2020年广东省中山市南朗镇中考数学一模试卷（含答案）

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1、 2020 年广东省年广东省中山市南朗镇中山市南朗镇中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 10 小题，满分小题，满分 30 分）分） 1 （3 分）2020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 2 （3 分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A赵爽弦图 B笛卡尔心形线 C科克曲线 D斐波那契螺旋线 3 （3 分）港珠澳大桥全长 55 千米，工程项目总投资额 1269 亿元，用科学记数法表示 1269 亿为（ ） A1269108 B1.269108 C1.2691010 D1.2691

2、011 4 （3 分）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ） A B C D 5 （3 分）数据 5，4，3，4，9 的中位数是（ ） A3 B4 C5 D6 6 （3 分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上若135，则2 的度数是（ ） A35 B45 C55 D65 7 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa3+a2a5 B （a2）3a5 Ca5a2a3 Dy2y22y2 8 （3 分）实数 m，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ） Amn Bn|m| Cm|n| D|m|n| 9 （3 分）a 是方程 x2+x10 的一个根，则代数式2a22a+2020 的

3、值是（ ） A2018 B2019 C2020 D2021 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E 是 BC 的中点，连接 AE 与对角线 BD 交于点 G，连接 CG 并延长，交 AB 于点 F，连接 DE 交 CF 于点 H，连接 AH以下结论：DECAEB；CF DE；AFBF；，其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 7 小题，满分小题，满分 28 分）分） 11 （4 分）计算的结果是 12 （4 分）若一个多边形的内角和与外角和之和是 900，则该多边形的边数是 13 （4 分）分解因式：x4

4、4x2 14 （4 分）已知实数 x，y 满足|x5|+0 那么代数式（）2008的值为 15 （4 分）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽 AB（这段河流的两岸平行） ，他们在点 C 测得ACB30， 点 D 处测得ADB60， CD80m， 则河宽 AB 约为 m （结果保留整数， 1.73） 16 （4 分）把半径为 1 的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么 这个恒星图形的面积等于 17 （4 分）如图，在 RtOAB 中，OA4，AB5，点 C 在 OA 上，AC1，P 的圆心 P 在线段 BC 上， 且P 与边 AB，AO 都相切若

5、反比例函数 y（k0）的图象经过圆心 P，则 k 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 6 分，共分，共 3 小题，满分小题，满分 18 分）分） 18 （6 分）计算：|13|+（） 1（ sin30）0 19 （6 分）先化简，再求值：（a） ，其中 a2，b2 20 （6 分）已知：AC 是ABCD 的对角线 （1）用直尺和圆规作出线段 AC 的垂直平分线，与 AD 相交于点 E，连接 CE （保留作图痕迹，不写作 法） ； （2）在（1）的条件下，若 AB3，BC5，求DCE 的周长 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 8 分，共分，共 3 小题，满分小题，满分 24 分）分） 21

6、 （8 分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 3 只 A 型节能灯和 5 只 B 型节能灯 共需 50 元，2 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 31 元 （1）求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共 200 只，要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节能灯的数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 22 （8 分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积 雾霾天气得到了较大改善 为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度， 某校在学生中做了一次抽

7、样调查， 调查结果共分为四个等级：A非常了解；B比较了解；C基本了解；D不了解根据调查统计结 果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表 对雾霾天气了解程度的统计表 对雾霾天气了解程 度 百分比 A非常了解 5% B比较了解 15% C基本了解 45% D不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有 ，n ； （2）扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角是 度； （3）请补全条形统计图； （4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选 一人参加， 现设计了如下游戏来确定，具体规则是： 把四个完全相同的乒乓球分别标上数字

8、1， 2，3，4， 然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随 机摸出一个球若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去请用树状图或列表法说明 这个游戏规则是否公平 23 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，分别过点 B、C 作 BEAC，CEBD， BE 与 CE 交于点 E （1）求证：四边形 OBEC 是矩形； （2）当ABD60，AD2时，求EDB 的正切值 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 10 分，共分，共 2 小题，满分小题，满分 20 分）分） 24 （10 分）如图，点 O 是线

