2020年北师大版七年级下数学全册期末总复习知识概要与典型例题
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1、 第 1 页 共 42 页 北师大版七年级下册数学期末总复习知识清单北师大版七年级下册数学期末总复习知识清单 目录目录 第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 第二章第二章 相交线与平行线相交线与平行线 第三章第三章 变量之间的关系变量之间的关系 第四章第四章 三角形三角形 第五章第五章 生活中的轴对称生活中的轴对称 第六章第六章 概率初步概率初步 第 2 页 共 42 页 第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 【1】单项式单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项 式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：bca 2 2的系数为
2、2，次数为 4，单独的一个非零数的单项式次数是 0。 【2】多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫 多项式的次数。 如：12 2 xaba，项有 2 a、ab2、x、1，二次项为 2 a、ab2，一次项为x，常数项为 1，各 项次数分别为 2，2，1，0，系数分别为 1，-2，1，1，叫二次四项式。 【3】整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 【4】同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法法则： nmnm aaa （nm,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 注意：底数可以是多项式或单项式
3、。如： 532 )()()(bababa 【例题例题】若43 x ，53 y ，则_3 yx 【解析过程】 【答案】20 【变式练习】若 6 22222 nnnn ，则_n 【解析过程】 62 222242222 nnnnnn 4n 【答案】4 第 3 页 共 42 页 【5】幂的乘方法则幂的乘方法则： mnnm aa)(（nm,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： 1025 3)3( 幂的乘方法则可以逆用：即 mnnmmn aaa)()(；如： 23326 )4()4(4 【6】积的乘方法则积的乘方法则： nnn baab)(（n是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（
4、 523 )2zyx= 51015552535 32)()()2(zyxzyx 【例题例题】下列计算正确的是（ ） A、 532 aaa B、 532 aaa C、 832) (aa D、 22 )(abab 【解析过程】 【答案】B 【变式练习】已知x m 4，y n 8，其中nm，为正整数，则_2 62 nm 【解析过程】 【答案】 2 xy 第 4 页 共 42 页 【7】同底数幂的除法法则： nmnm aaa （nma, 0都是正整数，且)nm 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 3334 )()()(baababab 【8】零指数和负指数零指数和负指数； 1 0 a，即任何不等于
5、零的数的零次方等于 1。 p p a a 1 （pa, 0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。如： 8 1 ) 2 1 (2 33 【例题例题】下列计算正确的有（ ） 、33 1 ； 、 8 1 )2( 3 ； 、 9 16 ) 4 3 ( 2 ； 、1)2020( 0 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【解析过程】 、 3 1 3 1 ； 、 8 1 )2( 3 ； 、 9 16 16 9 1 ) 4 3 ( 1 ) 4 3 ( 2 2 【答案】B 【9】科学记数法科学记数法 较大数的科学记数法：如：12090000 = 7 10209. 1 （保留
6、一位数） 较小数的科学记数法：如：0.00000721=7.21 6 10（第一个非零数字前零的个数） 【例题】 2020年1月24日，中国疾控中心成功分离我国首株新型冠状病毒毒种，该毒种直径大约为90纳米 （1纳米=0.000001毫米），数据“90纳米”用科学记数法表示为 毫米。 【解析过程】解：90纳米=9010-6毫米=910-5毫米， 第 5 页 共 42 页 【答案】 5 109 【变式练习】新冠病毒的直径最小大约为0.00000008米，这个数用科学记数法表示为 【解析过程】解：0.00000008=810-8 【答案】 8 108 【10】单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，
7、把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母 连同它的指数不变，作为积的因式。 注意： 、积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 、相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 、只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 、单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 、单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如：zyxzyxxyzyx 33131232 6632 【11】单项式乘以多项式，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即mcmbmacbam)(cbam,都是单项式) 注意： 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注
8、意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 如： 2222 3943364)(3)32(2yxyxyxyxyxyxyyxx 【12】多项式与多项式相乘相乘的法则； 第 6 页 共 42 页 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 如： 303056)6)(5( 6293)3)(23( 22 22 xxxxxxx bababababa 【例题例题】已知多项式ax与122 2 xx的乘积中不含 2 x项，则常数a的值是 【解析过程】解：（x-a）（2x2-2x+1）=2x3+（-2-2a）x2
9、+（2a+1）x-a， 不含x2项， 022a， 解得1a 【答案】1a 【变式练习】已知5ba，4ab，化简)2)(2(ba的结果是 【解析过程】24)(2)2)(2(baabba 【答案】2 【13】单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它 的指数一起作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式 如：mbmbabamba 31422242 7 1 49 7 497 【14】多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式
10、的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。 即：cbamcmmbmmammcmbmam)( 【例题】计算：)5 . 0()2)( 4 1 ( 54222 baabba 【解析过程】2)5 . 0()2)( 4 1 ( 54222 baabba 第 7 页 共 42 页 【变形练习】先化简，再求值：xyyxyxyxyx2)42()2)(2( 222 ，其中3x，5 . 0y 【解析过程】原式=x2-4y2-x2+2xy=-4y2+2xy 当3x，5 . 0y，原式=-1-3=4 【15】A、平方差公式： 22 )(bababa B、平方差公式常见变形平方差公式常见变形： 、位置变化：)73)(7
11、3()73)(37(xyxyxyyx； 、符号变化：)72)(72()72)(72(nmnmnmnm； 、数字变化：)2200)(2200(202198； 、系数变化：) 4 2)( 2 2(2) 4 2)( 2 4( n m n m n m n m； 、项数变化：3)2(3)2()23)(23(yzxyzxzyxzyx； 、递推变化：)4)(4()4)(2)(2( 222 mmmmm； 【16】A、完全平方公式： 222 2)(bababa B、完全平方公式常见变形完全平方公式常见变形： 、位置变化：)()( 2222 yxyxxyyx； 、符号方向变化： 22 )32()23(abba；
