解 【解答】解：原式a（x26xy+9y2） a（x3y）2 故答案是：a（x3y）2 14 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（m2+1，3）关于原点对称点在第 二 象限 【分析】直接利用关于原点对称点的性质结合每个象限内点的坐标特点得出答案 【解答】解：点 P（m2+1，3）关于原点对称点为（m21，3） ， m210， （m21，3）在第二象限 故答案为：二 15 （3 分）计算的结果是 【分析】先把分式化成同分母，再根据同分母分式相加减，分母

21、不变，分子相加减，即可得出答案 【解答】解：+； 故答案为： 16 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，CD 是ABC 的中线，若DCB40，则A 的度数为 50 【分析】根据直角三角形和等腰三角形的性质即可得到结论 【解答】解：在ABC 中，ACB90，CD 是ABC 的中线， BDCDAB， BDCB40， A90B50， 故答案为：50 17 （3 分）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，BEO 的周长是 8，则BCD 的周长为 16 【分析】根据平行四边形的性质可得 BODOBD，进而可得 OE 是ABC 的中位线，由三角形中位 线定理得

22、出 BC2OE，再根据平行四边形的性质可得 ABCD，从而可得BCD 的周长BEO 的周 长2 【解答】解：ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， BODOBD，BD2OB， O 为 BD 中点， 点 E 是 AB 的中点， AB2BE，BC2OE， 四边形 ABCD是平行四边形， ABCD， CD2BE BEO 的周长为 8， OB+OE+BE8， BD+BC+CD2OB+2OE+2BE2（OB+OE+BE）16， BCD 的周长是 16， 故答案为 16 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，A 的圆心为（3，0） ，半径为，若直线 l：ykx1 与A 相 切，则 k 的值是

23、或 2 【分析】如图，直线 l：ykx1 与A 相切于点 M、N，根据切线的性质得 AMBM，ANBN，再求 出 B 点坐标， AB， BM， 则可判断ABM 为等腰直角三角形， 延长 AM 到 M使 MMAM， 延长 AN 到 N使 NNAN， 则ABM和ABN都为等腰直角三角形， 利用旋转的性质可求出 M （1，4） ，N（1，2） ，则根据线段中点坐标公式得到 M（2，2） ，N（1，1） ，然后把 M、N 点坐 标分别代入 ykx1 求出对应的 k 的值 【解答】解：如图，当 x0 时，ykx11，则 B（0，1） ， 直线 l：ykx1 与A 相切于点 M、N，则 AMBM，ANBN

24、， A（3，0） ，B（0，1） ， AB， BM， ABM 为等腰直角三角形， 延长 AM 到 M使 MMAM，延长 AN 到 N使 NNAN，则ABM和ABN都为等腰直角三 角形， BM可由 BA 绕 B 点顺时针旋转 90得到，BN可由 BA 绕 B 点逆时针旋转 90得到， M（1，4） ，N（1，2） ， M（2，2） ，N（1，1） ， 把 M（2，2）代入 ykx1 得 2k12，解得 k； 把 N（1，1）代入 ykx1 得 k11，解得 k2， k 的值为或 2 故答案为或 2 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题，共个小题，共 66 分）分） 19 （6 分）计

25、算3tan30+（3.14）0+（） 1 【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案 【解答】解：原式23+1+2 1 20 （6 分）解不等式组，并写出它的整数解 【分析】先分别解两个不等式，再找出两个解集的公共部分，得出不等式组的解集，然后根据这个解集 找出整数解 【解答】解： 解不等式，得 x1， 解不等式，得 x2， 不等式组的解集是：1x2， 满足不等式组的整数解为 0，1，2 21 （8 分）某校七、八年级各有 10 名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分） ： 七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，

26、98 八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98 整理得到如下统计表 年级 最高分 平均分 中位数 众数 方差 七年级 98 94 a m 7.6 八年级 98 n 94 93 6.6 根据以上信息，完成下列问题 （1）填空：a 94 ；m 92 ；n 94 ； （2）两个年级中， 八 年级成绩更稳定； （3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为 B1，B2，现从这四 人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率 【分析】 （1）根据中位数、众数和平均数的定义求解； （2）根据方差的意义进行

27、判断； （3）画树状图展示所有 12 等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率 公式求解 【解答】解： （1）a94；m92， n（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）94； （2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小， 所以八年级的成绩稳定； 故答案为 94，92，94；八； （3）列表得： 乙 甲 A1 A2 B1 B2 A1 （A1，A2） （A1，B1） （A1，B2） A2 （A2，A1） （A2，B1） （A2，B2） B1 （B1，A1） （B1，A2） （B1，B2） B2 （B2，A1） （B2，A2） （B2，B1