9、段 AH 上一点，AH3，以点 O 为圆心，OA 的长为半径作O，过点 H 作 AH 的垂线交O 于 C，N 两点，点 B 在线段 CN 的延长线上，连接 AB 交O 于点 M，以 AB，BC 为边作 ABCD （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若 OHAH，求四边形 AHCD 与O 重叠部分的面积； （3）若 NHAH，BN，连接 MN，求 OH 和 MN 的长 25 （10 分）如图 1，在菱形 OABC 中，已知 OA2，AOC60，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 O，C，B 三点 （）求出点 B、C 的坐标并求抛物线的解析式 （）如图 2，点 E 是 AC 的中点，点 F

10、 是 AB 的中点，直线 AG 垂直 BC 于点 G，点 P 在直线 AG 上 （1）当 OP+PC 的值最小时，求出点 P 的坐标； （2）在（1）的条件下，连接 PE、PF、EF 得PEF，问在抛物线上是否存在点 M，使得以 M，B，C 为顶点的三角形与PEF 相似？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 10 小题，满分小题，满分 30 分）分） 1 （3 分）2020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 【解答】解：2020 的相

11、反数是：2020 故选：B 【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键 2 （3 分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A赵爽弦图 B笛卡尔心形线 C科克曲线 D斐波那契螺旋线 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图 形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错

12、误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折 叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合 3 （3 分）港珠澳大桥全长 55 千米，工程项目总投资额 1269 亿元，用科学记数法表示 1269 亿为（ ） A1269108 B1.269108 C1.2691010 D1.2691011 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a

13、时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：1269 亿12690000000051011， 故选：D 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）下列几何体中，主视图为三角形的是（ ） A B C D 【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可 【解答】解：A、主视图是三角形，故此选项正确； B、主视图是矩形，故此选项错误； C、主视图是圆，故此选项错误； D、主视图是矩形

14、，故此选项错误； 故选：A 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形 5 （3 分）数据 5，4，3，4，9 的中位数是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】根据中位数的定义求解即可 【解答】解：这组数据按顺序排列为：3，4，4，5，9， 则中位数为 4 故选：B 【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握中位数的定义 6 （3 分）如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上若135，则2 的度数是（ ） A35 B45 C55 D65 【分析】求出3 即可解决问题； 【解答】解： 1+390，135， 355， 2355

15、， 故选：C 【点评】此题考查了平行线的性质两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键 7 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa3+a2a5 B （a2）3a5 Ca5a2a3 Dy2y22y2 【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方及积的乘方运算法则，结合各选项即可作出判断 【解答】解：A、a3+不是同类项 a2不能直接合并，故本选项错误： B、 （a2）3a6，故本选项错误； C、a5a2a3，故本选项正确： D、y2y2y4，故本选项错误 故选：C 【点评】本题考查整式的加减及同底数幂的乘法，属于计算题，难度不大，注意掌握每种运算的运算法 则 8 （3 分）实数 m，n 在数轴上的对应点

16、如图所示，则下列各式子正确的是（ ） Amn Bn|m| Cm|n| D|m|n| 【分析】从数轴上可以看出 m、n 都是负数，且 mn，由此逐项分析得出结论即可 【解答】解：因为 m、n 都是负数，且 mn，|m|n|， A、mn 是错误的； B、n|m|是错误的； C、m|n|是正确的； D、|m|n|是错误的 故选：C 【点评】此题考查有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答 9 （3 分）a 是方程 x2+x10 的一个根，则代数式2a22a+2020 的值是（ ） A2018 B2019 C2020 D2021 【分析】根据一元二次方程根的定义得到 a2+a1，再把2a22

