2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类：圆压轴题专项（含解析）

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1、2019-2020 年上海市中考数学各地区模拟试题分类： 圆压轴题专项 1（2020长宁区二模）已知AB是O的一条弦，点C在O上，联结CO并延长，交弦AB于点D， 且CDCB （1）如图 1，如果BO平分ABC，求证：； （2）如图 2，如果AOOB，求AD：DB的值； （3） 延长线段AO交弦BC于点E， 如果EOB是等腰三角形， 且O的半径长等于 2， 求弦BC的长 2（2020浦东新区二模）已知：如图，在 RtABC中，ACB90，AC8，BC16，点O为斜 边AB的中点，以O为圆心，5 为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC （1）求EF的长； （2）求COE的正弦值 3（2

2、020崇明区二模）如图已知O经过A、B两点，AB6，C是的中点，联结OC交弦AB与点 D，CD1 （1）求圆O的半径； （2）过点B、点O分别作点AO、AB的平行线，交于点G，E是O上一点，联结EG交O于点F， 当EFAB，求 sinOGE的值 4（2020宝山区二模）已知：如图，O与P相切于点A，如果过点A的直线BC交O于点B，交 P于点C，ODAB于点D，PEAC于点E 求：（1）求的值； （2）如果O和P的半径比为 3：5，求的值 5（2020闵行区一模）在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等点D在劣弧AB 上，联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB当OA，且 t

3、anOAB （1）求弦CD的长； （2）如果AOF是直角三角形，求线段EF的长； （3）如果SCEF4SBOF，求线段AF的长 6（2020宝山区一模）如图，直线l：yx，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l 于点B1，以原点O为圆心，OB1为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x的垂线交直线l于点B2，以 原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，按此做法进行下去 求： （1）点B1的坐标和A1OB1的度数； （2）弦A4B3的弦心距的长度 7 （2020闵行区一模）如图，梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC4，tanB3以 AB为直径作O，交边DC于E、

4、F两点 （1）求证：DECF； （2）求：直径AB的长 8（2020都江堰市模拟）如图，已知 RtABC中，ACB90，AC，BC16点O在边 BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点AP是弧AB上的一个动点 （1）求半径OB的长； （2）如果点P是弧AB的中点，联结PC，求PCB的正切值； （3）如果BA平分PBC，延长BP、CA交于点D，求线段DP的长 9 （2020亳州模拟） 如图， O1和O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交O1 于点D，点E为AD的中点，AEAC，联结OE （1）求证：O1EO1C； （2）如果O1O210，O1E6，求O2的半径长 10（2

5、019杨浦区三模）ABC中，ACB90，tanB，AB5，点O为边AB上一动点，以O 为圆心，OB为半径的圆交射线BC于点E，以A为圆心，OB为半径的圆交射线AC于点G （1）如图 1，当点E、G分别在边BC、AC上，且CECG时，请判断圆A与圆O的位置关系，并 证明你的结论； （2）当圆O与圆A存在公共弦MN时（如图 2），设OBx，MNy，求y关于x的函数解析式，并 写出定义域； （3）设圆A与边AB的交点为F，联结OE、EF，当OEF为以OE为腰的等腰三角形时，求圆O的半 径长 11（2019青浦区二模）已知：在 RtABC中，ACB90，AC1，D是AB的中点，以CD为直 径的Q分别交

6、BC、BA于点F、E，点E位于点D下方，连接EF交CD于点G （1）如图 1，如果BC2，求DE的长； （2）如图 2，设BCx，y，求y关于x的函数关系式及其定义域； （3）如图 3，连接CE，如果CGCE，求BC的长 12（2019浦东新区二模）已知AB是圆O的一条弦，P是圆O上一点，过点O作MNAP，垂足为 点M，并交射线AB于点N，圆O的半径为 5，AB8 （1）当P是优弧的中点时（如图），求弦AP的长； （2）当点N与点B重合时，试判断：以圆O为圆心，为半径的圆与直线AP的位置关系，并说明理 由； （3）当BNOBON，且圆N与圆O相切时，求圆N半径的长 13（2019静安区二模）已

