2021届高三数学精准培优专练 几何概型（理）

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1、 例 1：在 6,9内任取一个实数m，设 2 ( )f xxmxm ，则函数( )f x的图象与x轴 有公共点的概率等于（ ） A 2 15 B 7 15 C 3 5 D 11 15 （1）图形类几何概型 例 2-1：如图，六边形 ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在 图中阴影部分的概率是（ ） A 1 4 B 1 3 C 2 3 D 3 4 （2）线性规划类几何概型 例 2-2：某校早读从7点30分开始，若张认和钱真两位同学均在早晨7点至7点30分之间 到校，且二人在该时段的任何时刻都到校都是等可能的，则张认比钱真至少早到10分钟的 概率为（ ） A 1 12

2、B 1 9 C 1 6 D 2 9 （3）利用积分求面积 1、长度类几何概型 2、面积类几何概型 几何几何概型概型 例 2-3： 如图， 在正方形OABC内任取一点M， 则点M恰好取自阴影部分内的概率为 （ ） A 1 4 B 1 3 C 2 5 D 3 7 例 3：已知在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，底面ABCD是正方形， 2PAAB， 现在该四棱锥内部或表面任取一点O， 则四棱锥OABCD的体积不小于 2 3 的概率为_ 一、选择题 1如图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）

3、A1632 B1532 C868 D768 2 若 实 数 3,3k ， 则k的 值 使 得 过 点(1,1)A可 以 作 两 条 直 线 与 圆 22 5 20 4 xykxyk相切的概率等于（ ） A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 3最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在 2019 年元旦期间举行特大优惠活动，凡 3、体积类几何概型 消费达到 88 元以上者，可获得一次抽奖机会已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为 6 个 扇形块，分别记为 1，2，3，4，5，6，其面积成公比为 3 的等比数列（即扇形块 2 是扇形 块 1 面积的 3 倍），指针箭头指在最小的 1 区域内时

4、，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等 奖的概率是（ ） A 1 40 B 1 121 C 1 364 D 1 1093 4在正三棱锥SABC内任取一点P，使得 1 2 P ABCSABC VV 的概率是（ ） A 7 8 B 3 4 C 1 2 D 1 4 5设函数 2 ( )logf xx，在区间(0,5)上随机取一个数x，则( )2f x 的概率为（ ） A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 6在区间0,1上随意选择两个实数, x y，则使 22 1xy成立的概率为（ ） A 2 B 4 C 3 D 5 7如图，在矩形OABC内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为（ ） A

5、3 e B 4 3 e C 3 3 e D 1 3 e 8在区间0,1上随机取一个数x，则事件“ 0.5 log(43)0 x”发生的概率为（ ） A 3 4 B 2 3 C 1 3 D 1 4 9已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点 落在这个正八面体内部的概率为（ ） A 1 2 B 1 3 C 1 6 D 1 12 10若即时起 10 分钟内，305 路公交车和 202 路公交车由南往北等可能进入二里半公交站， 则这两路公交车进站时间的间隔不超过 2 分钟的概率为（ ） A018 B032 C036 D064 11如图所示，在边长为 1 的正方形OA

6、BC内任取一点,()P x y，则以, ,1x y为边长能构成 锐角三角形的概率为（ ） A 1 4 B 1 6 C 1 3 D 12 12阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱 锥体，在阳马PABCD中，PC为阳马PABCD中最长的棱，1AB ，2AD ， 3PC ， 若在阳马PABCD的外接球内部随机取一点， 则该点位阳马内的概率为 （ ） A 1 27 B 4 27 C 8 27 D 4 9 二、填空题 13在不等式组 10 20 0 xy xy y 所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二 象限的概率为_ 14 有一个底面半径为1， 高

7、为3的圆柱， 点 12 ,O O分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心， 在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点 12 ,O O的距离都大于1的概率为_ 15勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构 运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两 个顶点间作一段弧， 三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形 现在勒洛三角形中随机取一 点，则此点取自正三角形内的概率为 16如图，矩形ABCD满足2BCAB，E为BC的中点，其中曲线为过 ,A D E三点的抛 物线随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为 例 1：【答案】D 【解析

8、】 2 ( )f xxmxm 的图象与x轴有公共点， 2 40mm，4m或0m， 在 6,9内取一个实数m， 函数( )f x的图象与x轴有公共点的概率 4( 6)9011 9( 6)15 P ，故选 D 例 2-1：【答案】C 【解析】设正六边形的中心为点 O，BD 与 AC 交于点 G，BC1， 则 BGCG，BGC120 ， 在BCG 中，由余弦定理得 222 12cos120BGBGBG，得 3 3 BG ， 所以 113333 sin120 2233212 BCG SBGBG ， 因为 13 3 61 1 sin606 22 ABCDEBOCF SS 六边形 ， 所以该点恰好在图中阴

9、影部分的概率 62 1 3 BCG ABCDEF S P S 六边形 例 2-2：【答案】D 【解析】如图所示，设张认和钱真两位同学到校的时间分别为x，y时， 且x，7,7.5y时， 1 6 yx 43 (7,) 6 A， 43 15 (,) 72 B， 则张认比钱真至少早到10分钟的概率 111 2 233 11 9 22 P ，故选 D 例 2-3：【答案】B 【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为(1,1)， 由定积分的定义可得： 13 1 2 0 0 21 (1)d()| 33 Sxxxx 阴 ， 设“点 M 恰好取自阴影部分内”为事件 A， 由几何概型中的面积型可得 1