17、a+2020 变形为2（a2+a）+2020，然 后利用整体代入的方法计算 【解答】解：a 是方程 x2+x10 的一个根， a2+a10，即 a2+a1， 2a22a+20202（a2+a）+202021+20202018 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程 的解 10 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E 是 BC 的中点，连接 AE 与对角线 BD 交于点 G，连接 CG 并延长，交 AB 于点 F，连接 DE 交 CF 于点 H，连接 AH以下结论：DECAEB；CF DE；AFBF；，其中正确结论的个

18、数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】证明ABEDCE，可得结论正确，由正方形的性质可得 ABADBCCD6，BECE 3，DCEABE90，ABDCBD45，可证ABEDCE，ABGCBG，可得 BCFCDE， 由余角的性质可得结论， 证明DCECBF 可得结论， 由勾股定理可求 DE 的长， 由面积法可求 CH，由相似三角形的性质可求 CF，可得 HF 的长，即可判断 【解答】解：四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形，点 E 是 BC 的中点， ABADBCCD6，BECE3，DCEABE90，ABDCBD45， ABEDCE（SAS） DECAEB，BAECDE，DEAE，故正

19、确， ABBC，ABGCBG，BGBG， ABGCBG（SAS） BAEBCF， BCFCDE，且CDE+CED90， BCF+CED90， CHE90， CFDE，故正确， CDEBCF，DCBC，DCECBF90， DCECBF（ASA） ， CEBF， CEBCAB， BFAB， AFFB，故正确， DC6，CE3， DE3， SDCECDCEDECH， CH， CHECBF，BCFECH， ECHFCB， ， CF3， HFCFCH， ，故正确， 故选：D 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形 的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性

20、质进行推理是本题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 7 小题，满分小题，满分 28 分）分） 11 （4 分）计算的结果是 3 【分析】由表示 9 的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果 【解答】解：329， 3 故填 3 【点评】本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负 数没有平方根 12 （4 分）若一个多边形的内角和与外角和之和是 900，则该多边形的边数是 5 【分析】本题需先根据已知条件以及多边形的外角和是 360，解出内角和的度数，再根据内角和度数 的计算公式即可求出边数 【解答】解：多边形的内角和与

21、外角和的总和为 900，多边形的外角和是 360， 多边形的内角和是 900360540， 多边形的边数是：540180+23+25 故答案为：5 【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式 解出本题即可 13 （4 分）分解因式：x44x2 x2（x+2） （x2） 【分析】先提取公因式再利用平方差公式进行分解，即 x44x2x2（x24）x2（x+2） （x2） ； 【解答】解：x44x2x2（x24）x2（x+2） （x2） ； 故答案为 x2（x+2） （x2） ； 【点评】本题考查因式分解；熟练运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是

22、解题的关键 14 （4 分）已知实数 x，y 满足|x5|+0 那么代数式（）2008的值为 1 【分析】利用非负数的性质求出 x 与 y 的值，代入原式计算即可 【解答】解：|x5|+0， x5，y4， 则原式1 故答案为：1 【点评】此题考查了代数式求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键 15 （4 分）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽 AB（这段河流的两岸平行） ，他们在点 C 测得ACB30，点 D 处测得ADB60，CD80m，则河宽 AB 约为 69 m（结果保留整数， 1.73） 【分析】在 RtABC 中，ACB30，ADB60，则DAC30，

23、所以 DADC80，在 Rt ABD 中，通过三角函数关系求得 AB 的长 【解答】解：在 RtABC 中，ACB30，ADB60， DAC30， DADC80， 在 RtABD 中， ， 4069（米） ， 故答案为 69 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键 16 （4 分）把半径为 1 的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么 这个恒星图形的面积等于 4 【分析】恒星的面积边长为 2 的正方形面积半径为 1 的圆的面积，依此列式计算即可 【解答】解：如图： 新的正方形的边长为 1+12， 恒星的面积224 故答案为 4 【点评