28、） 共有 12 种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有 8 种情况， P（这两人分别来自不同年级的概率） 22 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别是 A（2，2） ，B（4，0） ，C（4， 4） （1）请在图中，画出ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的A1B1C1； （2） 以点 O 为位似中心， 将ABC 缩小为原来的， 得到A2B2C2， 请在图中 y 轴右侧， 画出A2B2C2， 并求出A2C2B2的正弦值 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案

29、【解答】解： （1）如图所示：A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：A2B2C2，即为所求， 由图形可知，A2C2B2ACB， 过点 A 作 ADBC 交 BC 的延长线于点 D， 由 A（2，2） ，C（4，4） ，B（4，0） ，易得 D（4，2） ， 故 AD2，CD6，AC2， sinACB， 即 sinA2C2B2 23 （9 分）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有 的养老床位及养老建筑不断增加 （1）该市的养老床位数从 2017 年底的 2 万个增长到 2019 年底的 2.88 万个，求该市这两年（从 2017 年 底到 201

30、9 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； （2）该市某社区今年准备新建一养老中心，如果计划赡养 200 名老人，建筑投入平均 5 万元/人，且计 划赡养的老人每增加 5 人，建筑投入平均减少 1000 元/人，那么新建该养老中心需申报的最高建筑投入 是多少？ 【分析】 （1）设该市这两年（从 2017 年底到 2019 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为 x，根据 该市 2017 年底及 2019 年底拥有的养老床位数，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得 出结论； （2）设在 200 人的基础上增加 m 人时，建筑总投入为 w 元，根据总投入人数人均投入，即可得出 w

31、关于 m 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设该市这两年（从 2017 年底到 2019 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为 x， 依题意，得：2（1+x）22.88， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 答：该市这两年（从 2017 年底到 2019 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为 20% （2）设在 200 人的基础上增加 m 人时，建筑总投入为 w 元， 依题意，得：w（200+m） （50000200m）200（m25）2+10125000， 2000， 当 m25 时，w 取得最大值，最大值为 10125000 答：

32、新建该养老中心需申报的最高建筑投入为 10125000 元 24 （9 分）如图，直线 l：yx+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，C 为线段 OA 的一个动点，以 A 为圆心，AC 长为半径作A，A 交 AB 于点 D，连接 OD 并延长交A 于点 E，连接 CD （1）当 AC2 时，证明：OBD 是等边三角形； （2）当OCDODA 时，求A 的半径 r； （3）当点 C 在线段 OA 上运动时，求 ODDE 的最大值 【分析】 （1）先求出点 A，点 B 坐标，由锐角三角函数可求BAO30，可得 AB2OB4，ABO 60，可得 BDBO，可得结论； （2）如图 1，过点

33、 D 作 DHAO 于 H，由相似三角形的性质可得ODCOAB30，由等腰三角 形的性质可求DOHACDODC45，由直角三角形的性质可求 DHr，AHDH r，DHOHr，即可求解； （3） 通过证明ODGHDE， 可得， 可得 ODDEGDDH （3AD） 2AD2 （AD） 2+ ，由二次函数的性质可求解 【解答】解： （1）直线 l：yx+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 点 A（2，0） ，点 B（0，2） ， OA2，OB2， tanBAO， BAO30， AB2OB4，ABO60， ACAD2， BD2BO， 且ABO60， BDO 是等边三角形； （2）如图 1

34、，过点 D 作 DHAO 于 H， OCDODA， ODCOAB30， ACAD，BAO30， ACD75， DOHACDODC45， DHAO，DAO30， DHr，AHDHr， DHAO，DOH45， DHOHr， AOOH+AH2， 2r+r， r62； （3）如图 2，连接 EH，过点 O 作 OGAB 于 G， OGAB，BAO30， OGAO，AGOG3， GD3AD， DH 是直径， DEH90OGD， 又ODGHDE， ODGHDE， ， ODDEGDDH（3AD） 2AD2（AD）2+， 当 AD时，ODDE 的最大值为 25 （10 分）如图，已知函数 y（k0，x0）的图

35、象与一次函数 ymx+5（m0）的图象相交于不同 的两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，过点 A 作 ADx 轴于点 D，连接 AO，AOD 的面积为 2 （1）求 k 的值及 x14 时 m 的值； （2）记x表示为不超过 x 的最大整数，例如：1.91，22，设 tODDC，若m，求 m2t值 （3）已知线段 AB 的垂直平分线经过点 O，P（x0，y0）是函数 y（k0，x0）的图象上一动点， 令 zmy0+9；当 x2x0 x1时，不等式n+1004z23mz+2015+9mn2 总是成立的，求 n 的取值 范围 【分析】 （1）利用点 A 坐标表示出AOD 的面积，再结合