7、知：如图 8，梯形ABCD中，ADBC，AD2，ABBCCD6动点P 在射线BA上，以BP为半径的P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC设BPx， PCy （1）求证：PEDC； （2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）联结PD，当PDCB时，以D为圆心半径为R的D与P相交，求R的取值范围 14（2019普陀区二模）如图 1，在 RtABC中，ACB90，AB5，cosBAC，点O是边 AC上一个动点（不与A、C重合），以点O为圆心，AO为半径作O，O与射线AB交于点D， 以点C为圆心，CD为半径作C，设OAx （1）如图 2，当点D与点B重合时，求x的值； （2）当

8、点D在线段AB上，如果C与AB的另一个交点E在线段AD上时，设AEy，试求y与x 之间的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）在点O的运动过程中，如果C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围 15（2019嘉定区二模）在圆O中，AB是圆O的直径，AB10，点C是圆O上一点（与点A、B不 重合），点M是弦BC的中点 （1）如图 1，如果AM交OC于点E，求OE：CE的值； （2）如图 2，如果AMOC于点E，求 sinABC的值； （3）如图 3，如果AB：BC5：4，点D为弦BC上一动点，过点D作DFOC，交半径OC于点H， 与射线BO交于圆内点F探究一：如果设BDx，FOy，求y

9、关于x的函数解析式及其定义域；探 究二：如果以点O为圆心，OF为半径的圆经过点D，直接写出此时BD的长度；请你完成上述两个探 究 16 （2019虹口区二模）如图，ADBC，ABC90，AD3，AB4，点P为射线BC上一动点， 以P为圆心，BP长为半径作P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G，P与线段BD、AQ 分别相交于点E、F （1）如果BEFQ，求P的半径； （2）设BPx，FQy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长 17（2019长宁区二模）如图，在 RtABC中，ACB90，AC3，BC4，点P在边AC上（

10、点 P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作P交边AB于另一点D，EDDP，交边BC于点E （1）求证：BEDE； （2）若BEx，ADy，求y关于x的函数关系式并写出定义域； （3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若BDP与DAF相似，求线段AD的长 18（2019宝山区二模）如图已知：AB是圆O的直径，AB10，点C为圆O上异于点A、B的一点， 点M为弦BC的中点 （1）如果AM交OC于点E，求OE：CE的值； （2）如果AMOC于点E，求ABC的正弦值； （3）如果AB：BC5：4，D为BC上一动点，过D作DFOC，交OC于点H，与射线BO交于圆 内点F，请完成下列探究 探究

11、一：设BDx，FOy，求y关于x的函数解析式及其定义域 探究二：如果点D在以O为圆心，OF为半径的圆上，写出此时BD的长度 19（2019徐汇区二模）如图，ABC中，ACBC10，cosC，点P是AC边上一动点（不与 点A、C重合），以PA长为半径的P与边AB的另一个交点为D，过点D作DECB于点E （1）当P与边BC相切时，求P的半径 （2）连接BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的 取值范围 （3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的Q与P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共 弦的长 20 （2019金山区二模）如图，在 RtABC中，C

12、90，AC16cm，AB20cm，动点D由点C 向点A以每秒 1cm速度在边AC上运动，动点E由点C向点B以每秒cm速度在边BC上运动，若 点D，点E从点C同时出发，运动t秒（t0），联结DE （1）求证：DCEBCA （2）设经过点D、C、E三点的圆为P 当P与边AB相切时，求t的值 在点D、点E运动过程中，若P与边AB交于点F、G（点F在点G左侧），联结CP并延长CP交 边AB于点M，当PFM与CDE相似时，求t的值 参考答案 一解答 1（1）证明：如图 1 中， BO平分ABC， ABOCBO， OBOAOC， AABO，COBC， AC， OBOB， OBAOBC（AAS）， ABBC