24、】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积边长为 2 的正方形面积半径为 1 的圆 的面积 17 （4 分）如图，在 RtOAB 中，OA4，AB5，点 C 在 OA 上，AC1，P 的圆心 P 在线段 BC 上， 且P 与边 AB，AO 都相切若反比例函数 y（k0）的图象经过圆心 P，则 k 【分析】设P 与边 AB，AO 分别相切于点 E、D，连接 PE、PD、PA，用面积法可求出P 的半径，然 后通过三角形相似可求出 CD，从而得到点 P 的坐标，就可求出 k 的值 【解答】解：设P 与边 AB，AO 分别相切于点 E、D，连接 PE、PD、PA，如图所示 则有 PDOA，PEA

25、B 设P 的半径为 r， AB5，AC1， SAPBABPEr，SAPCACPDr AOB90，OA4，AB5， OB3 SABCACOB13 SABCSAPB+SAPC， r+r r PD PDOA，AOB90， PDCBOC90 PDBO PDCBOC PDOCCDBO （41）3CD CD ODOCCD3 点 P 的坐标为（，） 反比例函数 y（k0）的图象经过圆心 P， k 故答案为： 【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾 股定理等知识，有一定的综合性 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 6 分，共分，共 3 小题，满分小题，满分

26、 18 分）分） 18 （6 分）计算：|13|+（） 1（ sin30）0 【分析】|13|2； （） 12； （ sin30）01 【解答】解：原式2+213 【点评】本题考查的知识点是：负数的绝对值是正数；a p 任何不等于 0 的数的 0 次幂是 1 19 （6 分）先化简，再求值：（a） ，其中 a2，b2 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a、b 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当 a2，b2时， 原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则 20 （6 分）已知：AC 是ABCD 的对角线 （1）用直尺和圆

27、规作出线段 AC 的垂直平分线，与 AD 相交于点 E，连接 CE （保留作图痕迹，不写作 法） ； （2）在（1）的条件下，若 AB3，BC5，求DCE 的周长 【分析】 （1）利用基本作图作 AC 的垂直平分线得到 E 点； （2）利用平行四边形的性质得到 ADBC5，CDAB3，再根据线段垂直平分线上的性质得到 EA EC，然后利用等线段代换计算DCE 的周长 【解答】解： （1）如图，CE 为所作； （2）四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC5，CDAB3， 点 E 在线段 AC 的垂直平分线上， EAEC， DCE 的周长CE+DE+CDEA+DE+CDAD+CD5+38 【点

28、评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已 知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 也考查了平行四边 形的性质 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 8 分，共分，共 3 小题，满分小题，满分 24 分）分） 21 （8 分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 3 只 A 型节能灯和 5 只 B 型节能灯 共需 50 元，2 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 31 元 （1）求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共 200

29、 只，要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节能灯的数量的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到费用与购买 A 型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题 【解答】解： （1）设 1 只 A 型节能灯的售价是 x 元，1 只 B 型节能灯的售价是 y 元， ，解得， 答：1 只 A 型节能灯的售价是 5 元，1 只 B 型节能灯的售价是 7 元； （2）设购买 A 型号的节能灯 a 只，则购买 B 型号的节能灯（200a）只，费用为 w 元， w5a+7（200a）2a+140

30、0， a3（200a） ， a150， 当 a150 时，w 取得最小值，此时 w1100，200a50， 答：当购买 A 型号节能灯 150 只，B 型号节能灯 50 只时最省钱 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键 是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答 22 （8 分）近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积 雾霾天气得到了较大改善 为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度， 某校在学生中做了一次抽样调查， 调查结果共分为四个等级：A非常了解；B比较了解；C基本了解；D不了解根据调查统计

31、结 果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表 对雾霾天气了解程度的统计表 对雾霾天气了解程 度 百分比 A非常了解 5% B比较了解 15% C基本了解 45% D不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次参与调查的学生共有 400 ，n 35% ； （2）扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角是 126 度； （3）请补全条形统计图； （4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选 一人参加， 现设计了如下游戏来确定，具体规则是： 把四个完全相同的乒乓球分别标上数字 1， 2，3，4， 然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋

32、中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随 机摸出一个球若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去请用树状图或列表法说明 这个游戏规则是否公平 【分析】 （1）用 C 等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用 1 减去其它等级的百分比 得到 n 的值； （2）用 360乘以 D 等级所占的百分比得到扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角； （3）先计算出 D 等级的人数，然后补全条形统计图； （4）先画树状图展示所有 12 种等可能的结果，找出和为奇数的结果有 8 种，再计算出小明去和小刚去 的概率然后比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平 【解答】解： （1）1

33、8045%400， 所以本次参与调查的学生共有 400 人， n15%15%45%35%； （2）扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角36035%126， 故答案为 400；35%；126； （3）D 等级的人数为 40035%140（人） ， 补全条形统计图为： （4）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中和为奇数的结果有 8 种， P（小明去） P（小刚去）1 这个游戏规则不公平 【点评】 本题考查了游戏的公平性： 判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率， 然后比较概率的大小， 概率相等就公平，否则就不公平也考查了统计图 23 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC

34、 和 BD 交于点 O，分别过点 B、C 作 BEAC，CEBD， BE 与 CE 交于点 E （1）求证：四边形 OBEC 是矩形； （2）当ABD60，AD2时，求EDB 的正切值 【分析】 （1）先依据平行四边形的定义证明四边形 OBEC 为平行四边形，然后再依据矩形的性质得到 COB90，故此四边形 OBEC 是矩形； （2）依据有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形可得到 BD2，然后利用特殊锐角三角函数值 可求得 AO 的长，从而得到 BE 的长，最后利用锐角三角函数的定义求解即可 【解答】解： （1）BEAC，CEBD， 四边形 OBEC 为平行四边形 ABCD 为菱形， AC

35、BD BOC90 四边形 OBEC 是矩形 （2）ADAB，DAB60， ABD 为等边三角形 BDADAB2 ABCD 为菱形，DAB60， BAO30 OCOA3 BE3 tanEDB 【点评】本题主要考查的是矩形的判定、菱形的性质、锐角三角函数的定义、特殊锐角三角函数值，熟 练掌握相关图形的性质是解题的关键 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 10 分，共分，共 2 小题，满分小题，满分 20 分）分） 24 （10 分）如图，点 O 是线段 AH 上一点，AH3，以点 O 为圆心，OA 的长为半径作O，过点 H 作 AH 的垂线交O 于 C，N 两点，点 B 在线段 CN 的延长线上

36、，连接 AB 交O 于点 M，以 AB，BC 为边作 ABCD （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若 OHAH，求四边形 AHCD 与O 重叠部分的面积； （3）若 NHAH，BN，连接 MN，求 OH 和 MN 的长 【分析】 （1）根据平行四边形的性质可知 ADBC，证明 OAAD，又因为 OA 为半径，即可证明结论； （2）利用锐角三角函数先求出OCH30，再求出扇形 OAC 的面积，最后求出OHC 的面积，两部 分面积相加即为重叠部分面积； （3） 设O 半径 OArOC， OH3r， 在 RtOHC 中， 利用勾股定理求出半径 r， 推出 OH， 再在 RtABH 和 RtAC

37、H 中利用勾股定理分别求出 AB，AC 的长，最后证BMNBCA，利用相似 三角形对应边的比相等即可求出 MN 的长 【解答】解： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， AHC90， HAD90，即 OAAD， 又OA 为半径， AD 是O 的切线； （2）解：如右图，连接 OC， OHOA，AH3， OH1，OA2， 在 RtOHC 中，OHC90，OHOC， OCH30， AOCOHC+OCH120， S扇形OAC， CH， SOHC1， 四边形 ABCD 与O 重叠部分的面积S扇形OAC+SOHC+； （3）设O 半径 OArOC，OH3r， 在 RtOHC 中，OH

38、2+HC2OC2， （3r）2+12r2， r，则 OH， 在 RtABH 中，AH3，BH+1，则 AB， 在 RtACH 中，AH3，CHNH1，得 AC， 在BMN 和BCA 中， BB，BMNBCA， BMNBCA， 即， MN， OH，MN 【点评】本题考查了切线的判定定理，解直角三角形，扇形的面积与三角形的面积，勾股定理，相似三 角形的判定与性质等，综合性较强，解题关键是要熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一 定要注意将所学知识贯穿起来 25 （10 分）如图 1，在菱形 OABC 中，已知 OA2，AOC60，抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 O，C，B 三点 （