36、x1y1k 可求得 k 的值，根据 A 的横坐标可得 纵坐标，代入一次函数可得 m 的值； （2）先根据一次函数与 x 轴的交点确定 OC 的长，表示 DC 的长，从而可以表示 t，联立方程组，可得： mx12+5x14，再根据 m 的取值计算 m2t，最后利用新定义可得结论； （3）首先确定 m 的值，A，B 两点的坐标，把问题转化为解不等式组即可解决问题 【解答】解： （1）点 A（x1，y1） ， ODx1，ADy1， SAODODADx1y12， kx1y14， 反比例函数解析式为：y， 当 x14 时，y11， A（4，1） ， 将点 A 坐标代入 ymx+5 中， 得 4m+51，

37、 m1； （2） mx2+5x40， A 的横坐标为 x1， mx12+5x14， 当 y0 时，mx+50， x， OC，ODx1， m2tm2 （ODDC） ， m2x1（x1） ， m（5x1mx12） ， 4m， m， 54m6， m2t5； （3）由题意线段 AB 的垂直平分线经过点 O， 点 A，点 B 关于直线 yx 对称， 直线 AB 的解析式为 yx+5，可得 A（4，1） ，B（1，4） ， m1，1x04， zy0+9（x0+5）+9x0+4， n+1004z23mz+2015+9mn2 总是成立的， 即n+1004（x0+4）2+3（x0+4）+20159n2 总是成立

38、的， 即n1010（x02）2+1n2016 总是成立的， 1x04， 0（x02）2+11， 解不等式：n10100n2016，得到 2016n2020， 解不等式：n10101n2016，得到 2017n2022， 综上所述，满足条件的 n 的值为：2017n2020 26 （10 分）如图，点 A 是直线 ykx（k0）上一点，且在第一象限，点 B，C 分别是 x，y 正半轴上的点， 且满足BAC90 （1）如图 1，当 k1 时，求证：ABAC； （2）如图 2，记AOB， 根据所学，不难得到 tan k ， （用含 k 的式子表示） ； 若 k，求的值； （3）如图 3，若 k，连接

39、 BC，OABC，已知抛物线 yax2+bx+c 经过 O，A，B 三点，与直线 BC 相交于点 B，D，连接 OD，OBD 的面积为，求抛物线的函数表达式 【分析】 （1）证明 RtANCRtAMB，即可求解； （2）根据（1）知，tank，即可求解；证明 RtANCRtAMB，则tanAOB k； （3）证明 C、O、A、B 四点共圆和 RtCBORtCBA（HL） ，得到OAB 为等腰三角形，求出点 A （，） ，将点 A 的坐标代入抛物线表达式得到a（） （m） ，而OBD 的面积 OByDm（+2m），即可求解 【解答】解： （1）如图 1，过点 A 作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足

40、分别为点 M、N， 当 k1 时，直线 OA 的表达式为 yx，则 AMAN， CAN+NAB90，NAB+BAM90， CANBAM， RtANCRtAMB， ACAB； （2）根据（1）知，tank， 故答案为 k； 如图 1，过点 A 作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为点 M、N， 同理可得：CANBAM， RtANCRtAMB， tanAOBk， 故的值为； （3）设直线 OA 交 BC 于点 E，连接 AB，过点 A 作 AMx 轴于点 M， 在 RtBOC 中，EOB+COE90，COE+ECO90， ECOEOB， 同理ACEEAB， COBCAB90， C、O、A、B 四点

41、共圆，则 BC 是圆的直径， 故OCBOAB， AOBOAB， OBAB， ACO 为等腰三角形， ABOB，BCBC， RtCBORtCBA（HL） ， COCA， 而 OBAB， 故 BCOA， tank，则 sin，cos， 设点 B（m，0） （m0） ， 在 RtBCE 中，OEOBm，则 OEOBcos，则 OA2OE， 在 RtAOM 中，AMOAsin， 同理可得：OM，故点 A（，） ， tanktanAOB，则 tanEBO2， 故设直线 BD 的表达式为 y2（xm）， 设抛物线的表达式为 ya（xx1） （xx2）ax（xm）， 将点 A 的坐标代入上式得：a（） （m）， 联立并整理得：ax2+（2am）x2m0， 则 xBxD，即 mxD，解得 xD， 当 x时，yD2（xm）+2m， 则OBD 的面积OByDm（+2m）， 联立并解得， 故抛物线的表达式为 yx2x