13、， （2）解：如图 2 中，作DMOB于M，DNOA于N，设OMa OAOB， MONDMODNO90， 四边形DMON是矩形， DNOMa， OAOB，AOB90， AABO45， OCOB，CDCB， COBC，CDBCBD， C+CDB+CBD180， 3C+90180， C30， CDBCBD75， DMB90， MDBDBM45， DMBM，ODM30， DMOMa，DNDMa，ADDNa， （3）解：如图 31 中，当BOBE时， CDCB， CDBCBD， A+AODOBA+OBC， AABO， AODOBCC， AODCOE， CCOECBO， CC， OCEBCO， ， ，

14、EC2+2EC40， 解得EC1+或1（舍弃）， BC+1 如图 32 中，当EOEB时，同法可证OEB是等腰直角三角形， EOEBECOB， BC2， OEBC+COEOBE， OEOB， 综上所述，BC的值为+1 或 2 2解：（1）作OMEF于M，如图，则EMFM， ACB90， OMBC， OMAC84， 在 RtOEM中，EM3， EF2EM6； （2）CMBC8， CE835， CEOE， OECOCE， 在 RtOCM中，OC4， sinOCM， COE的正弦值为 3解：（1）AB6，C是的中点，CD1， OCAB且OC平分AB， AD3，ODA90， 设OAr，则ODr1， r

15、232+（r1）2， 解得，r5， 即圆O的半径为 5； （2）作OHEF于点H， ABEF，ODr14， OHOD4，OHG90， OABG，OGAB， 四边形OABG是平行四边形， OGAB， AB6， OG6， sinOGH， 即 sinOGE 4解：（1）ODAB，PEAC，OD过O，PE过P， ADAB，AEAC， ； （2）连接OP，OP必过切点A，连接OB、CP， OBOA，PAPC， OBAOABPACPCA， 即OBAPCA，BAOPAC， OOACPA， ， O和P的半径比为 3：5，即， 5解：（1）如图，过点O作OHAB于点H， tanOAB， 设OHa，AH2a， A

16、O2OH2+AH25， a1， OH1，AH2， OHAB， AB2AH4， 弧AC弧BD ， ABCD4； （2）OAOB， OAFOBA， OAFECF， 当AFO90时， OA，tanOBA， OCOA，OF1，AB4， EFCFtanECFCFtanOBA； 当AOF90时， OAOB， OAFOBA， tanOAFtanOBA， OA， OFOAtanOAF， AF， OAFOBAECF，OFAEFC， OFAEFC， ， EFOF， 即：EF或； （3）如图，连接OE， ECBEBC， CEEB， OEOE，OBOC， OECOEB， SOECSOEB， SCEF4SBOF， SC

17、EO+SEOF4（SBOESEOF）， ， ， FOCO， OH1， HF， AFAH+HF2+ 6解：（1）直线的解析式yx， tanA1OB1， A1OB160，OA11， A1B1，OA2OB12， B1（1，） （2）连接A4B3，作OHA4B3于H 由题意OA11，OA22，OA34，OA48， OA4OB3，OHA4B3， A4OHA4OB330， OHOA4cos3084 7（1）证明：过点O作OHDC，垂足为H ADBC，ADC90，OHDC， BCNOHCADC90 ADOHBC 又OAOB DHHC OHDC，OH过圆心， EHHF， DHEHHCHF 即：DECF （2）

18、解：过点A作AGBC，垂足为点G，AGB90， AGBBCN90， AGDC ADBC， ADCG AD2，BC4， BGBCCG2 在 RtAGB中，tanB3， AGBGtanB236 在 RtAGB中，AB2AG2+BG2 AB 8解：（1）RtABC中，ACB90，AC，BC16， AB12， 如图 1，过O作OHAB于H， 则BHAB6， BHOACB90，BB， BHOBCA， ， ， OB9； （2）如图 2，连接OP交AB于H，过P作PEBC于E， 点P是弧AB的中点， OPAB，AHBHAB6， 在 RtBHO中，OH3， 在POE与BOH中， POEBOH（AAS）， PE

19、HB6，OEOH3， CEBCOB+OE10， PCB的正切值； （3）如图 3，过A作AEBD于E，连接CP， BA平分PBC，ACBC， AEAC4， AEDACB90，DD， ADEBDC， ， 设DEx， ， AD， 在 RtACB与 RtAEB中， RtACBRtAEB（HL）， BEBC16， CD2+BC2BD2， （4+）2+162（16+x）2， 解得：x， AD，BD16+， CD， OB9，过O作OFPB交PB于F， 则OBFDBC， ， ， BF7， PB2BF14， PDBDBP 9（1）证明：连接O1A， 点E为AD的中点， O1EAD， O1和O2相交于A、B两点

