2020年苏科版八年级上数学全册知识点总结
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1、 1 苏教版苏教版八年级八年级数学上册知识点数学上册知识点 第第 1 章章 全等三角形全等三角形 一、全等三角形一、全等三角形概念概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫 做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2 2、全等三角形的表示、全等三角形的表示 全等用符号“”表示,读作“全等于”。如ABCDEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。 注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的
2、位置上。 3 3、全等三角形有哪些性质、全等三角形有哪些性质 (1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。 (2):全等三角形的周长相等、面积相等。 (3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 4 4、学习全等三角形应注意以下几个问题:、学习全等三角形应注意以下几个问题: (1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义; (2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上; (3):“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4):时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角”、“公共边”、“对顶角”
3、 5 5、全等三角形的判定、全等三角形的判定 边边边:边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”) 边角边边角边: :两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”) 角边角角边角: :两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”) 角角边角角边: :两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”) 直角三角形全等的判定:直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形, 判定它们全等时, 还有HL定理 (斜边、 直角边定理) : 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”) 2 6 6、全等变换、
4、全等变换只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三 种: (1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 (2)对称变换:将图形沿某直线翻折180,这种变换叫做对称变换。 (3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。 5、证明两个三角形全等的基本思路:一般来讲,应根据题设并结合图形,先确定两个三角形已知相等 的边或角,然后按照判定公理或定理,寻找并证明还缺少的条件.其基本思路是: ).有两边对应相等,找夹角对应相等,或第三边对应相等.前者利用SAS判定,后者利用SSS判定. ).有两角对应相等,找夹边对应相等,
5、或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA判定,后者利用AAS 判定. ).有一边和该边的对角对应相等,找另一角对应相等.利用AAS判定. ).有一边和该边的邻角对应相等,找夹等角的另一边对应相等,或另一角对应相等.前者利用SAS判 定,后者利用AAS判定. 二、角的平分线:二、角的平分线: 1 1、角平分线:、角平分线:把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线; 2 2、 角平分线的性质定理:、 角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角的两边的距离相等: 平分线上的点; 点到边的距离; 3 3、角平分线的判定定理:、角平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上 4
6、4、方法规律、方法规律(1)有角平分线,通常向角两边引垂线。 (2)证明点在角的平分线上,关键是要证明这个点到角两边的距离相等,即证明线段相等。常用方法 有:使用全等三角形,角平分线的性质和利用面积相等,但特别要注意点到角两边的距离。 (3)注意:证题时可直接应用角平分线性质定理和判定定理,不必去找全等三角形。 第第 2 章章 轴对称图形轴对称图形 一、轴对称图形一、轴对称图形 1.把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图 形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。 2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个
7、图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直 3 线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点 3 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系、轴对称图形和轴对称的区别与联系 区别: (1)轴对称是指两个图形间的位置关系,轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形; (2)轴对称涉及两个图形,轴对称图形是对一个图形而言的 联系: (1)定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合; (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成 轴对称;反过来,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形 4.4.轴对称的性质轴对称的性质 关于某直线
8、对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 二、线段的垂直平分线二、线段的垂直平分线 1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上 4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等 三、画轴对称图形轴对称图形的步骤: 1、点出
9、关键点。找出所有的关键点,即图形中所有线段的端点。 2、确定关键点到对称轴的距离。关键点离对称轴多远,对称点就离对称轴多远。 3、点出对称点。 4、连线。按照给出的一半图形将所有对称点连接成线段。 5、轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形,这条直 线就叫做对称轴。轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合,关键抓两点: 一是沿某直线折叠,二是两部分互相重合。 4 四、四、等腰三角形的性质等腰三角形的性质 1、有关定理及其推论 定理:等腰三角形有两边相等; 定理:等腰三角形的两个底角相等。 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边,也就是说,
10、等腰三角形的顶角平分线、底边 上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。 推论2:等边三角形的各角相等,且每一个角都等于60.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴 的轴对称图形; (二)等腰三角形的判定 1、有关的定理及其推论 定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边相等(等角对等边) 推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2、有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论3、在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 1.等腰三角形的性质 .等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互
11、相重合。(三线合一) 等腰三角形的其他性质: 等腰直角三角形的两个底角相等且等于45 等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。等腰三角 形的三边关系:设腰长为a,底边长为b,则b/2a 等腰三角形的三角关系: 设顶角为顶角为A, 底角为B、 C, 则A=1802B, B=C=(180 -A)/2 等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 中线中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角; 2、等腰三角形两腰上的中线相等,并且它们的交点与底边两端点距离相等。 5 判定1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形; 2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分
12、这个边的对角),那么这个三角形是等腰三角形 角平分线角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边; 2、等腰三角形两底角平分线相等,并且它们的交点到底边两端点的距离相等。 判定;1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边),那么这个三角形是等腰三角形; 2、三角形中两个角的平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形。 高线高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边;2、等腰三角形两腰上的高相等,并且它们 的交点和底边两端点距离相等。 判定:1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角),那么这个三角形是等腰 三角形;2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。 角边角边等边
13、对等角底的一半腰长周长的一半 判定:等角对等边两边相等的三角形是等腰三角形 4 4、三角形中的中位线、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 (1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。 (2 2)要会区别三角形中线与中位线。)要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理:三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用:三角形中位线定理的作用: 位置关系位置关系:可以证明两条直线平行。 数量关系数量关系:可以证明线段的倍分关系。 常用结论常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有: 结论1:三条中位线组成一个
14、三角形,其周长为原三角形周长的一半。 结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 6 第第 3 章章 勾股定理勾股定理 1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a 2b2=c2。 2.勾股定理逆定理: 如果三角形三边长 a,b,c 满足 a 2b2=c2。 , 那么这个三角形是直角三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做
15、互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一 个叫做它的逆命题。 (例:勾股定理与勾股定理逆定理) 4.4.直角三角形的性质直角三角形的性质 (1) 、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下:C=90A+B=90 (2) 、在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30 可表示如下:BC= 2 1 AB C=90 (3) 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 可表示如下:CD= 2 1 AB=BD=AD D 为 AB 的中点 5 5、摄影定理、摄影定理 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在 斜边上的摄影和斜边的比例中项
16、ACB=90BDADCD 2 ABADAC 2 CDABABBDBC 2 6 6、常用关系式、常用关系式 由三角形面积公式可得:由三角形面积公式可得:ABABCD=ACCD=ACBCBC 7 7、直角三角形的判定、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a,b,c 有关系 222 cba,那么这个三角形是 7 直角三角形。 9 9、三角形中的中位线、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 (1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个
17、新的三角形。 (2)要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用: 位置关系:可以证明两条直线平行。 数量关系:可以证明线段的倍分关系。 常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有: 结论结论 1 1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。 结论结论 2 2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论结论 3 3:三条中位线将原三角形划分出三个:三条
18、中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。面积相等的平行四边形。 结论结论 4 4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论结论 5 5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 第第 4 章章 实数实数 一一、平方根、平方根 (1)平方根的定义:如果一个数一个数 x x 的平方平方等于 a a,那么这个数 x x 就叫做 a a 的平方根平方根即: 如果ax 2 ,那么 x x 叫做 a a 的平方根平方根 (2)开平方的定义:求一个数的平方根平方根的运
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