12、22 )23()23(aa 、数字变化： 22 ) 12020(2019； 、项数变化： 22 1)() 1(yxyx； 、递推变化： 22 )32()32)(64()32(yxyxyxyx； 【17】完全平方公式完全平方公式abbaba、 22 )( )(、 22 ba 之间的关系之间的关系 、abbaba4)()( 22 ；abbaba2)( 222 、abbaba4)()( 22 ；abbaba2)( 222 第 8 页 共 42 页 、 4 )()( 22 baba ab 【例题】若代数式 242 9)3(xyyxM，那么代数式M为（ ） A、 2 3yx B、 2 3yx C、 2
13、3yx D、 2 3yx 【解析过程】 )3)(3()3)(3()3()(9 222222224 yxxyxyxyxyxy Mxyxy3)3( 22 【答案】A 【变式练习】已知1)( 2 yx，49)( 2 yx，则_ 22 yx；_xy。 【解析过程】_25_ 2 )()( 22 22 yxyx yx ； 12 2 )()( 222 yxyx xy 【答案】_25_ 22 yx；_12_xy。 第二章第二章 相交线与平行线相交线与平行线 一、两直线的位置关系一、两直线的位置关系 1、两条直线的位置关系、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行（表示符号“”）
14、 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把 重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来 确定： 、有且只有一个公共点，两直线相交； 、无公共点，则两直线平行； 、 两个或两个以上公共点， 则两直线重合 （因为两点确定一条直线） 2、对顶角：、对顶角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角 叫做对顶角。 第 9 页 共 42 页 对顶角的性质：对顶角相等对顶角的性质：对顶角相等。 3、余角：、余角：定义：如果两个角的和是 900，那么称这两个角互为余角。 性质：同
15、角或等角的余角相等同角或等角的余角相等。 4、补角：、补角：定义：如果两个角的和是 1800，那么称这两个角互为补角。 性质：同角或等角的补角相等。同角或等角的补角相等。（了解邻补角） 5、垂线、垂线 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一 条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足表示符号“”。 符号语言记作：如图所示：ABCD，垂足为 O: 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简 称：垂线段最短。垂线段最短。 6、垂线的画法：、垂
16、线的画法： 过直线上一点画已知直线的垂线；过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；过一点作线段的垂线，垂足可在 线段上，也可以在线段的延长线上。 垂线的画法（以线段外过一点做线段的垂线，垂足不在线段上为例） 用直角三角板画垂线，可简单地说成：“一落”、“二过”、“三画”、“四标” 如图，线段BC，过点A作线段BC的垂线，垂足为点D. A B C D O P A B O 第 10 页 共 42 页 7、点到直线的距离、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离点到直线的距离 如图，POAB，同 P 到直线 AB 的距离是
17、 PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点 P 到直线 AB 所有线段中最短的一条。 注意：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等 同。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 【例题例题】下列说法中，正确的是( ) A、不相交的两条直线是平行线 B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C、在同一平面内，从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离 D、在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直 【解析过程】在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故 A 选择错误；过直线外任意一点有且只 有一条直线与已知直线平行，故 B 选项
18、错误；从直线外一点作这条直线的垂线段的长度的长度叫做点到这条 直线的距离，故 C 选项错误。 【答案】D 【变式练习】下列结论：、平面内有 3 条直线两两相交，共有 3 个交点；、在平面内，若AOB 40，AOCBOC，则AOC 的度数为 20；、若线段 AB3，BC2，则线段 AC 的长为 1 或 5；、若180，且，则的余角为)( 2 1 ，其中正确的结论的 个数是（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【解析过程】 P A B O 第 11 页 共 42 页 【答案】A 二、两条直线平行的条件二、两条直线平行的条件 1、同位角、内错角、同旁内角：、同位角、内错角、同旁内角
19、：同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型 两条直线被第三条直线所截，形成了两条直线被第三条直线所截，形成了 8 个角个角。（三线八角） 同位角同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。 内错角内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。 2、平行线的判定：、平行线的判定：注意：几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，
20、那么两直线平行。 简称：同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。 简称：内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。 简称：同旁内角互补，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。 补充平行线的判定方法： （1）平行线的定义：如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行（2）平行于同一条直线的 两直线平行。 几何符号语言： 32 ABCD（同位角相等，两直线平行） 12 ABCD（内错角相等，两直线平行） 42180 ABCD（同旁内角互补，两直线平行） 请同学们注
21、意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。平行线的判 定是写角相等，然后写平行。 A B C D E F 1 2 3 4 第 12 页 共 42 页 3、平行线的画法：、平行线的画法： 利用三角板的平移画平行线，其画法可以总结为：“一落”、“二靠”、“三移”、“四画”. 一落：三角板的一边落在已知直线； 二靠：靠紧三角板的另一边放上另一块三角板； 三移：使第一块三角板沿着第二块三角板移动，使其经过原直线的一边经过已知点； 四画：沿三角板过已知点的一边画出直线.这时所画直线就一定与已知直线平行. 4、平行公理、平行公理平行线的存在性与惟一性平行线的存在性与惟一性 经过直线外
22、一点，有且只有一条直线与这条直线平行经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行(与垂直公理相比较记) 5、平行线的性质：、平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 6、平行公理的推论：、平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如右图所示，ba，ca bc 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会有结论：这两条直线都平行。 7、用尺规作角（利用尺规作图比较角的大小）、用尺规作角（利用尺规作图比较角的大小） 尺规作图：尺规作图：在几何里，只用没有刻度的直尺没有刻度的直尺
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