20、，O1O2与AB交于点C， O1CAB， 在 RtO1EA和 RtO1CA中， ， RtO1EARtO1CA（HL） O1EO1C； （2）解：设O2的半径长为r， O1EO1C6， O2C1064， 在 RtO1EO2中，O2E8， 则ACAE8r， 在 RtACO2中，O2A2AC2+O2C2，即r2（8r）2+42， 解得，r5，即O2的半径长为 5 10解：（1）圆A与圆O外切，理由如下： ACB90，tanB，AB5，AC3，BC4， 作OPBE于P，如图 1 所示： 则PBPE，OPAC， ， 设PBPEx，则CGCE42x， OBx，AGACCG2x1， AGOB， 2x1x，

21、解得：x， OB， OAABOB52OB， 圆A与圆O外切； （2）连接OM，如图 2 所示： 圆O与圆A存在公共弦MN， OA与MN垂直平分， ODM90，DMMNy，ADOD（5x）， 由勾股定理得：DM2OM2OD2，即（y）2x2（）2， 整理得：y23x2+10 x25， y（x5）； （3）分三种情况： 当圆O与圆A外切，OEOF时，圆O与圆A外切，圆O的半径长OB； 当OEFE时，圆O与圆A相交，如图 3 所示： 作EHOF于H，则OFOHOB， BB，EHB90C， BEHBAC， ， EH， 在 RtOEH中，由勾股定理得：（）2+（OB）2OE2OB2， 解得：OB； 当O

22、与A重合时，OEOF，F与B重合，OEAB5； 综上所述，当OEF为以OE为腰的等腰三角形时，圆O的半径长为或或 5 11解：（1）如图 1 中，连接CE 在 RtACB中，ACB90，AC1，BC2， AB， CD 是Q的直径， CED90， CEAB， BDAD， CDAB， ABCEBCAC， CE， 在 RtCDE中，DE （2）如图 2 中，连接CE，设AC交Q于K，连接FK，DF，DK FCK90， FK是Q的直径， 直线FK经过点Q， CD是Q的直径， CFDCKD90， DFBC，DKAC， DCDBDA， BFCF，CKAK， FKAB， ， BCx，AC1， AB， DCD

23、BDA， ACEABC， 可得AE， DEADAE， ， ， y（x1） （3）如图 3 中，连接FK CECG， CEGCGE， FKCCEG， FKAB， FKCA， DCDA， ADCA， ADCACEGCGE， CDAECG， ECDE， 由（2）可知：， 整理得：x22x10， x1+或 1（舍弃）， BC1+ 12解：（1）连接PO并延长交弦AB于点H，如图 1 所示： P是优弧的中点，PH经过圆心O， PHAB，AHBH， 在AOH中，AHO90，AHAB4，AO5， OH3， 在APH中，AHP90，PHOP+OH5+38， AP4； （2）当点N与点B重合时，以点O为圆心，为

24、半径的圆与直线AP相交；理由如下： 作OGAB于G，如图 2 所示： OBGABM，OGBAMB， OBGABM， ，即， 解得：BM， OM5， ， 当点N与点B重合时，以点O为圆心，为半径的圆与直线AP相交； （3）当点N在线段AB延长线上时， 当圆N与圆O相外切时，作ODAB于D，如图 3 所示： OAOB5， ADDBAB4， OD3， BNOBON， BNOB5， DNDB+BN9， 在 RtODN中，由勾股定理得：ON3， 圆N与圆O相切， 圆N半径ON535； 当圆N与圆O相内切时，圆N半径ON+53+5； 当点N在线段AB上时，此时点P在弦AB的下方，点N在圆O内部，如图 4