39、）求出点 B、C 的坐标并求抛物线的解析式 （）如图 2，点 E 是 AC 的中点，点 F 是 AB 的中点，直线 AG 垂直 BC 于点 G，点 P 在直线 AG 上 （1）当 OP+PC 的值最小时，求出点 P 的坐标； （2）在（1）的条件下，连接 PE、PF、EF 得PEF，问在抛物线上是否存在点 M，使得以 M，B，C 为顶点的三角形与PEF 相似？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （）作 CHOA 于点 H，通过解三角函数求得 A、C 的坐标，由菱形的性质得出 B 点的坐标， 然后应用待定系数法即可求得解析式 （） （1）先求得抛物线的顶点坐标和与 x

40、轴的另一个交点坐标，当 OP+PC 最小时，由对称性可知， OP+PCOB由于 OB 是菱形 ABCO 的对角线，即可求得AOB30，然后通过解直角三角函数即可 求得 AP 的长，进而求得 P 点的坐标； （2）先求得PEF 是底角为 30的等腰三角形，根据 OCBCBD2，BOCBDC30， 求得OBCBCDPEF，又因为 AQ4，AG3，BC2，所以 GQ1，BG，所以，tan GBQ，即GBQ30，得出BQC 也是底角为 30的等腰三角形，即可求得符合条件 的点 M 的坐标 【解答】解： （）如图 1，作 CHOA 于点 H， 四边形 OABC 是菱形，OA2，AOC60，OC2， OH

41、sin602， CHcos6023， A 点坐标为（2，0） ， C 点的坐标为（，3） ， 由菱形的性质得 B 点的坐标为（3，3） 设抛物线的解析式为 yax2+bx+c，根据题意得 ， 解得 a，b，c0， 所以，yx2+x （） （1）如图 2，由（）知抛物线的解析式为：yx2+x， 即对称轴为 x2，顶点为 Q（2，4） 设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，令 y0，得，x24x0， 解得 x10，x24， 即点 D 的坐标为（4，0） ， 点 A 的坐标为（2，0） ，对称轴为 x2， 且 AGBC， 直线 AG 为抛物线的对称轴 B、C 两点关于直线 AG 对称， 当 OP+P

42、C 最小时， 由对称性可知，OP+PCOB 即 OB，AG 的交点为点 P， AOC60，OB 为菱形 OABC 的对角线， AOB30， APOAtan3022， 点 P 的坐标为（2，2） （2）连接 OB，CD，CQ，BQ， 由（1）知直线 AG 为抛物线的对称轴， 则四边形 ODBC 是关于 AG 成轴对称的图形 点 E 是 OB 中点，点 F 是 AB 的中点，点 P 在抛物 线的对称轴上， PEPF，EFOD，CQBQ PEFBOA30， 即PEF 是底角为 30的等腰三角形 在OBC、BCD 中， OCBCBD2，BOCBDC30， OBCBCDPEF， 符合条件的点的坐标为（0

43、，0） ， （4，0） 又AQ4，AG3，BC2， GQ1，BG， tanGBQ， 即GBQ30， BQC 也是底角为 30的等腰三角形， Q 点的（2，4） ， 符合条件的点 M 的坐标为（0，0） ， （4，0） ， （2，4） 【点评】本题考查了直角三角函数的应用，待定系数法求解析式，菱形的性质，等腰三角形的性质，三 角形相似的判定等；连接 OB，CD，CQ，BQ，构建相似三角形是本题的关键 声明：试题解析著 作权属菁优网 所有，未经书 面同意，不得 复制发布 日期：2020/6/17 15:17:21； 用户：152681 02978；邮箱 ：15268102978 ；学号：2455 9962