10、1 3 ( ) 13 S P A S 阴 正方形 ，故选 B 例 3：【答案】 27 64 【解析】当四棱锥OABCD的体积为 2 3 时， 设O到平面ABCD的距离为h，则 2 12 2 33 h，解得 1 2 h 如图所示，在四棱锥PABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底 面ABCD的距离为 1 2 因为PA 底面ABCD，且2PA，所以 3 4 PH PA ， 又四棱锥PABCD与四棱锥PEFGH相似， 所以四棱锥OABCD的体积不小于 2 3 的概率 33 327 ()( ) 464 P EFGH P ABCD VPH P VPA 一、选择题 1【答案】A 【解

11、析】设椭圆的面积为S，则 30096 4 6300 S ，故16.32S 2【答案】D 【解析】由点 A 在圆外可得0k ，由题中方程表示圆可得1k 或4k ， 所以10k ，故所求概率为 1 6 ，故选 D 3【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6扇形区域的面积分别为,3 ,9 ,27 ,81 ,243xxxxxx， 则由几何概型得， 消费88元以上者抽中一等奖的概率 1 392781243364 x P xxxxxx ，故选 C 4【答案】A 【解析】如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点， 则满足条件的点P应在棱台DEFABC内，而 1 4 DEFABC SS ，

12、 1 8 S DEFSABC VV ， 7 8 DEFABC SABC V P V ，故选 A 5【答案】D 【解析】由 2f x ，得 2 log2x ，即0 4x， 根据几何概型的概率公式可得从区间0,5内随机选取一个实数x， 2f x 的概率为 404 505 ，故选 D 6【答案】B 【解析】如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得 22 1xy成立的平面区域为 以坐标原点O为圆心，1 为半径的圆的 1 4 与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域， 由几何概型的概率计算公式得，所求概率 4 = 14 P ，故选 B 7【答案】B 【解析】由题意，阴影部分的面积为 1 0 1 = 0 d

13、1 xx Sexee 阴影 ， 又矩形OABC的面积为 3 OABC S 矩形 ， 所以在矩形OABC内随机撒一颗黄豆， 则它落在空白部分的概率为 4 = 3 OABC OABC SSe P S 阴影矩形 矩形 ，故选 B 8【答案】D 【解析】因为 0.5 log(43)0 x，所以043 1x ，即 3 1 4 x， 所以所求概率 3 1 1 4 1 04 P ，故选 D 9【答案】C 【解析】设正方体的棱长是 1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成， 以上面一个正四棱锥为例，它的高等于正方体棱长的一半 1 2 ， 正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是 2 2 ， 这个正四棱锥的体积

14、是 12211 322212 ；构成的八面体的体积是 11 2 126 ， 八面体的体积是 1 V，正方体体积是 2 V， 12 :1:6V V ， 故从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为 1 6 ，故选 C 10【答案】C 【解析】设 305 路车和 202 路车的进站时间分别为x、 y ， 设所有基本事件为 010 : 010 x y ，“进站时间的间隔不超过 2 分钟”为事件A， 则( , )|010,010,| 2Ax yxyxy， 画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则10 10 8 836S ， 则 36 ( )0.36 100 A S P A S ，故选 C

15、 11【答案】A 【解析】连接AC，首先由1xy得构成三角形的点P在ABC内， 若构成锐角三角形，则最大边 1 所对的角必是锐角， 22 12 cos0 2 xy xy ， 22 1xy，即点P在以原点为圆心，1 为半径的圆外 点P在边AB，BC及圆弧AC围成的区域内，所求概率为 1212 4 1 124 ， 故选 A 12【答案】C 【解析】根据题意，PC的长等于其外接球的直径， 因为 222 PCPAABAD ， 2 314PA ，2PA， 又PA 平面ABCD，所以 14 1 2 2 33 P ABCD V ， 3 43 32 V 球 ， 3 4 8 3 27 43 32 P 二、填空题

16、 13【答案】 2 9 【解析】画出不等式组 10 20 0 xy xy y ，表示的平面区域(如图中阴影部分所示)， 因为 139 3 224 ABC S ， 11 1 1 22 AOD S ， 所以点P恰好落在第二象限的概率为 1 2 2 9 9 4 AOD ABC S S 14【答案】 5 9 【解析】由题意知，所求的概率为 5 1 (13)( 12 3) 39 15【答案】 3 2(3) 【解析】如图：设2BC ，以B为圆心的扇形面积是 2 22 63 ， ABC的面积是 13 2 23 22 ， 所以勒洛三角形的面积为 3 个扇形面积减去 2 个正三角形面积， 即 2 32 322 3 3 ， 所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是 33 22 32(3) 16【答案】 1 6 【解析】以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 不妨设1AB ，2BC ， 则1,0B ，1,0C，1,1A ，1,1D， 过,A D E三点抛物线方程为 2 yx， 阴影部分面积为 1 23 1 1 1 d 111 2 11 233 Sxxx ， 又矩形ABCD得面积为1 22 ABCD S ， 故点落在阴影部分的概率为 1 1 3 26 ABCD S P S =