25、所示： 作OEAB于E，则AEBE4，OE3， BNOBON， BNOB5， ENBNBE1， 在 RtOEN中，由勾股定理得：ON， 圆N半径为 5或 5+； 综上所述， 当BNOBON， 且圆N与圆O相切时， 圆N半径的长为 35 或 3+5 或 5 或 5+ 13（1）证明：梯形ABCD，ABCD， BDCB， PBPE， BPEB， DCBPEB， PECD； （2）解：分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G 梯形ABCD中，ADBC，AFBC，DGBC，PHBC， 四边形ADGF是矩形，PHAF， AD2，BCDC6， BFFGGC2， 在 RtABF中， AF4， P

26、HAF， ，即， PHx，BHx， CH6x， 在 RtPHC中，PC， y，即y（0 x9）； （3）解：作EMPD交DC于M PEDC， 四边形PDME是平行四边形 PEDMx，即 MC6x， PDME，PDCEMC， 又PDCB，BDCB， DCBEMCPBEPEB PBEECM， ，即， 解得：x， 即BE， PDEC6， 当两圆外切时，PDrP+R，即R0（舍去）； 当两圆内切时，PDrPR，即R10（舍去），R2； 即两圆相交时，0R 14解：（1）如图 1 中， 在 RtABC中，ACB90，AB5，cosBAC， AC4，BC3， OAOBx， OC4x， 在 RtBOC中，O

27、B2BC2+OC2， x232+（4x）2， x （2）如图 2 中，作CHAB于H，OGAB于G，EKAC于K，连接CE ABCHBCAC， CH，AH， ODOAx，OGAD， AGDGOAcosAx， ADx，DHx， CD2（）2+（x）2， AKAEcosAy，EKy， CE2（4y）2+（y）2， CDCE， （）2+（x）2（4y）2+（y）2， x2xy2y， （y）2（x2）2， y，x2， yx， yx+（2x） （3）如图 31 中，当C经过点B时， 易知：BHDH， BD， AD5， x， x， 观察图象可知：当 0 x时，C与线段AB只有一个公共点 如图 32 中，当

28、C与AB相切时，CDAB，易知OA2，此时x2， 如图 33 中，当x4 时，C与线段AB只有一个公共点 综上所述，当 0 x或x2 或x4 时，C与线段AB只有一个公共点 15解：（1）过点O作ONBC交AM于点N，如图 1 ， 点M是弦BC的中点BMMC ， OE：CE1：2； （2）联结OM，如图 2 点M是弦BC的中点，OM经过圆心O OMBC，OMC90， AMOC， MEO90 OMCMEO90， 又MOCEOM MOCEOM； ， OE：CE1：2 ， OBOC ABCOCM 在直角MOC中， ； （3）探究一：如图 3，过点D作DLDF交BO于点L，取BC中点M，连接OM DF

29、OC， DLOC， LDBCB BLDL， AB10，AB：BC5：4， BC8，OC5， BMCM4， cosOCM DLOC， 设BDx，则CD8x， BLDLx，CH（8x），OHOCCH5（8x）， OHDL， ， ； y关于x的函数解析式是 定义域是， 探究二：以O为圆心，OF为半径的圆经过D， OFOD， DFOC， OC垂直平分DF，FOOL， y5x， ， 解得：x， BD 16解：（1）BEFQ， BPEFPQ， PEPB， EBP（180EPB）， 同理FQP（180FPQ）， EBPFQP， ADBC， ADBEBP， FQPADB， tanFQPtanADB， 设P的半

30、径为r，则 tanFQP， ， 解得：r， P的半径为； （2）过点P作PMFQ，垂足为点M，如图 1 所示： 在 RtABQ中，cosAQB， 在 RtPQM中，QMPQcosAQB， PMFQ，PFPQ， FQ2QM， ， 当圆与D点相交时，x最大，作DHBC于H，如图 2 所示： 则PDPBx，DHAB4，BHAD3， 则PHBPBHx3， 在 RtPDH中，由勾股定理得：42+（x3）2x2， 解得：x， x的取值范围为：； （3）设BPx，分两种情况： EPAQ时， BEPBGQ， PBPE， PBEBEP， BGQPBE， QGQB2x， 同理：AGAD3， 在 RtABQ中，由勾

31、股定理得：42+（2x）2（3+2x）2， 解得：x， QGQB2x， EPAQ，PBPQ， BEEG， ADBC， ，即， 解得：BG， BEBG； PFBD时，同得：BGBQ2x，DGAD3， 在 RtABD中，由勾股定理得：42+32（3+2x）2， 解得：x1 或x4（舍去）， BQ2， BP1， 作PNBG于N，则BE2BN，如图 3 所示： ADBC， PBNADB， cosPBNcosADB，即， BN， BE2BN； 综上所述，或 17（1）证明：EDDP， EDP90 BDE+PDA90 又ACB90， B+PAD90 PDPA， PDAPAD BDEB BEDE （2）AD

32、y，BDBAAD5y 过点E作EHBD垂足为点H，由（1）知BEDE， 在 RtEHB中，EHB90， 在 RtABC中，ACB90，AC3，BC4 AB5 ， （3）设PDa，则， 在等腰PDA中，易得 在 RtPDF中，PDF90， ， 若BDPDAF又BDPDAF 当DBPADF时，即， 解得a3，此时 当DBPF时，即， 解得，此时 综上所述，若BDP与DAF相似，线段AD的长为或 18解：（1）如图 1，过点O作ONBC交AM于点N， 点O是AB的中点， 点N是AM的中点， ONBM， 点M为弦BC的中点， BMCM， ONCM， ONBC， ； （2）如图 1，连接OM， 点M为弦

33、BC的中点， OMBC， AMOC于点E， OME+CMECME+C90， OMEMCE， OMEMCE， ME2OECE， 设OEx，则CE2x，MEx， 在 RtMCE中，CMx， sinECM sinABC； （3）探究一：如图 2，过点D作DLDF交BO于点L， DFOC， DLOC， LDBCB， BLDL， AB10，AB：BC5：4， 设BDx，则CD8x，BLDLx，CH，OHOCCH5（8x）， OHDL， ， ， y（其中）； 探究二：以O为圆心，OF为半径的圆经过D， OFOD， DFOC， OC垂直平分DF，FOOL， y5x， ， 解得：x， BD 19解：（1）设P

34、与边BC相切的切点为H，圆的半径为R， 连接HP，则HPBC，cosC，则 sinC， sinC，解得：R； （2）在ABC中，ACBC10，cosC， 设APPDx，AABC，过点B作BHAC， 则BHBCsinC8， 同理可得： CH6，HA4，AB4，则：tanCAB2 BP， DAx，则BD4x， 如下图所示，PAPD，PADCABCBA， PDBE， tan2，则 cos，sin， EBBDcos（4x）4x， PDBE，即：， 整理得：y（0 x10）； （3）以EP为直径作圆Q如下图所示， 点D在圆P上，EP是圆Q的直径，则点D也在圆Q上，故GD为相交所得的公共弦， 设DCPPD

35、C， GD是公共弦，则GDPE，则PEDBDE， EDP90， PDE+EPD90EPD+GDP，故PEDEDP， 由（2）知 tanBACtan2，故 tan，则 cos， 则ADAGx， 在 RtEPD中，ED2PD2x， 在 RtBED中，ED2x，则EBEDx，则ECCBBE10 x， 在 RtCGE中，CGACAG102x， cosC，解得：x； GD2PDcos2xcos2 20（1）证明：由题意得：CDt，CEt， 由勾股定理得，BC12， ， ，又CC， DCEBCA； （2）连结CP并延长CP交AB于点H， ACB90， DE是P的直径，即P为DE中点， CPDPPEDE， PCEPEC， DCEBCA， CDEB， CDE+CED90， B+HCB90，即CHAB， P与边AB相切， 点H为切点，CH为P的直径， sinA， ， 解得，CH， DE， sinAsinCED，即， 解得，CD， t； 由题意得，0t12，即 0t9， CDt，CEt， DEt， 由得，CM，CPDEt，CMAB， PMt，PFCPt，PMF90， 当FMPDCE时，即， 解得，t； 当PMFDCE时，即， 解得，t； 综上所述：当PFM与CDE相似时t或t